Sumario Números complejos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN

DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS
Y DE LAS INGENIERÍAS

INGENIERÍA MECÁNICA-ELÉCTRICA



APUNTES


ÁLGEBRA


NÚMEROS COMPLEJOS

EJE
IMAGINARIO

i
o
2 s105
w 2 Ci
3= w2 =
2C 1
is1 o
95 o is15
2C
w1 =
EJE
-2 -1 0 1 2
o REAL
28 5
-1 is
2C
w 4=
-2
i'


Ing. Francisco Raúl Ortíz González

,2008.

,APUNTES ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS




Surge de la necesidad de que el alumno de ingeniería pueda utilizarlo
como una herramienta de apoyo para el estudio de la materia de Álgebra en
el TEMA II, denominado “NÚMEROS COMPLEJOS” del programa actual, así
como de materias afines.



Cumple con el objetivo de dicho tema en lo referente a la adquisición
de destreza en el manejo formal de los números complejos en sus diferentes
representaciones, para aplicarlos en la resolución de ecuaciones con una
incógnita que involucren a dichos números.



Y por último, quiero dar las gracias al M. en I. Alberto Reyes Solís por
sus observaciones tan atinadas para la realización de este texto.


ATENTAMENTE




Ing. Francisco Raúl Ortíz González

,2008.




Ing. Francisco Raúl Ortíz González.

,APUNTES ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS i



CONTENIDO



Pág.

1. INTRODUCCIÓN 1
1.1. ORÍGENES 1

2. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 2
2.1 FORMA BINÓMICA 2
2.1.1. EL CONJUGADO DEL NÚMERO COMPLEJO 3
2.1.2. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA “i” 3
2.2. OPERACIONES ARITMÉTICAS 6
2.2.1. SUMA o ADICIÓN 6
2.2.2. RESTA o SUSTRACCIÓN 6
2.2.3. MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO 7
2.2.4. DIVISIÓN o COCIENTE 7
2.2.5. POTENCIA ENTERA “n” POSITIVA 7
2.2.6. EJERCICIOS 9
2.3. FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA 12
2.3.1. FORMA GENERAL 14
2.3.2. FORMA BINÓMICA a FORMA POLAR 15
2.3.3. OPERACIONES ALGEBRAICAS 20
2.3.3.1. MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO 20
2.3.3.2. DIVISIÓN o COCIENTE 21
2.3.3.3. EL INVERSO MULTIPLICATIVO 22
2.3.3.4. POTENCIA ENÉSIMA DE Z 23
2.3.3.5. RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS 24
2.3.4. EJERCICIOS 26
2.4. FORMA EXPONENCIAL o DE EULER 34
2.4.1. OPERACIONES ALGEBRAICAS 34
2.4.1.1. MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO 34
2.4.1.2. DIVISIÓN o COCIENTE 35
2.4.1.3. POTENCIA ENÉSIMA DE Z 35
2.4.1.4. RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS 36
2.4.1.5. EJERCICIOS 37

3. BIBLIOGRAFÍA 43




Ing. Francisco Raúl Ortíz González.

, APUNTES ÁLGEBRA
NÚMEROS COMPLEJOS 1

1. INTRODUCCIÓN

En ocasiones los resultados de muchas ecuaciones cuadráticas no pertenecen al
conjunto de los números reales (R). Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación:

x 2 + x + 1 = 0 que pertenece a la forma general ax 2 + bx + c = 0 . Donde: a = 1,
b = 1 y c = 1 son los coeficientes, siendo c el término independiente.

También esta expresión matemática es un trinomio cuadrático primo, por lo que
no se puede factorizar. Para ello se emplea la fórmula cuadrática para poder resolverla.

− b ± b 2 − 4ac
x1, 2 = que al sustituir los valores resulta lo siguiente:
2a

− 1 ± (1) 2 − 4(1)(1) −1± 1− 4 −1± − 3
x1, 2 = = =
2(1) 2 2

Por lo que:

−1+ − 3 −1− − 3
x1 = y x2 =
2 2

Donde x1 y x2 deberían ser la solución de dicha ecuación cuadrática, sólo que el
valor de − 3 no existe en el conjunto de los números reales. Durante muchos años se
consideró que los números como: −2, −3, −4 y − 9 no tenían sentido, ya que
no existía un número real cuyo cuadrado sea igual a – 3, por lo que − 3 no podía ser
considerado como un número real.

1.1. ORÍGENES

Los grandes matemáticos de la antigüedad descubrieron que el sistema de
números reales estaba de cierta manera incompleto, esto a consecuencia de que al
tratar de obtener la solución de ciertas ecuaciones cuadráticas tal como:

x2 − 2x + 2 = 0

El resultado de x1 y x2 , no se encontraba dentro de los números reales (R), ya
que: x1 = 1 + −1 y x2 = 1 – − 1 no existían.




Ing. Francisco Raúl Ortíz González