Protocolo.
Angie Lorena Sanchez Cuadrado1
1
Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Correspondiente al dı́a: 27 de Mayo de 2022
Deducción principio de Hamilton
Se comienza la sesión enunciando el principio de D’Alambert:
N
X
¨ k · δ⃗rk = 0
f⃗k − mk⃗r (1)
k=1
Teniendo en cuenta que la energı́a cinética se describe como:
X mk
T = ⃗r˙k2 (2)
k
2
Y su variación como: X
δT = mk⃗r˙ k · δ ṙk (3)
k
La variación ⃗r˙ k · δ ṙk se puede escribir como:
d n ˙ o
δ⃗rk · δ⃗rk = ⃗r¨k δ⃗rk + ⃗r˙k · δ⃗r˙k (4)
dt
Donde el término ⃗r˙k · δ⃗r˙k se relaciona con la variación de la energı́a cinética (Eq.3) De esta
forma el principio (Eq.1) se puede escribir como:
N tf
Z tt X
δT − δv + δW N C dt − mk⃗r˙ k · δ⃗rk
= 0. (5)
t0 k=1 t0
Donde:
∂T
mk⃗r˙ k · δ⃗rk = · δ⃗rk (6)
∂⃗r˙k
1
, De tal forma que, teniendo en cuenta lo anterior, la ecuación 5 quedarı́a reescrita de la forma:
Z
tf
=0.(7)
tf ∂T
)+δwN C }dt−
P
t0 {δ(T −V k ∂⃗ ·δ⃗
rk
r˙ k
t0
Teniendo en cuenta que:
n
X ∂⃗rk
δ⃗rk = δqj (8)
j=1
∂qj
Ahora, reescribiendo la Eq. 7 en coordenadas generalizadas se tiene:
k n tf
Z tf Nc
X ∂T X ∂⃗rk
δL + δw dt − · · δqj =0 (9)
t0 k=1
∂ ṙ k j=1 ∂qj
t0
Intercambiando las sumatorias y sacando todo lo que no depende de k se obtiene:
n n tf
Z tf Nc
X X ∂T ∂⃗rk
δL + δw dt − δqj · =0 (10)
t0 j=1 k=1
∂ ṙk ∂qj
t0
Y haciendo uso de la propiedad de eliminación de punto (pero al revés sobre el último término
presente en la Eq.10:
n n tf
tf
∂T ∂⃗r˙k
Z X X
Nc
δL + δw dt − δqj · =0 (11)
t0 j=1 k=1
∂ ṙk ∂ q̇j
t0
Teniendo en cuenta que el último término de la Eq. 11 es una regla de la cadena al de-
rivar parcialmente, hace entonces referencia a ∂∂Tq̇j que se evidencia al analizar que: ⃗rk =
⃗rk (q1 , . . . , qn , t) su vez ⃗rk = ni=1 ∂⃗
rk
q̇ + ∂⃗
rk
P
∂qi i ∂i
donde cada una de las ⃗rk va a depender de q̇i .
De tal forma que la ecuación 11 queda reescrita de la siguiente manera:
n tf
Z tf Nc
X ∂T
δL + δw dt − δqj =0 (12)
t0 k=1
∂ q̇ j
t0
Que es el principio de Hamilton.
Deducción ecuación de Lagrange para un sistema de N-
partı́culas
Para esta deducción se partirá fundamentalmente de dos cosas:
2
Angie Lorena Sanchez Cuadrado1
1
Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Correspondiente al dı́a: 27 de Mayo de 2022
Deducción principio de Hamilton
Se comienza la sesión enunciando el principio de D’Alambert:
N
X
¨ k · δ⃗rk = 0
f⃗k − mk⃗r (1)
k=1
Teniendo en cuenta que la energı́a cinética se describe como:
X mk
T = ⃗r˙k2 (2)
k
2
Y su variación como: X
δT = mk⃗r˙ k · δ ṙk (3)
k
La variación ⃗r˙ k · δ ṙk se puede escribir como:
d n ˙ o
δ⃗rk · δ⃗rk = ⃗r¨k δ⃗rk + ⃗r˙k · δ⃗r˙k (4)
dt
Donde el término ⃗r˙k · δ⃗r˙k se relaciona con la variación de la energı́a cinética (Eq.3) De esta
forma el principio (Eq.1) se puede escribir como:
N tf
Z tt X
δT − δv + δW N C dt − mk⃗r˙ k · δ⃗rk
= 0. (5)
t0 k=1 t0
Donde:
∂T
mk⃗r˙ k · δ⃗rk = · δ⃗rk (6)
∂⃗r˙k
1
, De tal forma que, teniendo en cuenta lo anterior, la ecuación 5 quedarı́a reescrita de la forma:
Z
tf
=0.(7)
tf ∂T
)+δwN C }dt−
P
t0 {δ(T −V k ∂⃗ ·δ⃗
rk
r˙ k
t0
Teniendo en cuenta que:
n
X ∂⃗rk
δ⃗rk = δqj (8)
j=1
∂qj
Ahora, reescribiendo la Eq. 7 en coordenadas generalizadas se tiene:
k n tf
Z tf Nc
X ∂T X ∂⃗rk
δL + δw dt − · · δqj =0 (9)
t0 k=1
∂ ṙ k j=1 ∂qj
t0
Intercambiando las sumatorias y sacando todo lo que no depende de k se obtiene:
n n tf
Z tf Nc
X X ∂T ∂⃗rk
δL + δw dt − δqj · =0 (10)
t0 j=1 k=1
∂ ṙk ∂qj
t0
Y haciendo uso de la propiedad de eliminación de punto (pero al revés sobre el último término
presente en la Eq.10:
n n tf
tf
∂T ∂⃗r˙k
Z X X
Nc
δL + δw dt − δqj · =0 (11)
t0 j=1 k=1
∂ ṙk ∂ q̇j
t0
Teniendo en cuenta que el último término de la Eq. 11 es una regla de la cadena al de-
rivar parcialmente, hace entonces referencia a ∂∂Tq̇j que se evidencia al analizar que: ⃗rk =
⃗rk (q1 , . . . , qn , t) su vez ⃗rk = ni=1 ∂⃗
rk
q̇ + ∂⃗
rk
P
∂qi i ∂i
donde cada una de las ⃗rk va a depender de q̇i .
De tal forma que la ecuación 11 queda reescrita de la siguiente manera:
n tf
Z tf Nc
X ∂T
δL + δw dt − δqj =0 (12)
t0 k=1
∂ q̇ j
t0
Que es el principio de Hamilton.
Deducción ecuación de Lagrange para un sistema de N-
partı́culas
Para esta deducción se partirá fundamentalmente de dos cosas:
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