Apuntes de mecánica teórica

Protocolo clase 24 de mayo
Juan Pablo Sánchez Trujillo 20192135041

Fecha: 24/05/2023


Continuando con lo visto en la clase pasada, tomamos en cuenta el principio de
trabajos virtuales de D’Alembert:
X 
fk − mk r · δrk = 0 (1)
k
 
d dx
(δr) = δ (2)
dt dt
mk
T = rk · rk (3)
2
Entonces:
dT ′
 
′ dT
δT = dT − dT = − dt (4)
dt dt
m
m
δT = δ r · r = {r · δr + δr · r} (5)
2 2


δT = m r · δr (6)
Por otra parte:
dr dr′
 
′
δr = dr − dr = − dt (7)
dt dt


mr · δr → δT = m r · δr (8)

d
r · δr → {r · δr} (9)
dt
d
= r · δr + r · δr (10)
dt
= r · δr + r · δr (11)
Luego:
d

r · δr = r · δr + r · δr (12)
dt
d
r · δr = {r · δr} − r · δr (13)
dt


1

, La anterior ecuación (ecuación 13) se usará en la ecuación de D’Alambert (ecuación 1).
De la ecuación 1 podemos escribir:
N
X N
X
fk · δrk − mk rk · δrk = 0 (14)
k=1 k=1

Usamos la ecuación 13 y obtenemos:
 
X X d

fk · δrk − mk rk · δrk − rk · δrk = 0 (15)
k k
dt
X X d
X
fk · δrk − mk rk · δrk + mk rk · δrk = 0 (16)
k k
dt k
X X d
X
fk · δrk − mk rk · δrk + δTk = 0 (17)
k k
dt k
n
X ∂rk
δrk = δqj (18)
j=1
∂qj
N X
n
X ∂rk d X
fk δqj + δT − mk rk · δrk = 0 (19)
k=1 j=1
∂qj dt

Y recordando que QC NC
j habla de conservativo y Qj no conservativo:

fk = fkC + fkN C ∨ QC NC
j + Qj = Qj (20)

N
( )
X ∂rk d X
X
δT + δqj fk · − mkk rk · δrk = 0 (21)
j k
∂q j dt k
( )
X d X
= δT + qj δqj − mk rk · rk = 0 (22)
j
dt k

El segundo término de corresponderá a la sumatoria de trabajos virtuales, y esto nos
lleva a la fuerza generalizada:
X X d X
= δT + qjC δqj + qjN C δqj − mk rk · δrk = 0 (23)
j j
dt k
Z tf Z tf
 C NC d X
δT + δW + δw dt + mk rk · δrk = 0 (24)
t0 t0 dt k
Z tf N
X tf
δT + δwC + δwN C dt +

mk rk · δrk =0 (25)
t0 t0
k=1

Si suponemos para una partícula con movimiento en una dimensión , cuyos extremos
están fijos en xk se obtiene como dependiente del tiempo (figura 1) a xk : La figura 1
recibe el nombre de "problema de extremo fijado", debido a que se parte de un mismo

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