Lecture 1 – Planes and lines
De vergelijking van een vlak W wordt als volgt genoteerd: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0.
Normaalvector = vector die loodrecht op een vlak W staat: 𝑛,.
• De vector 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 is altijd een normaalvector van het vlak 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0.
Vaak voorkomende situaties:
1. W is parallel aan lijnen k en m: normaalvector = kruisproduct tussen richtingsvectoren k en
m.
2. W staat loodrecht op lijn k: normaalvector = richtingsvector van k.
3. W is parallel aan vlak V: normaalvector W = normaalvector V.
Het kruisproduct van 2 vectoren berekenen:
1. Zet beide vectoren onder elkaar.
2. Bereken determinant van de laatste 2 kolommen à 1e component van nieuwe vector.
3. Bereken determinant van de eerste en laatste kolom (vermenigvuldig met -1) à 2e
component van nieuwe vector.
4. Bereken determinant van de eerste 2 kolommen à 3e component van nieuwe vector.
De oppervlakte van een paralellogram tussen 2 vectoren berekenen = lengte van het
kruisproduct van deze 2 vectoren.
De oppervlakte van een driehoek tussen 3 vectoren a, b en c berekenen = 1/2 ∙
𝑜𝑝𝑝 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚(𝑏 − 𝑎 𝑒𝑛 𝑐 − 𝑎).
Afstand berekenen tussen een punt 𝑃(𝑥! , 𝑥" , 𝑥# ) en een vlak 𝑊: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0:
|𝑎 ∙ 𝑥! + 𝑏 ∙ 𝑥" + 𝑐 ∙ 𝑥# + 𝑑|
𝐷=
√𝑎" + 𝑏" + 𝑐 "
Lecture 2 – First-order partial derivatives
Met partieel afleiden kan de afgeleide van een multivariabele functie opstellen. Dit gaat
bijna precies hetzelfde als normaal differentiëren, op een paar extra regels na.
Neem bijvoorbeeld de functie 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 $ 𝑧 + 𝑧G𝑦 − 𝑥𝑦 # + 2𝑥:
1. 𝑓% (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 12𝑥 # 𝑧 − 𝑦 # + 2 à je beschouwt 𝑦 en 𝑧 als constanten.
'
2. 𝑓& (𝑥, 𝑦, 𝑧) = " & − 3𝑥𝑦 " à je beschouwt 𝑥 en 𝑧 als constanten.
√
3. 𝑓' (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 $ + G𝑦 à je beschouwt 𝑥 en 𝑦 als constanten.
De partieel afgeleide bestaat dus uit meerdere delen (afhankelijk van het aantal variabelen)
in plaats van één uiteindelijke vergelijking.
Lecture 3 – Second-order partial derivatives and tangent
planes
Voor een functie met één variabele kan je een raaklijn opstellen aan de grafiek. De formule
voor een raaklijn is: 𝑦 = 𝑓(𝑥) ) + 𝑓 * (𝑥) )(𝑥! − 𝑥) ).
Voor een functie met meerdere variabelen kan je een raakvlak opstellen aan de grafiek. De
+, +,
formule voor een raakvlak is: 𝑧 = 𝑓(𝑥) , 𝑦) ) + (𝑥) , 𝑦) )(𝑥 − 𝑥) ) + (𝑥) , 𝑦) )(𝑦 − 𝑦) ).
+% +&
, Met behulp van een linearisering kan je de waarde van een bepaald punt op de grafiek
bepalen. De uitkomst is dus niet precies hetzelfde als de echte uitkomst, maar bij benadering
+,
wel. De formule voor een linearisering is: 𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥) , 𝑦) ) + +% (𝑥) , 𝑦) )(𝑥 − 𝑥) ) +
+,
(𝑥) , 𝑦) )(𝑦 − 𝑦) ).
+&
Differentialen kunnen worden gebruikt om het verschil tussen twee punten op een grafiek te
+, +,
bepalen. De formule voor een differentiaal is: 𝑑𝑓 = +% (𝑥) , 𝑦) )𝑑𝑥 + +& (𝑥) , 𝑦) )𝑑𝑦. Hierbij is 𝑑𝑥 = 𝑥 −
𝑥) en 𝑑𝑦 = 𝑦 − 𝑦) .
Er bestaan in totaal 3 soorten hogere orde afgeleiden, namelijk:
+! ,
1. = 𝑓%% à twee keer afleiden naar 𝑥.
+% !
+! ,
2. = 𝑓&& à twee keer afleiden naar 𝑦.
+& !
+! , +! ,
3. = +&+% = 𝑓%& = 𝑓&% à eerst afleiden naar 𝑥 en dan naar 𝑦 of eerst afleiden naar 𝑦 en
+%+&
dan naar 𝑥.
Lecture 4 – Chain rule
-, +, -% +, -&
De kettingregel voor twee variabelen ziet er als volgt uit: = +% ∙ -. + +& ∙ -. . Hierbij is 𝑓(𝑥, 𝑦)
-.
een functie van variabelen 𝑥 en 𝑦 én zijn 𝑥 en 𝑦 afhankelijk van parameter 𝑡.
Bij een coördinatentransformatie worden de coördinaten van het ene stelsel omgeschreven
naar coördinaten van een ander stelsel. Denk bijvoorbeeld aan complexe getallen: dan is
𝑥 = 𝑟 cos(𝜃) en 𝑦 = 𝑟 sin(𝜃). Hier zijn 𝑥 en 𝑦 omgeschreven naar een ander stelsel, ze zijn
namelijk uitgedrukt in de parameters 𝑟 en 𝜃. Voor zo’n coördinatentransformatie zien de
+, +, +% +, +& +, +, +% +, +&
partieel afgeleiden er als volgt uit: +/ = +% ∙ +/ + +& ∙ +/ en +0 = +% ∙ +0 + +& ∙ +0. Je berekent hier
dus twee partieel afgeleiden, omdat 𝑥 en 𝑦 uit twee parameters bestaat: 𝑟 en 𝜃. Je
uiteindelijke antwoord bevat dan geen 𝑥 en 𝑦 meer: enkel nog de twee parameters.
Het impliciet afleiden van een functie met 3 variabelen gaat zoals hieronder in het voorbeeld
te zien is. Bereken de afgeleide van 𝑥 " + 4𝑦 " + 2𝑧 " = 1.
𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧
→ 2𝑥 + 0 + 4𝑧 ∙ =0 → 8𝑦 + 4𝑧 ∙ =0
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑧 −𝑥 𝜕𝑧 −2𝑦
= =
𝜕𝑥 2𝑧 𝜕𝑦 𝑧
Lecture 5 – Directional derivative and gradients
Een eenheidsvector is een vector met een lengte van 1. Als je een niet-eenheidsvector wil
omschrijven naar een eenheidsvector, dan gaat dat zo: 𝑤R = 〈−3,2〉 à |𝑤R| = √9 + 4 = √13 à
# "
𝑢, = 〈− , 〉 à |𝑢,| = 1. Deze vector heeft dezelfde richting als de originele vector, alleen
√!# √!#
een andere lengte.
Een richtingsafgeleide geeft de afgeleide van een grafiek in een bepaald punt in een
bepaalde richting. De richting wordt hierbij aangegeven door een vector. De formule voor
de richtingsafgeleide in een bepaald punt in de richting van een vector 〈𝑎, 𝑏〉 is als volgt:
De vergelijking van een vlak W wordt als volgt genoteerd: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0.
Normaalvector = vector die loodrecht op een vlak W staat: 𝑛,.
• De vector 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 is altijd een normaalvector van het vlak 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0.
Vaak voorkomende situaties:
1. W is parallel aan lijnen k en m: normaalvector = kruisproduct tussen richtingsvectoren k en
m.
2. W staat loodrecht op lijn k: normaalvector = richtingsvector van k.
3. W is parallel aan vlak V: normaalvector W = normaalvector V.
Het kruisproduct van 2 vectoren berekenen:
1. Zet beide vectoren onder elkaar.
2. Bereken determinant van de laatste 2 kolommen à 1e component van nieuwe vector.
3. Bereken determinant van de eerste en laatste kolom (vermenigvuldig met -1) à 2e
component van nieuwe vector.
4. Bereken determinant van de eerste 2 kolommen à 3e component van nieuwe vector.
De oppervlakte van een paralellogram tussen 2 vectoren berekenen = lengte van het
kruisproduct van deze 2 vectoren.
De oppervlakte van een driehoek tussen 3 vectoren a, b en c berekenen = 1/2 ∙
𝑜𝑝𝑝 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚(𝑏 − 𝑎 𝑒𝑛 𝑐 − 𝑎).
Afstand berekenen tussen een punt 𝑃(𝑥! , 𝑥" , 𝑥# ) en een vlak 𝑊: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0:
|𝑎 ∙ 𝑥! + 𝑏 ∙ 𝑥" + 𝑐 ∙ 𝑥# + 𝑑|
𝐷=
√𝑎" + 𝑏" + 𝑐 "
Lecture 2 – First-order partial derivatives
Met partieel afleiden kan de afgeleide van een multivariabele functie opstellen. Dit gaat
bijna precies hetzelfde als normaal differentiëren, op een paar extra regels na.
Neem bijvoorbeeld de functie 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 $ 𝑧 + 𝑧G𝑦 − 𝑥𝑦 # + 2𝑥:
1. 𝑓% (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 12𝑥 # 𝑧 − 𝑦 # + 2 à je beschouwt 𝑦 en 𝑧 als constanten.
'
2. 𝑓& (𝑥, 𝑦, 𝑧) = " & − 3𝑥𝑦 " à je beschouwt 𝑥 en 𝑧 als constanten.
√
3. 𝑓' (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 $ + G𝑦 à je beschouwt 𝑥 en 𝑦 als constanten.
De partieel afgeleide bestaat dus uit meerdere delen (afhankelijk van het aantal variabelen)
in plaats van één uiteindelijke vergelijking.
Lecture 3 – Second-order partial derivatives and tangent
planes
Voor een functie met één variabele kan je een raaklijn opstellen aan de grafiek. De formule
voor een raaklijn is: 𝑦 = 𝑓(𝑥) ) + 𝑓 * (𝑥) )(𝑥! − 𝑥) ).
Voor een functie met meerdere variabelen kan je een raakvlak opstellen aan de grafiek. De
+, +,
formule voor een raakvlak is: 𝑧 = 𝑓(𝑥) , 𝑦) ) + (𝑥) , 𝑦) )(𝑥 − 𝑥) ) + (𝑥) , 𝑦) )(𝑦 − 𝑦) ).
+% +&
, Met behulp van een linearisering kan je de waarde van een bepaald punt op de grafiek
bepalen. De uitkomst is dus niet precies hetzelfde als de echte uitkomst, maar bij benadering
+,
wel. De formule voor een linearisering is: 𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥) , 𝑦) ) + +% (𝑥) , 𝑦) )(𝑥 − 𝑥) ) +
+,
(𝑥) , 𝑦) )(𝑦 − 𝑦) ).
+&
Differentialen kunnen worden gebruikt om het verschil tussen twee punten op een grafiek te
+, +,
bepalen. De formule voor een differentiaal is: 𝑑𝑓 = +% (𝑥) , 𝑦) )𝑑𝑥 + +& (𝑥) , 𝑦) )𝑑𝑦. Hierbij is 𝑑𝑥 = 𝑥 −
𝑥) en 𝑑𝑦 = 𝑦 − 𝑦) .
Er bestaan in totaal 3 soorten hogere orde afgeleiden, namelijk:
+! ,
1. = 𝑓%% à twee keer afleiden naar 𝑥.
+% !
+! ,
2. = 𝑓&& à twee keer afleiden naar 𝑦.
+& !
+! , +! ,
3. = +&+% = 𝑓%& = 𝑓&% à eerst afleiden naar 𝑥 en dan naar 𝑦 of eerst afleiden naar 𝑦 en
+%+&
dan naar 𝑥.
Lecture 4 – Chain rule
-, +, -% +, -&
De kettingregel voor twee variabelen ziet er als volgt uit: = +% ∙ -. + +& ∙ -. . Hierbij is 𝑓(𝑥, 𝑦)
-.
een functie van variabelen 𝑥 en 𝑦 én zijn 𝑥 en 𝑦 afhankelijk van parameter 𝑡.
Bij een coördinatentransformatie worden de coördinaten van het ene stelsel omgeschreven
naar coördinaten van een ander stelsel. Denk bijvoorbeeld aan complexe getallen: dan is
𝑥 = 𝑟 cos(𝜃) en 𝑦 = 𝑟 sin(𝜃). Hier zijn 𝑥 en 𝑦 omgeschreven naar een ander stelsel, ze zijn
namelijk uitgedrukt in de parameters 𝑟 en 𝜃. Voor zo’n coördinatentransformatie zien de
+, +, +% +, +& +, +, +% +, +&
partieel afgeleiden er als volgt uit: +/ = +% ∙ +/ + +& ∙ +/ en +0 = +% ∙ +0 + +& ∙ +0. Je berekent hier
dus twee partieel afgeleiden, omdat 𝑥 en 𝑦 uit twee parameters bestaat: 𝑟 en 𝜃. Je
uiteindelijke antwoord bevat dan geen 𝑥 en 𝑦 meer: enkel nog de twee parameters.
Het impliciet afleiden van een functie met 3 variabelen gaat zoals hieronder in het voorbeeld
te zien is. Bereken de afgeleide van 𝑥 " + 4𝑦 " + 2𝑧 " = 1.
𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧
→ 2𝑥 + 0 + 4𝑧 ∙ =0 → 8𝑦 + 4𝑧 ∙ =0
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑧 −𝑥 𝜕𝑧 −2𝑦
= =
𝜕𝑥 2𝑧 𝜕𝑦 𝑧
Lecture 5 – Directional derivative and gradients
Een eenheidsvector is een vector met een lengte van 1. Als je een niet-eenheidsvector wil
omschrijven naar een eenheidsvector, dan gaat dat zo: 𝑤R = 〈−3,2〉 à |𝑤R| = √9 + 4 = √13 à
# "
𝑢, = 〈− , 〉 à |𝑢,| = 1. Deze vector heeft dezelfde richting als de originele vector, alleen
√!# √!#
een andere lengte.
Een richtingsafgeleide geeft de afgeleide van een grafiek in een bepaald punt in een
bepaalde richting. De richting wordt hierbij aangegeven door een vector. De formule voor
de richtingsafgeleide in een bepaald punt in de richting van een vector 〈𝑎, 𝑏〉 is als volgt:
