Apuntes Estructura atómica y nuclear - radioactividad

Tema 2 - Estructura atómica
Fernando Canales Melgarejo


1 Generalidades
Comenzaremos describiendo el caso más sencillo: átomos de un electrón, independientemente del
número de nucleones.
Consideraremos la aproximación no relativista, con las siguientes hipótesis:

• Al ser un sistema no relativista, responde a la Ecuación de Schördinger:

∂ψ(r, t)
ih̄ = Hψ(r, t) (1)
∂t

• Consideraremos estados estacionarios, de forma que las densidades de probabilidad asociadas
a las medidas de diferentes observables no varı́an con el tiempo. Esto nos permitirá escribir la
ecuación de onda separada en dos partes: parte temporal y parte espacial.

E
ψ(r, t) = e−i h̄ t ψ(r) → Hψ(r) = Eψ(r) (2)

h̄2
 
− ∇2 + V (r) − E ψ(r) = 0 (3)
2µ

El potencial de interacción que consideraremos es un potencial coulombiano entre el núcleo de masa
M, carga Ze y un electrón de masa m y carga e (siendo µ la masa reducida del sistema).

1 Ze2
V (r) = − (4)
4πϵ0 r

1.1 Potencial Coulombiano
Dado que el potencial Coulombiano es un potencial central, podemos separar la función de onda y
expresar su parte espacial en coordenadas esféricas:

uE,l (r)
ψ(r) = ψ(r, θ, ϕ) = RE,l (r)Ylm (θ, ϕ) = Ylm (θ, ϕ) (5)
r
Donde Ylm (θ, ϕ) son los armónicos esféricos.
Por otro lado, para la parte radial uE,l (r) tendremos que resolver la siguiente ecuación:

d2 u(r) 2µ
+ 2 [E − Vcen (r)]u(r) = 0 (6)
dr2 h̄


1

, Figure 1: Potencial Coulombiano para distintos valores de L


La ecuación diferencial obtenida para la parte radial presenta una estructura muy similar a las ecuación
de Whitaker (tabulada), lo que nos permite obtener que:

1 µc2 Z 2 α2
E=− (7)
2 n2
Llegamos a la conclusión de que los niveles de energı́a asociados a un sistema con un electrón que está
sometido a un potencial coulombiano está cuantizada en función del número n.
La expresión genérica para la función de onda radial será:
 l  
Zr
− na Zr Zr
Rnl (r) = Cnl e µ L2l+1
n−l−1 (8)
naµ naµ
Las funciones de onda más bajas serán:




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, 1.2 Funciones de Onda
Una vez que sabemos que, dado el potencial central que interviene en nuestro sistema, podemos separar
la función de onda en una parte radial y otra parte angular, definamos la distribución radial de
la función de onda:
Z Z
2 2 2 2 2
Dnl (r) = |ψ(r, θ, ϕ)| r dΩ = |Rnl (r)| |Ylm (θ, ϕ)| r2 dΩ = r2 |Rnl (r)| (9)
Ω Ω

Se puede obtener la expresión equivalente en coordenadas cartesianas, pero es más sencillo trabajar
en polares.




Figure 2: Distribución radial para el orbital 1S

Como podemos ver, NO existen trayectorias definida, lo que contradice el modelo de Bohr.
El cambio de número cuántico n implica una redistribución de probabilidad en todo el espacio.


1.3 Niveles de energı́a
Veamos una serie de consideraciones con respecto a los niveles de energı́a cuantizados que hemos
obtenido:

• El potencial coulombiano tiene alcance infinito, luego predice la existencia de infinitos niveles de
energı́a.

• Los niveles de energı́a solo dependen de n y están degenerados respecto a los números cuánticos
l y m:

– Para cada valor de n, l puede variar entre o y n-1.+
– Para cada valor de l hay 2l + 1 valores de m: -l, - l+1,..., +l.

Luego el sistema está degenerado.




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