Protocolo #21
Brayan Stiven Pardo Ruiz - 20201135006
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Mecánica Teórica: Primera parte, Clase 08 de Mayo.
Se parte recordando la existencia de los diversos principios de conservación
en mecánica: conservación de la energı́a, conservación del momentum lineal y
conservación del momentum angular. El primero se debe a la presencia exclusiva
de fuerzas conservativas, el segundo a que la sumatoria de fuerzas externas es
nula
X d⃗
p ⃗
F⃗ext = = 0,
dt
y el tercero, en razón de que la suma de torques externos es nula:
X dL⃗ ⃗
⃗τext = =0
dt
Ahora, se obtendrán dichos principios de conservación con condiciones más
débiles, en concreto:
• Uniformidad temporal
• Homogeneidad espacial
• Isotropı́a
Al referir a la uniformidad temporal, se aborda el hecho de que el lagrangiano
no es función explı́cita del tiempo:
L = L(q1 , ..., qn , q̇1 , ..., q̇n ) (1)
En otras palabras, se habla de una condición por la cual todos los tiempos son
equivalentes en cuanto a la descripción dinámica del sistema. Para comprender
esto, pueden pensarse en los casos inversos, es decir, cuando el lagrangiano es
función explı́cita del tiempo; habları́amos entonces de la presencia de fuerzas no
conservativas variables en el tiempo, de un potencial variable o de la presencia
de una ligadura reonómica. Lo mencionado tiene causa en que son agentes
exógenos(laboratoristas) los que provocan dichas dependencias temporales, ası́
1
, pues, al girar la perilla que explicita los valores para una fuente de voltaje, el
mencionado, no será igual, necesariamente, en un tiempo t que en un tiempo t′ ,
y en cuanto a la ligadura reonómica recuérdese el ejemplo del péndulo conectado
a un artilugio capaz de variar la longitud de su cuerda. También puede darse
que en las ecuaciones de transformación de coordenadas se haga explı́cita una
dependencia temporal. En estos casos diremos que el tiempo es no uniforme,
referirı́amos a un sistema móvil(teniendo cuidado con esto ya que un sistema
inercial puede ser móvil). Ası́ esto, bajo un sistema inercial de referencia, en
(1), por regla de la cadena:
n n
dL X ∂L X ∂L
= q˙j + q¨j (2)
dt j
∂qj j
∂ q˙j
Siendo n el número de coordenadas generalizadas. Ahora, de las ecuaciones de
Euler-Lagrange:
d ∂L ∂L
− =0
dt ∂ q˙j ∂qj
d ∂L ∂L
= (3)
dt ∂ q˙j ∂qj
Sustituyendo en (2):
n n
dL X d ∂L X ∂L
= q˙j + q¨j
dt j
dt ∂ q˙j j
∂ q˙j
Lo cual puede expresarse como la derivada de un producto:
n n
dL X d ∂L d X ∂L
= q˙j = q˙j
dt j
dt ∂ q˙j dt j ∂ q˙j
Igualando a cero, es decir, restando el miembro izquierdo en ambos extremos
de la igualdad, y a sabiendas de que la suma de derivadas es la derivada de una
suma, se obtiene:
n
d X ∂L
q˙j − L = 0
dt j
∂ q˙j
Implicando que la cantidad encerrada en paréntesis se trata de un valor con-
stante E:
2
Brayan Stiven Pardo Ruiz - 20201135006
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Mecánica Teórica: Primera parte, Clase 08 de Mayo.
Se parte recordando la existencia de los diversos principios de conservación
en mecánica: conservación de la energı́a, conservación del momentum lineal y
conservación del momentum angular. El primero se debe a la presencia exclusiva
de fuerzas conservativas, el segundo a que la sumatoria de fuerzas externas es
nula
X d⃗
p ⃗
F⃗ext = = 0,
dt
y el tercero, en razón de que la suma de torques externos es nula:
X dL⃗ ⃗
⃗τext = =0
dt
Ahora, se obtendrán dichos principios de conservación con condiciones más
débiles, en concreto:
• Uniformidad temporal
• Homogeneidad espacial
• Isotropı́a
Al referir a la uniformidad temporal, se aborda el hecho de que el lagrangiano
no es función explı́cita del tiempo:
L = L(q1 , ..., qn , q̇1 , ..., q̇n ) (1)
En otras palabras, se habla de una condición por la cual todos los tiempos son
equivalentes en cuanto a la descripción dinámica del sistema. Para comprender
esto, pueden pensarse en los casos inversos, es decir, cuando el lagrangiano es
función explı́cita del tiempo; habları́amos entonces de la presencia de fuerzas no
conservativas variables en el tiempo, de un potencial variable o de la presencia
de una ligadura reonómica. Lo mencionado tiene causa en que son agentes
exógenos(laboratoristas) los que provocan dichas dependencias temporales, ası́
1
, pues, al girar la perilla que explicita los valores para una fuente de voltaje, el
mencionado, no será igual, necesariamente, en un tiempo t que en un tiempo t′ ,
y en cuanto a la ligadura reonómica recuérdese el ejemplo del péndulo conectado
a un artilugio capaz de variar la longitud de su cuerda. También puede darse
que en las ecuaciones de transformación de coordenadas se haga explı́cita una
dependencia temporal. En estos casos diremos que el tiempo es no uniforme,
referirı́amos a un sistema móvil(teniendo cuidado con esto ya que un sistema
inercial puede ser móvil). Ası́ esto, bajo un sistema inercial de referencia, en
(1), por regla de la cadena:
n n
dL X ∂L X ∂L
= q˙j + q¨j (2)
dt j
∂qj j
∂ q˙j
Siendo n el número de coordenadas generalizadas. Ahora, de las ecuaciones de
Euler-Lagrange:
d ∂L ∂L
− =0
dt ∂ q˙j ∂qj
d ∂L ∂L
= (3)
dt ∂ q˙j ∂qj
Sustituyendo en (2):
n n
dL X d ∂L X ∂L
= q˙j + q¨j
dt j
dt ∂ q˙j j
∂ q˙j
Lo cual puede expresarse como la derivada de un producto:
n n
dL X d ∂L d X ∂L
= q˙j = q˙j
dt j
dt ∂ q˙j dt j ∂ q˙j
Igualando a cero, es decir, restando el miembro izquierdo en ambos extremos
de la igualdad, y a sabiendas de que la suma de derivadas es la derivada de una
suma, se obtiene:
n
d X ∂L
q˙j − L = 0
dt j
∂ q˙j
Implicando que la cantidad encerrada en paréntesis se trata de un valor con-
stante E:
2
