UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN FÍSICA
MECANICA TEÓRICA
www.udistrital.edu.co
PROTOCOLO NÚMERO 29
1
Ossa Varón Santiago
Docente: Jacome Muñoz Carlos Efrain
Fecha: 27 de Mayo del 2023
PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN Y TRABAJOS NO CONSERVATIVOS
Partiendo del principio de D’Alembert.
N
X
(F⃗k − mk r⃗¨k ) · δrk = 0
k=1
Y recordando que la energı́a cinética es equivalente a
X mk
T = ⃗r̈k2
2
k
Cuando se trata de variaciones de la energı́a cinétiac T se puede definir cómo
X
δT = mk r˙k · δ r˙k
k
Dónde el producto punto con δ ṙk representa las variaciones de las velocidades para cada partı́cula k. El producto punto de ṙk · δ ṙk
se busca reemplazarlo por la derivada con respecto al tiempo del producto, dónde se obtiene:
d
[r˙k · δrk ] = r¨k · δrk + r˙k · δ r˙k
dt
En un tiempo t0 y tf
Z tf
δT − δV − δW N C
t0
1
20191135039
1
, ⃗ k V , que viene a representar en la ecuación a δV − δW N C .
Recordando la función Fk = FkC + FkN C , dónde FkC = −∇
n
X ∂rk
δrk = δqj (1)
j=1
∂qj
Mientras que para las variaciones de δrk , se tiene la ecuación anterior.
Z tf
t
X
(δ(T − V ) + δW N C )dt + mk ṙk · δrk |tf0 = 0
t0 k=1
Reemplazando la fuerza mk ṙk por la variación de la energı́a cinética con respecto a las velocidades de acuerdo a la ecuación 2.
Z tf X ∂T t
(δ(T − V ) + δW N C )dt + · δrk |tf0 = 0
t0 ∂ ṙk
k=1
∂T
mk ṙk · δrk = · δrk (2)
∂ ṙk
Dónde dicha variación descompuesta en sus componentes en (x, y, z) queda cómo:
∂T ∂T ∂T ∂T
= î + ĵ + k̂
∂ ṙk ∂ ẋk ∂ ẏk ∂ żk
Reemplazando el δrk de acuerdo a la ecuación 1, se tiene la ecuación siguiente
Z tf n N
X ∂T X ∂rk t
(δL + δW N C )dt + · δqj |tf0 = 0
t0 ∂ ṙk j=1 ∂qj
k=1
Dónde las sumatorias se agrupan de acuerdo a las variaciones de en j e i.
Z tf n N
X X ∂T ∂rk tf
(δL + δW N C )dt + δqj · | =0
t0 j=1
∂ ṙk ∂qj t0
k=1
Aplicando la propiedad de colocación de punto inversa:
Z tf n N
X X ∂T ∂ ṙk
(δL + δW N C )dt + δqj ·
t0 j=1
∂ ṙk ∂ q̇j
k=1
Dónde rk = rk (q1, .., qn, t)
n
X ∂rk ∂rk
ṙk = q̇i +
i=1
∂qi ∂t
Que de acuerdo al principio de Hamilton:
Z tf n
X ∂T t
(δL + δW N C )dt − δqj |tf0
t0 j=1
∂qj
2
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN FÍSICA
MECANICA TEÓRICA
www.udistrital.edu.co
PROTOCOLO NÚMERO 29
1
Ossa Varón Santiago
Docente: Jacome Muñoz Carlos Efrain
Fecha: 27 de Mayo del 2023
PRINCIPIO DE MÍNIMA ACCIÓN Y TRABAJOS NO CONSERVATIVOS
Partiendo del principio de D’Alembert.
N
X
(F⃗k − mk r⃗¨k ) · δrk = 0
k=1
Y recordando que la energı́a cinética es equivalente a
X mk
T = ⃗r̈k2
2
k
Cuando se trata de variaciones de la energı́a cinétiac T se puede definir cómo
X
δT = mk r˙k · δ r˙k
k
Dónde el producto punto con δ ṙk representa las variaciones de las velocidades para cada partı́cula k. El producto punto de ṙk · δ ṙk
se busca reemplazarlo por la derivada con respecto al tiempo del producto, dónde se obtiene:
d
[r˙k · δrk ] = r¨k · δrk + r˙k · δ r˙k
dt
En un tiempo t0 y tf
Z tf
δT − δV − δW N C
t0
1
20191135039
1
, ⃗ k V , que viene a representar en la ecuación a δV − δW N C .
Recordando la función Fk = FkC + FkN C , dónde FkC = −∇
n
X ∂rk
δrk = δqj (1)
j=1
∂qj
Mientras que para las variaciones de δrk , se tiene la ecuación anterior.
Z tf
t
X
(δ(T − V ) + δW N C )dt + mk ṙk · δrk |tf0 = 0
t0 k=1
Reemplazando la fuerza mk ṙk por la variación de la energı́a cinética con respecto a las velocidades de acuerdo a la ecuación 2.
Z tf X ∂T t
(δ(T − V ) + δW N C )dt + · δrk |tf0 = 0
t0 ∂ ṙk
k=1
∂T
mk ṙk · δrk = · δrk (2)
∂ ṙk
Dónde dicha variación descompuesta en sus componentes en (x, y, z) queda cómo:
∂T ∂T ∂T ∂T
= î + ĵ + k̂
∂ ṙk ∂ ẋk ∂ ẏk ∂ żk
Reemplazando el δrk de acuerdo a la ecuación 1, se tiene la ecuación siguiente
Z tf n N
X ∂T X ∂rk t
(δL + δW N C )dt + · δqj |tf0 = 0
t0 ∂ ṙk j=1 ∂qj
k=1
Dónde las sumatorias se agrupan de acuerdo a las variaciones de en j e i.
Z tf n N
X X ∂T ∂rk tf
(δL + δW N C )dt + δqj · | =0
t0 j=1
∂ ṙk ∂qj t0
k=1
Aplicando la propiedad de colocación de punto inversa:
Z tf n N
X X ∂T ∂ ṙk
(δL + δW N C )dt + δqj ·
t0 j=1
∂ ṙk ∂ q̇j
k=1
Dónde rk = rk (q1, .., qn, t)
n
X ∂rk ∂rk
ṙk = q̇i +
i=1
∂qi ∂t
Que de acuerdo al principio de Hamilton:
Z tf n
X ∂T t
(δL + δW N C )dt − δqj |tf0
t0 j=1
∂qj
2
