Protocolo #28
Brayan Stiven Pardo Ruiz - 20201135006
Clase 31 de Mayo de 2023
Se comienza la sesión revisando la “invariancia” galileana del lagrangiano, las comillas se deben a que no se
trata estrictamente de la palabra utilizada. Ası́, se sabe que el lagrangiano de un sistema no es único para
un sistema mecánico Σ:
L = L(qi , q˙i , t)
Entiéndase que al escribir qi se refiere a la dependencia del lagrangiano de las n-coordenadas generalizadas.
L(qi , q˙i , t) = L(q1 , ..., qn , q˙1 , ..., q˙n , t)
Con base en el lagrangiano se pueden formar nuevos lagrangianos L′ :
dF
L′ (qi , q˙i , t) = L(qi , q˙i , t) +
dt
Donde F = F (qi , t), habiendo tantos L′ como funciones F diferenciables. Asociado a cada nuevo lagran-
giano L′ , se define la acción:
Z t
S′ = L′ (qi , q˙i , t)dt
t0
De lo cual se sigue:
Z t
′ dF
S = L(qi , q˙i , t) + dt
t0 dt
Y:
S ′ = S + F (qi (t), t) − F (qi (t0 ), t)
Donde la diferencia de la función F evaluada en t y t0 es constante, por ello, al efectuar una variación:
δS ′ = δS
Por ejemplo, se sabe que las ecuaciones de Newton son invariantes frente a transformaciones galileanas:
1
, Figura 1: Sistemas de referencia O-O’
Donde R ⃗˙ = ⃗λ y en el instante inicial t(0) = t0 = 0, los orı́genes de los sistemas coordenados coinciden. La
energı́a cinética estarı́a dada por:
1
T = mk ṙk2
2
⃗ r′ , entonces la energı́a
Donde los subı́ndices indican suma, en este caso, sobre las k-partı́culas. Como ⃗rk = R+⃗k
cinética:
1 ⃗˙ + r⃗˙′ )2
T = m k (R k
2
mk ˙′ 2 mk 2 ⃗ · ⃗r˙k′
T = r + Ṙ + mk R
2 k 2
Ahora, el potencial será el mismo en ambos sistemas, es decir V = V ′ , dado que a pesar de que en el
primado se tendrá en cuenta una dependencia temporal a raı́z del movimiento relativo de los sistemas, esto
no alterará su valor. Concretamente, en t = 0:
′
V (rk,i ) = V (rk,i )
A sabiendas de que L′ = L + dF/dt, tomando las respectivas energı́as cinéticas y potenciales, la aparición
de términos extra en a energı́a cinética T ′ indica la relación de estos con dF/dt. Ası́:
2
dF ˙ k ′ + Ṙ mk
⃗˙ · mk⃗r
=R
dt 2
P
Ası́, como mk ≡ k mk = M , siendo M la masa total, se puede obtener que:
1 2 ⃗˙ · mk ⃗r′
F = Ṙ M t + R k
2
Tratándose, entonces, de lagrangianos equivalentes mediados por las derivadas de la función F . Ahora, se
revisará la obtención del Hamiltoniano por medio de las transformaciones de Legendre.
En primera instancia, es necesario definir una coordenada cı́clica, siendo esta toda aquella que verifique:
∂L
=0
∂qi
2
Brayan Stiven Pardo Ruiz - 20201135006
Clase 31 de Mayo de 2023
Se comienza la sesión revisando la “invariancia” galileana del lagrangiano, las comillas se deben a que no se
trata estrictamente de la palabra utilizada. Ası́, se sabe que el lagrangiano de un sistema no es único para
un sistema mecánico Σ:
L = L(qi , q˙i , t)
Entiéndase que al escribir qi se refiere a la dependencia del lagrangiano de las n-coordenadas generalizadas.
L(qi , q˙i , t) = L(q1 , ..., qn , q˙1 , ..., q˙n , t)
Con base en el lagrangiano se pueden formar nuevos lagrangianos L′ :
dF
L′ (qi , q˙i , t) = L(qi , q˙i , t) +
dt
Donde F = F (qi , t), habiendo tantos L′ como funciones F diferenciables. Asociado a cada nuevo lagran-
giano L′ , se define la acción:
Z t
S′ = L′ (qi , q˙i , t)dt
t0
De lo cual se sigue:
Z t
′ dF
S = L(qi , q˙i , t) + dt
t0 dt
Y:
S ′ = S + F (qi (t), t) − F (qi (t0 ), t)
Donde la diferencia de la función F evaluada en t y t0 es constante, por ello, al efectuar una variación:
δS ′ = δS
Por ejemplo, se sabe que las ecuaciones de Newton son invariantes frente a transformaciones galileanas:
1
, Figura 1: Sistemas de referencia O-O’
Donde R ⃗˙ = ⃗λ y en el instante inicial t(0) = t0 = 0, los orı́genes de los sistemas coordenados coinciden. La
energı́a cinética estarı́a dada por:
1
T = mk ṙk2
2
⃗ r′ , entonces la energı́a
Donde los subı́ndices indican suma, en este caso, sobre las k-partı́culas. Como ⃗rk = R+⃗k
cinética:
1 ⃗˙ + r⃗˙′ )2
T = m k (R k
2
mk ˙′ 2 mk 2 ⃗ · ⃗r˙k′
T = r + Ṙ + mk R
2 k 2
Ahora, el potencial será el mismo en ambos sistemas, es decir V = V ′ , dado que a pesar de que en el
primado se tendrá en cuenta una dependencia temporal a raı́z del movimiento relativo de los sistemas, esto
no alterará su valor. Concretamente, en t = 0:
′
V (rk,i ) = V (rk,i )
A sabiendas de que L′ = L + dF/dt, tomando las respectivas energı́as cinéticas y potenciales, la aparición
de términos extra en a energı́a cinética T ′ indica la relación de estos con dF/dt. Ası́:
2
dF ˙ k ′ + Ṙ mk
⃗˙ · mk⃗r
=R
dt 2
P
Ası́, como mk ≡ k mk = M , siendo M la masa total, se puede obtener que:
1 2 ⃗˙ · mk ⃗r′
F = Ṙ M t + R k
2
Tratándose, entonces, de lagrangianos equivalentes mediados por las derivadas de la función F . Ahora, se
revisará la obtención del Hamiltoniano por medio de las transformaciones de Legendre.
En primera instancia, es necesario definir una coordenada cı́clica, siendo esta toda aquella que verifique:
∂L
=0
∂qi
2
