Protocolo del martes 30 de Mayo de
2023
Stiven Madrid Terán - 20201135062
Materia: Mecánica Teórica
La clase inicia con el problema de la Braquistócroma. En este problema nos preguntamos
por la forma de la trayectoria que tendrı́a que recorrer una partı́cula de masa m de tal ma-
nera que requiera el mı́nimo tiempo para llegar de un punto (x0 , y0 ) o otro punto (xf , yf )
del plano, la partı́cula se encuentra en un campo gravitacional uniforme.
Figura 1. Descripción gráfica del problema de la Braquistócroma
La rapidez de la partı́cula se define como
ds
v= (1)
dt
Donde ds es un elemento de arco de la trayectoria de la partı́cula. De (1) despejamos
dt
1
, ds
dt = (2)
v
Ahora, el tiempo T que tarda el movimiento es la integral desde 0 hasta T de dt
Z T
T = dt (3)
0
Reemplazando (2) en (3) nos queda
Z T
ds
T = (4)
0 v
Suponemos conservación de la energı́a, por lo tanto podemos usar Ei = Ef , donde Ei
es la energı́a inicial de la partı́cula y Ef es la energı́a final, esto tambien es equivalente
a E = cte. Suponemos también que la partı́cula parte del reposo por lo que su velocidad
inicial será cero, luego, en el punto (xi , yi ) la partı́cula solo tendrá energı́a potencial.
Ei = mgy0 (5)
1
Ef = mgyf + mvf2 (6)
2
determinando la energı́a E para un instante posterior a que la partı́cula partiera de (x0 , y0 ),
nos queda
1
E = mgy + mv 2 (7)
2
Despejando v de (7) r
2
v= (E − mgy) (8)
m
Ahora, el elemento de arco ds está dado por
s 2
dy
ds = 1 + dx (9)
dx
Reemplazamos (8) y (9) en (4)
s
xf
1 + y ′2
Z
T = 2 dx (10)
x0 m
(E − mgy)
dy 2
= y ′2 y como se integra respecto a dx los limites de
En (10) hemos tomado a dx
integración cambian de t a x, esto es, x = x0 cuando t = 0 y x = xf cuando t = T .
Dado que buscamos un T mı́nimo, definimos a T como una funcional, para una función
y(x) que haga mı́nima la funcional se cumple la condición δT = 0
Z xf s
1 + y ′2
δT = δ 2 dx = 0 (11)
x0 m
(E − mgy)
2
2023
Stiven Madrid Terán - 20201135062
Materia: Mecánica Teórica
La clase inicia con el problema de la Braquistócroma. En este problema nos preguntamos
por la forma de la trayectoria que tendrı́a que recorrer una partı́cula de masa m de tal ma-
nera que requiera el mı́nimo tiempo para llegar de un punto (x0 , y0 ) o otro punto (xf , yf )
del plano, la partı́cula se encuentra en un campo gravitacional uniforme.
Figura 1. Descripción gráfica del problema de la Braquistócroma
La rapidez de la partı́cula se define como
ds
v= (1)
dt
Donde ds es un elemento de arco de la trayectoria de la partı́cula. De (1) despejamos
dt
1
, ds
dt = (2)
v
Ahora, el tiempo T que tarda el movimiento es la integral desde 0 hasta T de dt
Z T
T = dt (3)
0
Reemplazando (2) en (3) nos queda
Z T
ds
T = (4)
0 v
Suponemos conservación de la energı́a, por lo tanto podemos usar Ei = Ef , donde Ei
es la energı́a inicial de la partı́cula y Ef es la energı́a final, esto tambien es equivalente
a E = cte. Suponemos también que la partı́cula parte del reposo por lo que su velocidad
inicial será cero, luego, en el punto (xi , yi ) la partı́cula solo tendrá energı́a potencial.
Ei = mgy0 (5)
1
Ef = mgyf + mvf2 (6)
2
determinando la energı́a E para un instante posterior a que la partı́cula partiera de (x0 , y0 ),
nos queda
1
E = mgy + mv 2 (7)
2
Despejando v de (7) r
2
v= (E − mgy) (8)
m
Ahora, el elemento de arco ds está dado por
s 2
dy
ds = 1 + dx (9)
dx
Reemplazamos (8) y (9) en (4)
s
xf
1 + y ′2
Z
T = 2 dx (10)
x0 m
(E − mgy)
dy 2
= y ′2 y como se integra respecto a dx los limites de
En (10) hemos tomado a dx
integración cambian de t a x, esto es, x = x0 cuando t = 0 y x = xf cuando t = T .
Dado que buscamos un T mı́nimo, definimos a T como una funcional, para una función
y(x) que haga mı́nima la funcional se cumple la condición δT = 0
Z xf s
1 + y ′2
δT = δ 2 dx = 0 (11)
x0 m
(E − mgy)
2
