UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN FÍSICA
PROTOCOLO 21.2
Nasly Yicel Castiblanco Jimenez 1 - Código: 20182135006
Mecánica Teórica - Profesor: Carlos Efrain Jacome
Fecha de sesión: 08 de Mayo de 2023
Segunda parte de la clase
I. Isotropı́a
La clase continua con la explicación de la isotropı́a, la cual dice que cualquier orientación es equivalente.
En la primera parte de la explicación se habló de un cambio del vector posición, ahora bien, se dice que la
rotación del sistema si afecta la velocidad puesto que se genera una cambio en la dirección. La figura 1 nos
ilustra lo dicho con un esquema.
Figura 1: Caption
El esquema (a) nos muestra la k-ésima partı́cula que rota alrededor de un eje û en el cual se observa
un cambio en la dirección de la velocidad. Del esquema (b) podemos observar que el vector velocidad ⃗r˙k
se descompone en dos partes, paralelo y perpendicular al vector unitario û, ası́ el vector velocidad queda
expresado como:
1
, ⃗r˙k = ⃗r˙ku + ⃗r˙k⊥ (1)
En la componente ⃗r˙ku la rotación δθ es 0 puesto que no cambia su magnitud ni su dirección, es decir,
sigue siendo paralelo a û. Entonces la ecuación (1) queda.
⃗r˙k = ⃗r˙k⊥ (2)
El esquema visto desde arriba nos da un mejor panorama de la velocidad perpendicular que es la que nos
interesa.
Figura 2: Caption
⃗˙ ′ . Los ángulos β (for-
⃗˙ y al rotar rk⊥
En el esquema (a) se encuentran dos vectores velocidad, el inicial rk⊥
mado entre el eje de rotación y el vector velocidad) y α (formado entre la linea radial y el vector velocidad)
permanecen constantes, sin embargo, al rotar se cambia la dirección en un angulo δθ.
El esquema (b) nos muestra los vectores rk⊥ ⃗˙ ′ desde un mismo punto, la magnitud del vector sigue
⃗˙ y rk⊥
siendo la misma, lo que cambia es la dirección en δθ. Se traza un arco entre los vectores velocidad y se forma
⃗˙ , hallando su magnitud:
un triangulo recatngulo, al ser un cambio infinitesimal la longitud del arco es δ rk⊥
|δ⃗r˙k⊥ | = ṙk⊥ δθ (3)
Como la única dirección de referencia es la vertical, es decir, el eje de rotación el δ rk⊥
˙ queda definido
como
δ ṙk⊥ = |δ⃗r˙k⊥ | = ṙk sin γδθ (4)
Para hallar la dirección del vector velocidad por regla de la mano derecha se tiene:
δ⃗r˙k⊥ = δθ
⃗ × ⃗r˙k = δ⃗r˙k (5)
En sı́ntesis se tienen las siguientes expresiones
δ⃗rk = δ θ⃗ × ⃗rk (6)
δ⃗r˙k⊥ = δ θ⃗ × ⃗r˙k (7)
Recordando que el langrangiano es función de r, ṙ y t.
L(r1 , ..., rN , ṙ1 , ..., ṙN , t) (8)
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FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN FÍSICA
PROTOCOLO 21.2
Nasly Yicel Castiblanco Jimenez 1 - Código: 20182135006
Mecánica Teórica - Profesor: Carlos Efrain Jacome
Fecha de sesión: 08 de Mayo de 2023
Segunda parte de la clase
I. Isotropı́a
La clase continua con la explicación de la isotropı́a, la cual dice que cualquier orientación es equivalente.
En la primera parte de la explicación se habló de un cambio del vector posición, ahora bien, se dice que la
rotación del sistema si afecta la velocidad puesto que se genera una cambio en la dirección. La figura 1 nos
ilustra lo dicho con un esquema.
Figura 1: Caption
El esquema (a) nos muestra la k-ésima partı́cula que rota alrededor de un eje û en el cual se observa
un cambio en la dirección de la velocidad. Del esquema (b) podemos observar que el vector velocidad ⃗r˙k
se descompone en dos partes, paralelo y perpendicular al vector unitario û, ası́ el vector velocidad queda
expresado como:
1
, ⃗r˙k = ⃗r˙ku + ⃗r˙k⊥ (1)
En la componente ⃗r˙ku la rotación δθ es 0 puesto que no cambia su magnitud ni su dirección, es decir,
sigue siendo paralelo a û. Entonces la ecuación (1) queda.
⃗r˙k = ⃗r˙k⊥ (2)
El esquema visto desde arriba nos da un mejor panorama de la velocidad perpendicular que es la que nos
interesa.
Figura 2: Caption
⃗˙ ′ . Los ángulos β (for-
⃗˙ y al rotar rk⊥
En el esquema (a) se encuentran dos vectores velocidad, el inicial rk⊥
mado entre el eje de rotación y el vector velocidad) y α (formado entre la linea radial y el vector velocidad)
permanecen constantes, sin embargo, al rotar se cambia la dirección en un angulo δθ.
El esquema (b) nos muestra los vectores rk⊥ ⃗˙ ′ desde un mismo punto, la magnitud del vector sigue
⃗˙ y rk⊥
siendo la misma, lo que cambia es la dirección en δθ. Se traza un arco entre los vectores velocidad y se forma
⃗˙ , hallando su magnitud:
un triangulo recatngulo, al ser un cambio infinitesimal la longitud del arco es δ rk⊥
|δ⃗r˙k⊥ | = ṙk⊥ δθ (3)
Como la única dirección de referencia es la vertical, es decir, el eje de rotación el δ rk⊥
˙ queda definido
como
δ ṙk⊥ = |δ⃗r˙k⊥ | = ṙk sin γδθ (4)
Para hallar la dirección del vector velocidad por regla de la mano derecha se tiene:
δ⃗r˙k⊥ = δθ
⃗ × ⃗r˙k = δ⃗r˙k (5)
En sı́ntesis se tienen las siguientes expresiones
δ⃗rk = δ θ⃗ × ⃗rk (6)
δ⃗r˙k⊥ = δ θ⃗ × ⃗r˙k (7)
Recordando que el langrangiano es función de r, ṙ y t.
L(r1 , ..., rN , ṙ1 , ..., ṙN , t) (8)
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