Leereenheid 1: Lineaire vergelijkingen
Leerdoelen:
Het verband kennen tussen lijnen in het vlak en oplossingen van een stelsel van twee lineaire
vergelijkingen in twee onbekenden: In een tweedimensionaal vlak zijn er slechts twee
onbekenden (denk aan een assenstelsel met een horizontale en verticale as), waardoor een lineaire
2
vergelijking in twee onbekenden altijd een rechte lijn in ℝ voorstelt. De oplossing in een vlak is
een snijpunt tussen twee of meerdere lijnen. Hoe meer lijnen er zijn, des te kleiner de kans wordt
dat er een oplossing (gezamenlijk snijpunt) is tussen alle lijnen. Als er géén oplossing is tussen
lijnen in een vlak, dan hebben de lijnen dezelfde helling (richtingscoëfficiënt), waardoor ze elkaar
nooit zullen snijden. Als er oneindig veel oplossingen zijn in een bepaald vlak, dan liggen de
lijnen op elkaar. Dat wil zeggen dat de lijnen gelijk zijn aan elkaar, waardoor alle oplossingen van
de oplossingsverzameling op diezelfde lijn liggen.
3
Als je een stelsel hebt met drie onbekenden, dan heb je te maken met vlakken in ℝ . Als er
geen oplossingen zijn, dan heb je te maken met vlakken in een (x,y,z)-stelsel die evenwijdig aan
elkaar lopen, waardoor ze nooit snijden (denk aan muren die evenwijdig aan elkaar lopen). Als er
één oplossing is, dan snijden die vlakken elkaar in één punt (denk aan de hoek van een kamer
waarbij twee naburige muren en de vloer op één punt snijden). Als er oneindig veel oplossingen
zijn, dan snijden die vlakken elkaar op ieder punt van een bepaalde lijn (een lineaire lijn).
Kunnen omschrijven van de drie elementaire operaties in de gausseliminatie: Bij de
gausseliminatie maakt men gebruik van drie elementaire operaties: (1) het
delen/vermenigvuldigen van lineaire vergelijkingen met een constante (≠ 0); (2) het optellen en
aftrekken van lineaire vergelijkingen én (3) het verwisselen van vergelijkingen. Deze drie
elementaire operaties veranderen de oplossingsverzameling niet, ofwel de twee stelsels zijn
equivalent aan elkaar in termen van de oplossingsverzameling: equivalente stelsels.
Met behulp van gausseliminatie een stelsel lineaire vergelijkingen kunnen oplossen: Ik geef een
voorbeeld uit het leerboek (zie opgave 1.22). Gegeven zijn de volgende lineaire vergelijkingen:
𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥4 = − 1
− 𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 = 3
2𝑥1 − 6𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥5 = − 1
− 𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 5𝑥4 + 𝑥5 = 6
,Deze lineaire vergelijkingen vertaal je in een uitgebreide matrix en voer je de gausseliminatie uit:
In de laatste rij staat nu 0 = 0. Dit betekent dat er oneindig veel oplossingen zullen zijn. In
trapvorm blijven de volgende lineaire vergelijkingen over (die we nodig hebben voor
achterwaartse substitutie):
𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥4 = − 1
𝑥3 + 2𝑥4 = 2
− 𝑥5 = − 1
Uit de derde vergelijking volgt 𝑥5 = 1. Om 𝑥3 op te lossen, moeten we voor 𝑥4 een parameter
kiezen, dus we kiezen 𝑥4 = λ.
𝑥3 + 2λ = 2 → 𝑥3 = − 2λ + 2
Ook nu hebben we een parameter nodig om 𝑥1 op te lossen, dus kiezen we 𝑥2 = µ
𝑥1 = 3µ + λ − 1. Hiermee hebben we de oplossingsverzameling gevonden:
(3µ + λ − 1, µ, − 2λ + 2, λ, 1) waarbij µ, λ ∈ ℝ.
Je kunt de oplossing eveneens noteren als een verzameling oplossingen:
𝐿 = {(3µ + λ − 1, µ, − 2λ + 2, λ, 1) | µ, λ ∈ ℝ}.
Met behulp van gausseliminatie kunnen bepalen of een stelsel lineaire vergelijkingen geen,
precies één dan wel oneindig veel oplossingen heeft: (1) Als een stelsel één oplossing heeft, dan
geldt voor de laatste rij 𝑥𝑛 = 𝑎, waarbij dus voor iedere onbekende in het stelsel een waarde
bestaat en tegelijkertijd alle lineaire vergelijkingen binnen dat stelsel kloppen. (2) Als het stelsel
géén oplossing heeft, dan staat er, na eliminatie van de overige onbekenden, in de laatste rij
0 = 𝑎. Dit is een onware uitdrukking. Het stelsel heeft geen oplossingen. Het stelsel is strijdig.
(3) Het stelsel kan ook oneindig veel oplossingen hebben. Dit gebeurt als in de laatste rij van het
stelsel 0 = 0 staat. Je kiest dan voor een onbekende een parameter (zoals λ (“lambda”) of µ
(“micro”)). Soms kies je meerdere parameters binnen een stelsel van lineaire vergelijkingen.
,De oplossingen van een stelsel lineaire vergelijkingen in termen van parameters kunnen geven
als er oneindig veel oplossingen zijn: Als er dus oneindig veel oplossingen zijn voor een bepaald
stelsel, dan druk je een van de onbekenden (of soms meer) uit in een parameter. In de
leereenheid staan veel voorbeelden van oefeningen waarin een parameter nodig is om de
oplossingsverzameling uit te drukken. Zo’n antwoord kan er zo uitzien (zonder context):
(λ + µ + 1, µ, λ +2, λ, 3) waarbij µ, λ ∈ ℝ. Dit is een 5-tupel. Of je geeft de oplossing weer in
verzamelingennotatie: 𝐿 = {(λ + µ + 1, µ, λ +2, λ, 3) | µ, λ ∈ ℝ}. Zoals je ziet, is er gekozen om 𝑥2
en 𝑥4 uit te drukken in een parameter, respectievelijk in µ en λ.
Voor concrete problemen een stelsel lineaire vergelijkingen op kunnen stellen: Soms wordt er
een voorbeeld gegeven die gebaseerd is op een situatie in het echte leven. Het is dus ook
belangrijk dat je dit soort teksten kunt vertalen in een wiskundig probleem, zoals een echte
wiskundige. Hieronder een voorbeeld van een dergelijke situatie:
Een boer verkoopt zakken appels en peren. Een zak appels weegt 2 kg en kost €3. Een zak peren weegt
1 kg en kost €2. Een boer verkoopt 10 zakken met een totaalgewicht van 15 kg. Nu willen we
achterhalen hoeveel zakken appels en hoeveel zakken peren de boer heeft verkocht. We krijgen nu de
volgende lineaire vergelijkingen (kies 𝑥1 = appels én 𝑥2 = peren):
𝑥1 + 𝑥2 = 10
2𝑥1 + 𝑥2 = 15
Je kunt deze situatie vertalen in een uitgebreide matrix:
De lineaire vergelijkingen zijn na deze korte gausseliminatie als volgt:
𝑥1 + 𝑥2 = 10, én
− 𝑥2 = -5 → 𝑥2 = -5 / -1 = 5
Middels achterwaartse substitutie kun je achterhalen wat de oplossing is voor dit stelsel:
𝑥1 + 5 = 10 → 𝑥1 = 10 − 5 = 5
De oplossing voor dit stelsel is dus (5, 5) (= (𝑥1, 𝑥2)).
, Als er meer onbekenden zijn dan vergelijkingen, dan is de kans groot dat er oneindig veel
oplossingen zijn. Maar dat hoeft niet altijd het geval te zijn. Als er meer vergelijkingen zijn dan
onbekenden, dan is de kans groot dat het stelsel strijdig is. Dat is echter niet altijd het geval.
Leereenheid 2: Vectoren en matrices
Leerdoelen:
𝑛 𝑛 𝑛
Weten wat vectoren in ℝ zijn: Een vector in ℝ is in wezen een element in ℝ , ofwel een n-tupel
(𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛). Zo’n n-tupel kun je zien als een vector. We noteren dit vaak in
kolomnotatie. Dit is overigens gewoon een m × 1-matrix (m rijenen en 1 kolom). Je
noteert dit als:
𝑛
De definitie van m × n-matrix kennen en weten dat een vector in ℝ ook op te
vatten is als een m × 1-matrix: Een m × n-matrix is eigenlijk een coëfficiëntenmatrix met m rijen
en n kolommen. Iedere coëfficiëntenmatrix van een m-bij-n-stelsel is een m × n-matrix. Het
begrip matrix is in feite een uitbreiding van het begrip vector, want
𝑚
een vector in ℝ is gewoon een m × 1-matrix, want een vector
heeft m rijen en 1 kolom. Zo’n vector heeft dan m coördinaten. De
m × n-matrix met elementen met elementen 𝑎𝑖𝑗 voor 𝑖 = 1, 2, …, 𝑚
en 𝑗 = 1, 2, …, 𝑛 noteren we ook wel als A = (𝑎𝑖𝑗) en ziet er zo uit:
Bij een matrix de begrippen rij, kolom, vierkante matrix, elementen en hoofddiagonaal kennen
en kunnen toepassen: De getallen of uitdrukkingen in de onbekenden die horizontaal naast
elkaar staan, vormen samen een rij en die verticaal onder elkaar staan vormen samen een
kolom. Voor een vierkante matrix geldt dat m = n, ofwel een matrix heeft evenveel rijen als
kolommen — de matrix is vierkant. Een element is een getal of uitdrukking in een rij i en kolom
j, en noteren we met 𝑎𝑖𝑗. De matrix zelf noteren we met A = (𝑎𝑖𝑗). Is A een vierkante matrix, dus
m = n, dan zeggen we dat de elementen 𝑎11, 𝑎22, …, 𝑎𝑛𝑛 de hoofddiagonaal van de matrix
vormen. Deze loopt van linksboven tot rechtsonder in de vierkante matrix.
Leerdoelen:
Het verband kennen tussen lijnen in het vlak en oplossingen van een stelsel van twee lineaire
vergelijkingen in twee onbekenden: In een tweedimensionaal vlak zijn er slechts twee
onbekenden (denk aan een assenstelsel met een horizontale en verticale as), waardoor een lineaire
2
vergelijking in twee onbekenden altijd een rechte lijn in ℝ voorstelt. De oplossing in een vlak is
een snijpunt tussen twee of meerdere lijnen. Hoe meer lijnen er zijn, des te kleiner de kans wordt
dat er een oplossing (gezamenlijk snijpunt) is tussen alle lijnen. Als er géén oplossing is tussen
lijnen in een vlak, dan hebben de lijnen dezelfde helling (richtingscoëfficiënt), waardoor ze elkaar
nooit zullen snijden. Als er oneindig veel oplossingen zijn in een bepaald vlak, dan liggen de
lijnen op elkaar. Dat wil zeggen dat de lijnen gelijk zijn aan elkaar, waardoor alle oplossingen van
de oplossingsverzameling op diezelfde lijn liggen.
3
Als je een stelsel hebt met drie onbekenden, dan heb je te maken met vlakken in ℝ . Als er
geen oplossingen zijn, dan heb je te maken met vlakken in een (x,y,z)-stelsel die evenwijdig aan
elkaar lopen, waardoor ze nooit snijden (denk aan muren die evenwijdig aan elkaar lopen). Als er
één oplossing is, dan snijden die vlakken elkaar in één punt (denk aan de hoek van een kamer
waarbij twee naburige muren en de vloer op één punt snijden). Als er oneindig veel oplossingen
zijn, dan snijden die vlakken elkaar op ieder punt van een bepaalde lijn (een lineaire lijn).
Kunnen omschrijven van de drie elementaire operaties in de gausseliminatie: Bij de
gausseliminatie maakt men gebruik van drie elementaire operaties: (1) het
delen/vermenigvuldigen van lineaire vergelijkingen met een constante (≠ 0); (2) het optellen en
aftrekken van lineaire vergelijkingen én (3) het verwisselen van vergelijkingen. Deze drie
elementaire operaties veranderen de oplossingsverzameling niet, ofwel de twee stelsels zijn
equivalent aan elkaar in termen van de oplossingsverzameling: equivalente stelsels.
Met behulp van gausseliminatie een stelsel lineaire vergelijkingen kunnen oplossen: Ik geef een
voorbeeld uit het leerboek (zie opgave 1.22). Gegeven zijn de volgende lineaire vergelijkingen:
𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥4 = − 1
− 𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 = 3
2𝑥1 − 6𝑥2 + 𝑥3 − 𝑥5 = − 1
− 𝑥1 + 3𝑥2 + 2𝑥3 + 5𝑥4 + 𝑥5 = 6
,Deze lineaire vergelijkingen vertaal je in een uitgebreide matrix en voer je de gausseliminatie uit:
In de laatste rij staat nu 0 = 0. Dit betekent dat er oneindig veel oplossingen zullen zijn. In
trapvorm blijven de volgende lineaire vergelijkingen over (die we nodig hebben voor
achterwaartse substitutie):
𝑥1 − 3𝑥2 − 𝑥4 = − 1
𝑥3 + 2𝑥4 = 2
− 𝑥5 = − 1
Uit de derde vergelijking volgt 𝑥5 = 1. Om 𝑥3 op te lossen, moeten we voor 𝑥4 een parameter
kiezen, dus we kiezen 𝑥4 = λ.
𝑥3 + 2λ = 2 → 𝑥3 = − 2λ + 2
Ook nu hebben we een parameter nodig om 𝑥1 op te lossen, dus kiezen we 𝑥2 = µ
𝑥1 = 3µ + λ − 1. Hiermee hebben we de oplossingsverzameling gevonden:
(3µ + λ − 1, µ, − 2λ + 2, λ, 1) waarbij µ, λ ∈ ℝ.
Je kunt de oplossing eveneens noteren als een verzameling oplossingen:
𝐿 = {(3µ + λ − 1, µ, − 2λ + 2, λ, 1) | µ, λ ∈ ℝ}.
Met behulp van gausseliminatie kunnen bepalen of een stelsel lineaire vergelijkingen geen,
precies één dan wel oneindig veel oplossingen heeft: (1) Als een stelsel één oplossing heeft, dan
geldt voor de laatste rij 𝑥𝑛 = 𝑎, waarbij dus voor iedere onbekende in het stelsel een waarde
bestaat en tegelijkertijd alle lineaire vergelijkingen binnen dat stelsel kloppen. (2) Als het stelsel
géén oplossing heeft, dan staat er, na eliminatie van de overige onbekenden, in de laatste rij
0 = 𝑎. Dit is een onware uitdrukking. Het stelsel heeft geen oplossingen. Het stelsel is strijdig.
(3) Het stelsel kan ook oneindig veel oplossingen hebben. Dit gebeurt als in de laatste rij van het
stelsel 0 = 0 staat. Je kiest dan voor een onbekende een parameter (zoals λ (“lambda”) of µ
(“micro”)). Soms kies je meerdere parameters binnen een stelsel van lineaire vergelijkingen.
,De oplossingen van een stelsel lineaire vergelijkingen in termen van parameters kunnen geven
als er oneindig veel oplossingen zijn: Als er dus oneindig veel oplossingen zijn voor een bepaald
stelsel, dan druk je een van de onbekenden (of soms meer) uit in een parameter. In de
leereenheid staan veel voorbeelden van oefeningen waarin een parameter nodig is om de
oplossingsverzameling uit te drukken. Zo’n antwoord kan er zo uitzien (zonder context):
(λ + µ + 1, µ, λ +2, λ, 3) waarbij µ, λ ∈ ℝ. Dit is een 5-tupel. Of je geeft de oplossing weer in
verzamelingennotatie: 𝐿 = {(λ + µ + 1, µ, λ +2, λ, 3) | µ, λ ∈ ℝ}. Zoals je ziet, is er gekozen om 𝑥2
en 𝑥4 uit te drukken in een parameter, respectievelijk in µ en λ.
Voor concrete problemen een stelsel lineaire vergelijkingen op kunnen stellen: Soms wordt er
een voorbeeld gegeven die gebaseerd is op een situatie in het echte leven. Het is dus ook
belangrijk dat je dit soort teksten kunt vertalen in een wiskundig probleem, zoals een echte
wiskundige. Hieronder een voorbeeld van een dergelijke situatie:
Een boer verkoopt zakken appels en peren. Een zak appels weegt 2 kg en kost €3. Een zak peren weegt
1 kg en kost €2. Een boer verkoopt 10 zakken met een totaalgewicht van 15 kg. Nu willen we
achterhalen hoeveel zakken appels en hoeveel zakken peren de boer heeft verkocht. We krijgen nu de
volgende lineaire vergelijkingen (kies 𝑥1 = appels én 𝑥2 = peren):
𝑥1 + 𝑥2 = 10
2𝑥1 + 𝑥2 = 15
Je kunt deze situatie vertalen in een uitgebreide matrix:
De lineaire vergelijkingen zijn na deze korte gausseliminatie als volgt:
𝑥1 + 𝑥2 = 10, én
− 𝑥2 = -5 → 𝑥2 = -5 / -1 = 5
Middels achterwaartse substitutie kun je achterhalen wat de oplossing is voor dit stelsel:
𝑥1 + 5 = 10 → 𝑥1 = 10 − 5 = 5
De oplossing voor dit stelsel is dus (5, 5) (= (𝑥1, 𝑥2)).
, Als er meer onbekenden zijn dan vergelijkingen, dan is de kans groot dat er oneindig veel
oplossingen zijn. Maar dat hoeft niet altijd het geval te zijn. Als er meer vergelijkingen zijn dan
onbekenden, dan is de kans groot dat het stelsel strijdig is. Dat is echter niet altijd het geval.
Leereenheid 2: Vectoren en matrices
Leerdoelen:
𝑛 𝑛 𝑛
Weten wat vectoren in ℝ zijn: Een vector in ℝ is in wezen een element in ℝ , ofwel een n-tupel
(𝑎1, 𝑎2, …, 𝑎𝑛). Zo’n n-tupel kun je zien als een vector. We noteren dit vaak in
kolomnotatie. Dit is overigens gewoon een m × 1-matrix (m rijenen en 1 kolom). Je
noteert dit als:
𝑛
De definitie van m × n-matrix kennen en weten dat een vector in ℝ ook op te
vatten is als een m × 1-matrix: Een m × n-matrix is eigenlijk een coëfficiëntenmatrix met m rijen
en n kolommen. Iedere coëfficiëntenmatrix van een m-bij-n-stelsel is een m × n-matrix. Het
begrip matrix is in feite een uitbreiding van het begrip vector, want
𝑚
een vector in ℝ is gewoon een m × 1-matrix, want een vector
heeft m rijen en 1 kolom. Zo’n vector heeft dan m coördinaten. De
m × n-matrix met elementen met elementen 𝑎𝑖𝑗 voor 𝑖 = 1, 2, …, 𝑚
en 𝑗 = 1, 2, …, 𝑛 noteren we ook wel als A = (𝑎𝑖𝑗) en ziet er zo uit:
Bij een matrix de begrippen rij, kolom, vierkante matrix, elementen en hoofddiagonaal kennen
en kunnen toepassen: De getallen of uitdrukkingen in de onbekenden die horizontaal naast
elkaar staan, vormen samen een rij en die verticaal onder elkaar staan vormen samen een
kolom. Voor een vierkante matrix geldt dat m = n, ofwel een matrix heeft evenveel rijen als
kolommen — de matrix is vierkant. Een element is een getal of uitdrukking in een rij i en kolom
j, en noteren we met 𝑎𝑖𝑗. De matrix zelf noteren we met A = (𝑎𝑖𝑗). Is A een vierkante matrix, dus
m = n, dan zeggen we dat de elementen 𝑎11, 𝑎22, …, 𝑎𝑛𝑛 de hoofddiagonaal van de matrix
vormen. Deze loopt van linksboven tot rechtsonder in de vierkante matrix.
