Samenvatting Differentiaalvergelijkingen (DV) - Calculus §6.5, H9 & H17

D I F F E R E NT I A A L V E R G E L I J K I N G E N
(CALCULUS)




Hoofdstuk 6: §6.5
Hoofdstuk 9: §9.1, §9.2, §9.3, §9.4, §9.5
Hoofdstuk 17: §17.1 en §17.2
Document: ‘’van differentievergelijking naar differentiaalvergelijking’’

, INHOUDSOPGAVE

Hoofdstuk 6 ............................................................................................................................................... 3
§6.5 – Exponentiële groei en verval ..................................................................................................................... 3

Hoofdstuk 9 ............................................................................................................................................... 9
§9.1 – Modelleren met differentiaalvergelijkingen.............................................................................................. 9
§9.2 – Richtingsvelden en de methode van Euler............................................................................................... 13
§9.3 – Scheidbare differentiaalvergelijkingen.................................................................................................... 21
§9.4 – Modellen voor populatiegroei ................................................................................................................. 25
§9.5 – Lineaire differentiaalvergelijkingen......................................................................................................... 28

Hoofdstuk 17............................................................................................................................................ 31
§17.1 – Lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde ...................................................................... 31
§17.2 – Niet-homogene lineaire differentiaalvergelijkingen ............................................................................. 34

Van differentievergelijking naar differentiaalvergelijking ........................................................................... 35




2

, HOOFDSTUK 6

§6.5 – EXPONENTIËLE GROEI EN VERVAL
In allerlei natuurlijke processen is de groei of het verval van een grootheid evenredig met zijn grootte,
zoals bij een bacteriekolonie, een zoutconcentratie, een snelheid van afkoelen of een voorwerp wat
valt. Als 𝑦 = 𝑓(𝑡) gelijk is aan de waarde van de populatie op tijdstip t, dan is het aannemelijk dat de
groeisnelheid 𝑓′(𝑡) evenredig is met de populatie voor een bepaalde constante k.

𝑑𝑦 𝑑𝑦
= 𝑘𝑦 is de wet van natuurlijke groei of verval. = 𝑘𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝑡


Dit noemen we ook wel een differentiaalvergelijking, omdat een onbekende functie 𝑦 en afgeleide 𝑦′
beide voorkomen in de vergelijking.

Andere voorbeelden van differentiaalvergelijkingen zijn:
𝑦 ′ = 2𝑦 + 4 𝑑𝑦
= 4𝑥 + 2𝑦 − 5
𝑑𝑦 𝑑𝑥
2𝑥𝑦 = sin 𝑥 − 4𝑥 + 𝑦 = 3𝑥𝑦 + 2𝑦 ′′
𝑑𝑥
𝑦 ′ + 𝑦 ′′ − 3 = √𝑥 𝑦 ′ = 2𝑥
𝑑𝑦
6𝑥 = 𝑦′′ − 2𝑦 = 3𝑥 2 + 1
𝑑𝑥



We bekijken het voorbeeld 𝑦 ′ = 𝑦. Daarin zijn we dus op zoek naar functies waarbij 𝑦 hetzelfde is als
𝑦′. We hebben hier nog geen methode voor, dus allereerst proberen we maar wat:
𝑦 = 𝑒𝑥 ⇾ 𝑦′ = 𝑒 𝑥 voldoet
1
𝑦 = ln 𝑥 ⇾ 𝑦′ = 𝑥 voldoet niet
𝑦= 2𝑒 𝑥 ⇾ =𝑦′ 2𝑒 𝑥 voldoet
2𝑥
𝑦=𝑒 ⇾ 𝑦 = 2𝑒 2𝑥
′ voldoet niet
Dus 𝑦 ′ = 𝑦 geldt voor 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑒 𝑥+𝑏 waarbij a en b constanten zijn.

𝑑𝑦
Als we nu terugkijken naar natuurlijke groei/verval: = 𝑘𝑦 kunnen we het volgende concluderen.
𝑑𝑡
Wanneer 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒 𝑘𝑡
𝑑𝑦
Dan = 𝐶 ∙ 𝑘 ∙ 𝑒 𝑘𝑡
𝑑𝑡
= 𝑘 ∙ 𝐶𝑒 𝑘𝑡
= 𝑘𝑦
En dan zijn we weer terug bij de wet van natuurlijke groei/verval. Voor deze 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 klopt deze
differentiaalvergelijking. In §9.4 zullen we zien dat dit de enige oplossing is. We moeten hierbij wel
opletten dat deze oplossing nog een familie van oplossingen is.

We nemen voor 𝑡 = 0 de 𝑦0 = 𝐶 ∙ 𝑒 𝑘∙0 = 𝐶 ∙ 1 = 𝐶.
Dus we kunnen concluderen dat 𝐶 = 𝑦0 . Daarmee is C de beginwaarde van de functie.
Daaruit volgt dus ook: 𝑦 = 𝑦0 ∙ 𝑒 𝑘𝑡 (𝑦0 is de y-waarde op tijdstip 0 en daarmee de
randvoorwaarde)
𝑦(𝑡) = 𝑦0 ∙ 𝑒 𝑘𝑡


Deze functie, met een ingevulde randvoorwaarde, noemen we de particuliere oplossing.



3

, Populatiegroei
In de context van een populatiegrootte, waar P(t) de grootte van de populatie is op tijdstip t, kunnen
we schrijven:
𝑑𝑃
= 𝑘𝑃 (de wet van natuurlijk groei/verval)
𝑑𝑡
𝑑𝑃
𝑑𝑡
𝑘= (de mate van groei delen we door de
𝑃
populatiegrootte)
𝑑𝑃 1
𝑘= ∙ 𝑑𝑃 1
𝑑𝑡 𝑃 𝑘= ∙
𝑑𝑡 𝑃
Dit noemen we de relatieve groeisnelheid k.

We weten dat de groeisnelheid evenredig is met de populatiegrootte, maar hieruit kunnen we ook
concluderen dat de relatieve groeisnelheid constant is. De oplossing van de differentiaalvergelijking
voor natuurlijke groei/verval vertelt ons dat we te maken hebben met exponentiële groei.

Voorbeeld 1: Wereldbevolking
In 1950 was de wereldbevolking 2560 miljoen mensen en in 1960 was dat 3040 miljoen. Veronderstel
dat de groeisnelheid evenredig is met de bevolkingsgrootte. Wat is dan de relatieve groeisnelheid? En
gebruik het model om de wereldbevolking in 1993 te schatten en in 2020 te voorspellen.

We gebruiken de variabele t voor tijd in jaren en P voor de populatiegrootte op een bepaald tijdstip in
miljoenen mensen.

t P
1950 0 2560
1960 10 3040

𝑑𝑃
We kennen de wet van natuurlijke groei/verval: = 𝑘𝑃 en we hebben net gezien dat de oplossing
𝑑𝑡
luidt: 𝑃(𝑡) = 𝑃0 ∙ 𝑒 𝑘𝑡
We kunnen uit het verhaal afleiden dat 𝑃0 = 2560, dus dit kunnen we invullen.
𝑃 = 2560 ∙ 𝑒 𝑘𝑡

Maar nu is onze k nog onbekend. We hebben we nog een gegeven, dus deze gaan we invullen om k te
berekenen.
𝑃(10) = 2560 ∙ 𝑒10𝑘 = 3040
3040
𝑒10𝑘 =
2560
3040
10𝑘 = ln ( )
2560
1 3040
𝑘= ln ( )
10 2560
𝑘 ≈ 0,017185
De relatieve groeisnelheid k is dus 0,017185 en dat is zo’n 1,7% per jaar.

Dus: 𝑃(𝑡) = 2560 ∙ 𝑒 0,017185𝑡

In 1993 is de bevolking: In 2020 is de bevolking:
𝑃(43) = 2560 ∙ 𝑒 0,017185∙43 𝑃(70) = 2560 ∙ 𝑒 0,017185∙70
𝑃(43) ≈ 5360 miljoen 𝑃(70) ≈ 8524 miljoen



4