Verhoudingen
Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of
meetkundige beschrijvingen. Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden zoals
lengte gewicht en inhoud. Verhoudingen maken het mogelijk zaken met elkaar te vergelijken
zo kun je in het bovenstaand voorbeeld met koffie berekenen hoeveel elk merk koffie
bepaald een eenheid kost.
Een schaal geeft verhouding aan tussen de weergave van iets en de werkelijke grootte ervan.
Zo betekent een schaal van 1 :80 000. 1 millimeter is op de kaar in werkelijkheid 80000
millimeter.
Snelheid kun je weer uitdrukken in het aantal afgelegde kilometers per uur. Die km/u is
samengesteld uit de grootheid lengte, met de maateenheid kilometer en de grootheid tijd,
met de maat uur.
Wanverhouding wordt vaak gebruikt om informatie over te breng of om de aandacht te
trekken. Dit kom je bijvoorbeeld tegen in reclame, cartoons en kunst
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Kwalitatieve verhoudingen: er komen geen getallen aan te pas. Het wordt uitgedrukt in
woorden. Vb: een kind is lang voor zijn leeftijd. Hier zit ook vaak een meetkundige verband
in. Kwantitatieve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen
Interne en externe verhoudingen
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden maar ook andere zaken waar een
getal aan kan worden toegekend.
Interne verhouding: als een verhouding 1 grootheid of eenheid betreft. Vb: 1 op de 4
pabostudent is jongen
Externe verhouding: betreft twee verschillende grootheden. Vb: afgelegde afstand in een
bepaalde tijd en prijs per gewicht
Verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Bij verhoudingsdeling kun je denken aan het volgende: Er zijn 12 snoepjes hoeveel groepjes
van 4 snoepjes kan ik maken? Bij de verhoudingsdeling representeren deeltal en deler
hetzelfde. Het gaat dus om de (interne) verhouding van het deel ten opzichte van het
geheel. Een verdelingsdeling is bijvoorbeeld 3 kinderen verdelen 12 snoepjes hoeveel krijg
elk kind. Bij de verdelingsdeling representeren deeltal en deler elke iets anders.
Lineair verbrand
Een lineair verband is een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn
heeft.
Niet-evenredige verbanden
Break- evenpoint: dit is een term uit economie. Visualiseer de kosten van de twee
aanbieding in een lijngrafiek zodat het Break- evenpoint zichtbaar wordt.
,De verhouding pi
De omtrek en de diameter van cirkels hebben een vaste verhouding. Het zijn overigens
beide irrationale getallen worden daarom ondank dat er een komma in staat niet als komma
getal gezien.
Wiskundetaal bij verhoudingen
Verhoudingen kunnen worden aangeduid met getallen en met woorden. Er zijn verschillende
zegswijzen met verhoudingen:
- naar verhouding
- in verhouding
- zij hebben een verhouding met elkaar
formele verhoudingstaal is bijvoorbeeld 1 op de 4, 1 op 4 en 1 staat tot 4. Maar ook het
aantal automobilisten is tweemaal zo groot als treinreizigers.
Breuken: driekwart van de pabostudenten is vrouw
Procenten: 60 procent van de mensen was tegen het voorstel.
Verhoudingen op de basisschool
Bij meten en meetkunde gaat het vaak om verhoudingen. In alle groepen van de basisschool
om het domein verhoudingen aan de orde. In groep 1 tot en met 4 vooral informeel en vanaf
groep 5 steeds nadrukkelijker.
,Informeel handelen en redeneren
De ontwikkeling van begrip van verhoudingen start bij kleuters. Het gaan dan om
kwalitatieve: zichtbare verschillen in grootte, afstand en dergelijke war nog geen getal aan te
pas hoeft te komen. Na he verloop van tijd krijgen jonge kinderen steeds meer grip op
getallen en gebruiken ze getallen dus ook bij het werken met verhoudingen. Verhoudingen
worden zo gekwantificeerd: er wordt een getal toegekend. Daarmee wordt het mogelijk om
op termijn te redeneren en te rekenen met kwantitatieve oftewel getalsmatige
verhoudingen.
Model ondersteund redeneren en rekenen in contextsituaties
Als vanaf groep 4 komen verhoudingen impliciet aan bod bij allerlei eerlijk verdeel situaties
die kunnen worden opgelost door te vermenigvuldigen. Verhoudingen worden alleen
aangeboden in een betekenisvol perspectief. Dit betekent dat toepassing situaties met
verhoudingen die in het echte leven voorkomen als context worden gebruikt. Deze contact
leent zich goed om daadwerkelijk met kinderen in de middenbouw uit te voeren. Het is een
situatie waarin verhoudingsgewijs redeneren en rekenen op een natuurlijke en
vanzelfsprekende wijze plaatsvindt.
Model ondersteund en formeel redeneren en rekenen
Verhoudingen worden tot en met groep 8 overal in toepassingssituaties aangeboden. Dit wil
niet zeggen dat er sprak e is van context gebonden handelen. In de loop van de basisschool
worden ook complexere contexten gebruikt, zoals met schaal. Naast de verhouding abel
worden dan ook de modellen dubbele getallenlijn, strook en schaal lijn gebruikt.
Modellen bij verhoudingen
Dubbele getallenlijn
Net als de gewone getallenlijn wordt de dubbele getallenlijn gebruikt om getallen op te
ordenen en te positioneren. Het verschil is dat op de dubbele getallenlijn het verbad tussen
twee zaken zichtbaar wordt gemaakt. De dubbele getallenlijn is een denkmodel: het
ondersteunt het denken doordat het zichtbaar is welke bewerking moet worden uitgevoerd.
De dubbele getallenlijn kun je dus gebruiken om greep te krijgen op het evenredige karakter
van verhoudingen. Dit is een groot verschil met de verhoudingstabel
De verhoudingstabel
De verhouding tabel is abstracter van aard dan de dubbele getallenlijn, doordat de
onderlinge afstand tussen de getallenparen niet meer wordt gerepresenteerd door een
afstand op een stuk getallenlijn. Deze stukken lijn zijn als het ware weggetalen en enkel de
bij elkaar horende getallenparen worden genoteerd. De verhoudingstabel heeft ook het
karakter van een uitrekentabel en zo wordt het in sommige methodes genoemd. De
verhoudingstabel fungeert als denkmodel Dit is meer dan enkel een uitrekentabel, doordat
eenheden en grootheden zichtbaar blijven. Met de verhoudingstabel is het dan mogelijk te
bepalen welke stappen moeten worden gezet om tot een antwoord te komen. Het verloop
van die stappen blijven bovendien overzichtelijk
, Kruislings vermenigvuldig
Kruislings vermenigvuldigen betekent dat bij gelijkwaardige breuken de tallen van de ene
breuk vermenigvuldigen met de noemer van de andere breuk gelijks is aan de noemer van
de ene breuk vermenigvuldigd met de teller van de ander.
Schaal en schaallijn
In de midden en bovenbouw krijgt dit een steeds formeler karakter. Eerst schatten kinderen
groottes en afmetingen aan de hand van referentiematen. Aan de hand van een gegeven
maat wordt de leerlingen gevraagd naar andere lengtematen. Vervolgens worden met
behulp van uitgekiende vragen geholpen richting schaalbegrip. Schaalbegrip is het inzicht dat
afbeeldingen van objecten op schaal in een vaster verhouding tot werkelijke grootte staan.
Opgave met schaal komen al voor vanaf groep 4. In de meeste reken-wiskundemethodes
wordt met schaallijnen gewerkt.
Redeneren en rekenen met verhoudingen
De context die worden gebruikt zijn zeer divers. Allerlei verschijningsvormen van
verhoudingen worden benut als toepassingssituatie. Daarbij gaat het er niet zo zeer om het
rekenen-wiskundeonderwijs afwisselend in te vullen, maar om een brede invulling te geven
aan het begrip verhoudingen en verhoudingsgewijs redeneren.
Snelheid
Snelheid is een samengestelde grootheid. Snelheid is een verhouding tussen de grootheden
afstand en tijd.
Andere verschijningsvormen
Mengsel en dichtheid. Rania wordt gemaakt van siroop en water in een bepaalde verhouding
tot elkaar. De kinderen kunnen bijvoorbeeld berekenen hoeveel siroop en water er nodig is.
Afbeeldingen kunnen zodanig worden vergroot en verkleind dat de verhouding tussen de
zijden intact blijft.
Gestandaardiseerde verhoudingen
Er zijn meer vormen van gestandaardiseerde verhoudingen. In de eerste plaats zijn er
procenten. Naast percentages is er ook nog een gestandaardiseerde verhouding:
benzineverbruik. Benzine verbruik wordt in Nederland uitgedrukt in 1 op zoveel. Bij
procenten werkt dit andersom daar gaat altijd om zoveel o de 100.
Procenten
Procenten zijn vaak onmisbaar om getalsmatig informatie te interpreteren, omdat ze het
relatieve gegeven bieden
Verschijningsvormen in de realiteit
Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of
meetkundige beschrijvingen. Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden zoals
lengte gewicht en inhoud. Verhoudingen maken het mogelijk zaken met elkaar te vergelijken
zo kun je in het bovenstaand voorbeeld met koffie berekenen hoeveel elk merk koffie
bepaald een eenheid kost.
Een schaal geeft verhouding aan tussen de weergave van iets en de werkelijke grootte ervan.
Zo betekent een schaal van 1 :80 000. 1 millimeter is op de kaar in werkelijkheid 80000
millimeter.
Snelheid kun je weer uitdrukken in het aantal afgelegde kilometers per uur. Die km/u is
samengesteld uit de grootheid lengte, met de maateenheid kilometer en de grootheid tijd,
met de maat uur.
Wanverhouding wordt vaak gebruikt om informatie over te breng of om de aandacht te
trekken. Dit kom je bijvoorbeeld tegen in reclame, cartoons en kunst
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Kwalitatieve verhoudingen: er komen geen getallen aan te pas. Het wordt uitgedrukt in
woorden. Vb: een kind is lang voor zijn leeftijd. Hier zit ook vaak een meetkundige verband
in. Kwantitatieve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen
Interne en externe verhoudingen
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden maar ook andere zaken waar een
getal aan kan worden toegekend.
Interne verhouding: als een verhouding 1 grootheid of eenheid betreft. Vb: 1 op de 4
pabostudent is jongen
Externe verhouding: betreft twee verschillende grootheden. Vb: afgelegde afstand in een
bepaalde tijd en prijs per gewicht
Verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Bij verhoudingsdeling kun je denken aan het volgende: Er zijn 12 snoepjes hoeveel groepjes
van 4 snoepjes kan ik maken? Bij de verhoudingsdeling representeren deeltal en deler
hetzelfde. Het gaat dus om de (interne) verhouding van het deel ten opzichte van het
geheel. Een verdelingsdeling is bijvoorbeeld 3 kinderen verdelen 12 snoepjes hoeveel krijg
elk kind. Bij de verdelingsdeling representeren deeltal en deler elke iets anders.
Lineair verbrand
Een lineair verband is een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn
heeft.
Niet-evenredige verbanden
Break- evenpoint: dit is een term uit economie. Visualiseer de kosten van de twee
aanbieding in een lijngrafiek zodat het Break- evenpoint zichtbaar wordt.
,De verhouding pi
De omtrek en de diameter van cirkels hebben een vaste verhouding. Het zijn overigens
beide irrationale getallen worden daarom ondank dat er een komma in staat niet als komma
getal gezien.
Wiskundetaal bij verhoudingen
Verhoudingen kunnen worden aangeduid met getallen en met woorden. Er zijn verschillende
zegswijzen met verhoudingen:
- naar verhouding
- in verhouding
- zij hebben een verhouding met elkaar
formele verhoudingstaal is bijvoorbeeld 1 op de 4, 1 op 4 en 1 staat tot 4. Maar ook het
aantal automobilisten is tweemaal zo groot als treinreizigers.
Breuken: driekwart van de pabostudenten is vrouw
Procenten: 60 procent van de mensen was tegen het voorstel.
Verhoudingen op de basisschool
Bij meten en meetkunde gaat het vaak om verhoudingen. In alle groepen van de basisschool
om het domein verhoudingen aan de orde. In groep 1 tot en met 4 vooral informeel en vanaf
groep 5 steeds nadrukkelijker.
,Informeel handelen en redeneren
De ontwikkeling van begrip van verhoudingen start bij kleuters. Het gaan dan om
kwalitatieve: zichtbare verschillen in grootte, afstand en dergelijke war nog geen getal aan te
pas hoeft te komen. Na he verloop van tijd krijgen jonge kinderen steeds meer grip op
getallen en gebruiken ze getallen dus ook bij het werken met verhoudingen. Verhoudingen
worden zo gekwantificeerd: er wordt een getal toegekend. Daarmee wordt het mogelijk om
op termijn te redeneren en te rekenen met kwantitatieve oftewel getalsmatige
verhoudingen.
Model ondersteund redeneren en rekenen in contextsituaties
Als vanaf groep 4 komen verhoudingen impliciet aan bod bij allerlei eerlijk verdeel situaties
die kunnen worden opgelost door te vermenigvuldigen. Verhoudingen worden alleen
aangeboden in een betekenisvol perspectief. Dit betekent dat toepassing situaties met
verhoudingen die in het echte leven voorkomen als context worden gebruikt. Deze contact
leent zich goed om daadwerkelijk met kinderen in de middenbouw uit te voeren. Het is een
situatie waarin verhoudingsgewijs redeneren en rekenen op een natuurlijke en
vanzelfsprekende wijze plaatsvindt.
Model ondersteund en formeel redeneren en rekenen
Verhoudingen worden tot en met groep 8 overal in toepassingssituaties aangeboden. Dit wil
niet zeggen dat er sprak e is van context gebonden handelen. In de loop van de basisschool
worden ook complexere contexten gebruikt, zoals met schaal. Naast de verhouding abel
worden dan ook de modellen dubbele getallenlijn, strook en schaal lijn gebruikt.
Modellen bij verhoudingen
Dubbele getallenlijn
Net als de gewone getallenlijn wordt de dubbele getallenlijn gebruikt om getallen op te
ordenen en te positioneren. Het verschil is dat op de dubbele getallenlijn het verbad tussen
twee zaken zichtbaar wordt gemaakt. De dubbele getallenlijn is een denkmodel: het
ondersteunt het denken doordat het zichtbaar is welke bewerking moet worden uitgevoerd.
De dubbele getallenlijn kun je dus gebruiken om greep te krijgen op het evenredige karakter
van verhoudingen. Dit is een groot verschil met de verhoudingstabel
De verhoudingstabel
De verhouding tabel is abstracter van aard dan de dubbele getallenlijn, doordat de
onderlinge afstand tussen de getallenparen niet meer wordt gerepresenteerd door een
afstand op een stuk getallenlijn. Deze stukken lijn zijn als het ware weggetalen en enkel de
bij elkaar horende getallenparen worden genoteerd. De verhoudingstabel heeft ook het
karakter van een uitrekentabel en zo wordt het in sommige methodes genoemd. De
verhoudingstabel fungeert als denkmodel Dit is meer dan enkel een uitrekentabel, doordat
eenheden en grootheden zichtbaar blijven. Met de verhoudingstabel is het dan mogelijk te
bepalen welke stappen moeten worden gezet om tot een antwoord te komen. Het verloop
van die stappen blijven bovendien overzichtelijk
, Kruislings vermenigvuldig
Kruislings vermenigvuldigen betekent dat bij gelijkwaardige breuken de tallen van de ene
breuk vermenigvuldigen met de noemer van de andere breuk gelijks is aan de noemer van
de ene breuk vermenigvuldigd met de teller van de ander.
Schaal en schaallijn
In de midden en bovenbouw krijgt dit een steeds formeler karakter. Eerst schatten kinderen
groottes en afmetingen aan de hand van referentiematen. Aan de hand van een gegeven
maat wordt de leerlingen gevraagd naar andere lengtematen. Vervolgens worden met
behulp van uitgekiende vragen geholpen richting schaalbegrip. Schaalbegrip is het inzicht dat
afbeeldingen van objecten op schaal in een vaster verhouding tot werkelijke grootte staan.
Opgave met schaal komen al voor vanaf groep 4. In de meeste reken-wiskundemethodes
wordt met schaallijnen gewerkt.
Redeneren en rekenen met verhoudingen
De context die worden gebruikt zijn zeer divers. Allerlei verschijningsvormen van
verhoudingen worden benut als toepassingssituatie. Daarbij gaat het er niet zo zeer om het
rekenen-wiskundeonderwijs afwisselend in te vullen, maar om een brede invulling te geven
aan het begrip verhoudingen en verhoudingsgewijs redeneren.
Snelheid
Snelheid is een samengestelde grootheid. Snelheid is een verhouding tussen de grootheden
afstand en tijd.
Andere verschijningsvormen
Mengsel en dichtheid. Rania wordt gemaakt van siroop en water in een bepaalde verhouding
tot elkaar. De kinderen kunnen bijvoorbeeld berekenen hoeveel siroop en water er nodig is.
Afbeeldingen kunnen zodanig worden vergroot en verkleind dat de verhouding tussen de
zijden intact blijft.
Gestandaardiseerde verhoudingen
Er zijn meer vormen van gestandaardiseerde verhoudingen. In de eerste plaats zijn er
procenten. Naast percentages is er ook nog een gestandaardiseerde verhouding:
benzineverbruik. Benzine verbruik wordt in Nederland uitgedrukt in 1 op zoveel. Bij
procenten werkt dit andersom daar gaat altijd om zoveel o de 100.
Procenten
Procenten zijn vaak onmisbaar om getalsmatig informatie te interpreteren, omdat ze het
relatieve gegeven bieden
Verschijningsvormen in de realiteit
