UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN FÍSICA
PROTOCOLO #27
Miércoles 24 de mayo
Samuel E. Quevedo R.
Mecánica teórica.
La clase inicia con el planteamiento de la ecuación de d’Alembert (Ec. 1), donde se dice que se
transformará los términos en negrilla.
N
X
(F⃗k − mk˜
r̈k ) · δr̃k (1)
k=1
Para eso partimos de la ecuación de la energı́a cinética y se comenta que la energı́a cinética es igual a la
diferencia de la variación.
dT dT ′
δT = −
dt dt
m ⃗
Por ende, 2 δ(ṙ · ⃗ṙ) = m ⃗
2 (ṙ · δ⃗ṙ + δ⃗ṙ · r)
Sabiendo que la variación hereda las propiedades de la derivada y se conoce m⃗r̈ · δ⃗ṙ, se plante a derivada
de ⃗ṙ · δ⃗r.
Quedando ası́:
d⃗
ṙ · δ⃗r = ⃗r̈ · δ⃗r + ⃗ṙ · δ⃗ṙ (2)
dt
De la ecuación 2, despejamos el término que requerimos (aceleración), reemplazamos dicha expresión en 1
y operamos, ası́ surge la ecuación 3
X d ⃗ X X
F⃗k · δrk −
(r˙k · δ r⃗k ) + mk
δTk = 0 (3)
dt
k k k
Cambiando ahora a coordenadas generalizadas δ⃗r = nj=1 δq δ⃗
r
P
j
δqj
1
, Sustituyendo en 3 y reescribiendo encontramos la ecuación 4
n N
X X δ r˜k dX ⃗
δTk + δqj F̃k · − mk ṙ · δ r⃗k = 0 (4)
δqj dt
j=1 k k
Donde el término en negrilla reconocemos como la fuerza generaliza
X dX ⃗
δTk + Qj δqj − mk ṙ · δ r⃗k = 0
dt
j k
El nuevo término en negrilla es el trabajo virtual. Se desglosa la fuerza generalizada en conservativas y no
conservativas y se integrará la expresión desde un to a un tf y de allı́ sale la ecuación 5
Z tf k=1
t
X
(δT + δW c + δW nc )dt + (mk r⃗˙k · δ r⃗k )tf0 = 0 (5)
t0 N
Ahora, si suponemos un movimiento unidimensional y extremos fijos de la partı́cula k-ésima en Xk se
obtiene cómo depende Xk del tiempo.
Figura 1: Problema de extremo fijo
Material del autor
A la figura 1 se le llama el problema de extremo fijo porque se parte del mismo punto y se llega de igual
forma al mismo sin importar el camino, por lo que la variación es cero, solo movemos la curva de arriba a
abajo para hallar el mı́nimo. Dichos cambios se ven representadas por las lineas punteadas roja y azul,
donde se toman como Xk ± δXk y la curva negra es la solución y la linea naranja es la variación. Con esto
en mente surge la ecuación 6.
Z tf X δ r˜k
(δT + − δqj + δW N C )dt = 0 (6)
t0 δqj
j
De 6, el término en negrilla es −δV ası́ que reemplazamos en 6 y recordamos que trabajamos con fuerzas
conservativas entonces el tercer término se cancela.
Z tf
(δT − δV )dt = 0 (7)
t0
2
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN FÍSICA
PROTOCOLO #27
Miércoles 24 de mayo
Samuel E. Quevedo R.
Mecánica teórica.
La clase inicia con el planteamiento de la ecuación de d’Alembert (Ec. 1), donde se dice que se
transformará los términos en negrilla.
N
X
(F⃗k − mk˜
r̈k ) · δr̃k (1)
k=1
Para eso partimos de la ecuación de la energı́a cinética y se comenta que la energı́a cinética es igual a la
diferencia de la variación.
dT dT ′
δT = −
dt dt
m ⃗
Por ende, 2 δ(ṙ · ⃗ṙ) = m ⃗
2 (ṙ · δ⃗ṙ + δ⃗ṙ · r)
Sabiendo que la variación hereda las propiedades de la derivada y se conoce m⃗r̈ · δ⃗ṙ, se plante a derivada
de ⃗ṙ · δ⃗r.
Quedando ası́:
d⃗
ṙ · δ⃗r = ⃗r̈ · δ⃗r + ⃗ṙ · δ⃗ṙ (2)
dt
De la ecuación 2, despejamos el término que requerimos (aceleración), reemplazamos dicha expresión en 1
y operamos, ası́ surge la ecuación 3
X d ⃗ X X
F⃗k · δrk −
(r˙k · δ r⃗k ) + mk
δTk = 0 (3)
dt
k k k
Cambiando ahora a coordenadas generalizadas δ⃗r = nj=1 δq δ⃗
r
P
j
δqj
1
, Sustituyendo en 3 y reescribiendo encontramos la ecuación 4
n N
X X δ r˜k dX ⃗
δTk + δqj F̃k · − mk ṙ · δ r⃗k = 0 (4)
δqj dt
j=1 k k
Donde el término en negrilla reconocemos como la fuerza generaliza
X dX ⃗
δTk + Qj δqj − mk ṙ · δ r⃗k = 0
dt
j k
El nuevo término en negrilla es el trabajo virtual. Se desglosa la fuerza generalizada en conservativas y no
conservativas y se integrará la expresión desde un to a un tf y de allı́ sale la ecuación 5
Z tf k=1
t
X
(δT + δW c + δW nc )dt + (mk r⃗˙k · δ r⃗k )tf0 = 0 (5)
t0 N
Ahora, si suponemos un movimiento unidimensional y extremos fijos de la partı́cula k-ésima en Xk se
obtiene cómo depende Xk del tiempo.
Figura 1: Problema de extremo fijo
Material del autor
A la figura 1 se le llama el problema de extremo fijo porque se parte del mismo punto y se llega de igual
forma al mismo sin importar el camino, por lo que la variación es cero, solo movemos la curva de arriba a
abajo para hallar el mı́nimo. Dichos cambios se ven representadas por las lineas punteadas roja y azul,
donde se toman como Xk ± δXk y la curva negra es la solución y la linea naranja es la variación. Con esto
en mente surge la ecuación 6.
Z tf X δ r˜k
(δT + − δqj + δW N C )dt = 0 (6)
t0 δqj
j
De 6, el término en negrilla es −δV ası́ que reemplazamos en 6 y recordamos que trabajamos con fuerzas
conservativas entonces el tercer término se cancela.
Z tf
(δT − δV )dt = 0 (7)
t0
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