UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
Facultad de Ciencias y Educación
Licenciatura En Fı́sica
Último protocolo
Luis Ángel Miranda Martı́nez 1 - código: 20182135016
Mecánica Teórica - Carlos Efraı́n Jácome
Fecha de sesión: 03 de Junio de 2023
Enfoque de la clase:
El enfoque de esta sesión fue la de tratar de definir el concepto de Hamiltoniano. Precisamente se responderán
las siguientes cuestiones:
• ¿Qué es el Hamiltoniano?
• ¿Cómo se calcula?
y, luego se realizarán algunos ejemplos aplicativos sobre este concepto.
Inicio:
Se da inicio describiendo el sistema descrito por un Lagrangiano de n grados de libertad; es decir, la función
que da cuenta del Lagrangiano
L(q1 , ..., qn , q˙1 , ..., q˙n , t)
Esto con el objetivo de construir una transformación: la transformación de Leyandre.
Recordando:
Para el caso unidimensional, la transformación de Leyandre nos dice que el Lagrangiano será función de la
posición, la velocidad y eventualmente del tiempo; es decir, es de la forma:
L = L(q1 , q˙1 , t)
Y se construı́a otra función definida llamada H, de la forma:
H = (q̇p − L)
Donde p es el momento generalizado definido como:
∂L
p=
∂ q̇
Esto nos permite llegar a la relación que hay entre el Hamiltoniano y el momento generalizado debido a que
existe una correspondencia entre p y q̇ descrita por:
dp
>0
dq̇
1
, Es decir, que podemos constituir una nueva variable a p: q Es como gracias a estas relación de p se puede
definir la siguiente transformación de Leyandre:
H(p) = q̇p − L(ẋ(p))
Si derivamos parcialmente nuestra transformación con respecto a p, tenemos:
∂H ∂ q̇ ∂p ∂L ∂ q̇
= p + q̇ −
∂p ∂p ∂p ∂ q̇ ∂p
Donde, resolviendo queda:
∂H ∂ q̇ ∂L ∂ q̇
= p + q̇ −
∂p ∂p ∂ q̇ ∂p
∂L
Como p = ∂ q̇ , nos queda que:
∂H ∂ q̇ ∂ q̇
= p−p + q̇
∂p ∂p ∂q
Cancelando términos iguales, finalmente tenemos:
∂H
q̇ =
∂p
Por otra parte, la otra relación que se puede obtener para constituir el conjunto de las ecuaciones de Hamilton,
es la que tiene que ver con ṗ que parte de las ecuaciones de Lagrange; es decir:
d ∂L ∂L
( )− =0
dt ∂ q̇ ∂q
Recordando que H + L = ẋp y derivándola parcialmente a q, tenemos:
∂H ∂L
+ =0
∂q ∂q
Ya que ẋ y p no dependen de q, entonces:
∂L ∂H
=−
∂q ∂q
d ∂L
Y como dt ( ∂ q̇ ) es ṗ, la ecuación de Lagrange queda:
∂L ∂H
ṗ = =−
∂q ∂q
Concluyendo que:
∂H
ṗ = −
∂q
En sı́ntesis, el conjunto de las ecuaciones de Hamilton son:
∂H
q̇ = (1)
∂p
∂H
ṗ = − (2)
∂q
Retomando:
Para el caso del Lagrangiano en un sistema descrito por n grados de libertad, al hacer la transformación de
Leyandre, vemos que cambiamos las coordenadas q̇ a las coordenadas p. De tal manera que se describe una
nueva función H con estas coordenadas; es decir:
n
X
H(q1 , ..., qn , p1 , ..., pn , t) = q˙j pj − L(q1 , ..., qn , q˙1 (p1 , ..., pn ), ..., q˙n (p1 , ..., pn ), t) (3)
j=1
2
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Licenciatura En Fı́sica
Último protocolo
Luis Ángel Miranda Martı́nez 1 - código: 20182135016
Mecánica Teórica - Carlos Efraı́n Jácome
Fecha de sesión: 03 de Junio de 2023
Enfoque de la clase:
El enfoque de esta sesión fue la de tratar de definir el concepto de Hamiltoniano. Precisamente se responderán
las siguientes cuestiones:
• ¿Qué es el Hamiltoniano?
• ¿Cómo se calcula?
y, luego se realizarán algunos ejemplos aplicativos sobre este concepto.
Inicio:
Se da inicio describiendo el sistema descrito por un Lagrangiano de n grados de libertad; es decir, la función
que da cuenta del Lagrangiano
L(q1 , ..., qn , q˙1 , ..., q˙n , t)
Esto con el objetivo de construir una transformación: la transformación de Leyandre.
Recordando:
Para el caso unidimensional, la transformación de Leyandre nos dice que el Lagrangiano será función de la
posición, la velocidad y eventualmente del tiempo; es decir, es de la forma:
L = L(q1 , q˙1 , t)
Y se construı́a otra función definida llamada H, de la forma:
H = (q̇p − L)
Donde p es el momento generalizado definido como:
∂L
p=
∂ q̇
Esto nos permite llegar a la relación que hay entre el Hamiltoniano y el momento generalizado debido a que
existe una correspondencia entre p y q̇ descrita por:
dp
>0
dq̇
1
, Es decir, que podemos constituir una nueva variable a p: q Es como gracias a estas relación de p se puede
definir la siguiente transformación de Leyandre:
H(p) = q̇p − L(ẋ(p))
Si derivamos parcialmente nuestra transformación con respecto a p, tenemos:
∂H ∂ q̇ ∂p ∂L ∂ q̇
= p + q̇ −
∂p ∂p ∂p ∂ q̇ ∂p
Donde, resolviendo queda:
∂H ∂ q̇ ∂L ∂ q̇
= p + q̇ −
∂p ∂p ∂ q̇ ∂p
∂L
Como p = ∂ q̇ , nos queda que:
∂H ∂ q̇ ∂ q̇
= p−p + q̇
∂p ∂p ∂q
Cancelando términos iguales, finalmente tenemos:
∂H
q̇ =
∂p
Por otra parte, la otra relación que se puede obtener para constituir el conjunto de las ecuaciones de Hamilton,
es la que tiene que ver con ṗ que parte de las ecuaciones de Lagrange; es decir:
d ∂L ∂L
( )− =0
dt ∂ q̇ ∂q
Recordando que H + L = ẋp y derivándola parcialmente a q, tenemos:
∂H ∂L
+ =0
∂q ∂q
Ya que ẋ y p no dependen de q, entonces:
∂L ∂H
=−
∂q ∂q
d ∂L
Y como dt ( ∂ q̇ ) es ṗ, la ecuación de Lagrange queda:
∂L ∂H
ṗ = =−
∂q ∂q
Concluyendo que:
∂H
ṗ = −
∂q
En sı́ntesis, el conjunto de las ecuaciones de Hamilton son:
∂H
q̇ = (1)
∂p
∂H
ṗ = − (2)
∂q
Retomando:
Para el caso del Lagrangiano en un sistema descrito por n grados de libertad, al hacer la transformación de
Leyandre, vemos que cambiamos las coordenadas q̇ a las coordenadas p. De tal manera que se describe una
nueva función H con estas coordenadas; es decir:
n
X
H(q1 , ..., qn , p1 , ..., pn , t) = q˙j pj − L(q1 , ..., qn , q˙1 (p1 , ..., pn ), ..., q˙n (p1 , ..., pn ), t) (3)
j=1
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