Solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden,
lineales, con coeficientes variables, no homogéneas.
Método de Cauchy-Euler.
La forma característica de la ecuación de Cauchy – Euler es:
𝑑2𝑦 𝑑𝑦
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
La cual puede resolverse en dos etapas.
Primero resolviendo la parte izquierda de la ecuación diferencial como homogénea,
al igualarla a cero.
Si sabemos que una ecuación de segundo orden debe tener dos funciones solución,
entonces partiremos de la siguiente idea proponiendo que una primera solución pudiera
𝑑𝑦
obtenerse de 𝑏𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐𝑦 = 0 y resolviendo por variables separables obtendremos que
𝑑𝑦 𝑐 𝑐 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
=− 𝑦 si consideramos que 𝑚 = − entonces =𝑚 ; =𝑚 ;
𝑑𝑥 𝑏𝑥 𝑏 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 𝑥
ln(𝑦) = 𝑚𝑙𝑛(𝑥) + ln(𝑐) despejando l𝑙𝑛𝑦 = ln(𝑥 𝑚 ) + ln(𝐶) ; ln(𝑦) = 𝑙𝑛(𝐶𝑥 𝑚 ) ,
aplicando el antilogarito en ambos lados de la ecuación. 𝑦 = 𝐶𝑥 𝑚
Entonces si consideramos la ecuación característica como 𝑎𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑏𝑥𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0
y si la primera solución propuesta es 𝑦 = 𝑥 𝑚 , entonces 𝑦 ′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 ,
𝑦 ′′ = 𝑚(𝑚 − 1𝑥 𝑚−2 sustituyendo queda que: 𝑎𝑥 2 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 + 𝑏𝑚𝑥 𝑚−1 + 𝑐𝑥 𝑚 = 0
factorizando el término común (𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐)𝑥 𝑚 = 0 como 𝑥 𝑚 ≠ 0
𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0 a esta ecuación le llamaremos ecuación auxiliar y su solución
presentará 3 casos:
−(𝑏 − 𝑎) ± √(𝑏 − 𝑎)2 − 4𝑎𝑐
𝑚1,2 =
2𝑎
Caso I. Raíces Reales Diferentes. Si el discriminante (𝑏 − 𝑎)2 − 4𝑎𝑐 > 0 entonces obtenemos como solución dos
números reales 𝑚1 y 𝑚2 tal que: 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑥 𝑚1 + 𝐶2 𝑥 𝑚2
Ejemplo
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
Resuelva la ecuación diferencial 𝑥 2 𝑑𝑥 2 + 𝑥 𝑑𝑥 − 9𝑦 = 0.
Solución. Utilizando la ecuación auxiliar para Cauchy-Euler.
𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0 ; para nuestro caso 𝑎 = 1 , 𝑏 = 1 𝑐 = −9
𝑚2 − 9 = 0, (𝑚 + 3)(𝑚 − 3) = 0 , 𝑚1 = −3 ,. 𝑚2 = 3 ; 𝑦ℎ = 𝐶1 𝑥 −3 + 𝐶2 𝑥 3
Ejemplo
, Resuelva la ecuación diferencial 16𝑥 2 𝑦 ′′ + 8𝑥𝑦 ′ = 0.
Solución. Sustituyendo en la ecuación auxiliar𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0
para nuestro caso 𝑎 = 16 , 𝑏 = 8 𝑐 = 0 ; 16𝑚2 + (8 − 16)𝑚 = 0 ; 16𝑚2 − 8𝑚 = 0 ;
1 1
1
8𝑚(2𝑚 − 1) = 0; 𝑚1 = 0 ; 𝑚2 = 2; 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑥 0 + 𝐶2 𝑥 2 ; 𝑦𝐻 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 2 .
Caso II. Raíces Reales Repetidas. Si el discriminante (𝑏 − 𝑎)2 − 4𝑎𝑐 = 0, entonces obtenemos como solución
una sola solución 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚. Para encontrar la segunda solución entonces, utilizamos el método de
Reducción de Orden.
𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
Si 𝑦1 = 𝑥 𝑚 es la primera solución y utilizamos la ecuación 𝑦2 = 𝑦1 ∫ 𝑦2
𝑑𝑥 para encontrar la segunda solución
Además a la ecuación 𝑎𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑏𝑥𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0 la representamos en la forma característica para la reducción de orden
𝑏 −𝑏
− ∫ 𝑑𝑥 ln(𝑥)
′′ 𝑏 ′ 𝑐 𝑏 𝑚 𝑒 𝑎𝑥
𝑚 𝑒 𝑎
𝑦 + 𝑎𝑥
𝑦 + 𝑎𝑥 2
𝑦 = 0 por lo que el 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥
, 𝑦2 = 𝑥 ∫ 𝑥 2𝑚
𝑑𝑥 ; 𝑦2 = 𝑥 ∫ 𝑥 2𝑚 𝑑𝑥 del la fórmula
−𝑏 −𝑏
𝑒 ln(𝑥 𝑎 ) 𝑥𝑎
𝑦2 = 𝑒 𝑚𝑥 ∫ 𝑑𝑥 ; 𝑦2 = 𝑒 𝑚𝑥 ∫ 𝑑𝑥
𝑥 2𝑚 𝑥 2𝑚
−(𝑏−𝑎)±√(𝑏−𝑎)2 −4𝑎𝑐 −𝑏+𝑎 −𝑏
𝑚1,2 = cuando (𝑏 − 𝑎)2 − 4𝑎𝑐 = 0, entonces 𝑚1,2 = 𝑚 = así, 2𝑚 = + 1 sustituyendo:
2𝑎 2𝑎 𝑎
−𝑏
𝑚 𝑥𝑎 𝑑𝑥
𝑦2 = 𝑥 ∫ 𝑏 𝑑𝑥; 𝑦2 = 𝑥 𝑚 ∫ 𝑥
; 𝑦2 = 𝑥 𝑚 ln(𝑥).
− +1
𝑥 𝑎
La solución de la homogénea es: 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑥 𝑚 + 𝐶2 𝑥 𝑚 ln(𝑥)
Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial siguiente 𝑥 2 𝑦 ′′ + 7𝑥𝑦 ′ + 9 = 0.
Solución. Sustituyendo en la ecuación auxiliar 𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0
para nuestro caso 𝑎 = 1 , 𝑏 = 7 𝑐 = 9 ; 𝑚2 + (7 − 1)𝑚 + 9 = 0 ; 𝑚2 + 6𝑚 + 9 = 0 ;
(𝑚 + 3)(𝑚 + 3) = 0; 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 = −3 entonces 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑥 −3 + 𝐶2 𝑥 −3 ln(𝑥)
Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial siguiente 9𝑥 2 𝑦 ′′ − 3𝑥𝑦 ′ + 4 = 0.
Solución. Sustituyendo en la ecuación auxiliar 𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0
para nuestro caso 𝑎 = 9 , 𝑏 = −3 𝑐 = 4 ; 9𝑚2 + (−3 − 9)𝑚 + 4 = 0 ; 9𝑚2 − 12𝑚 + 4 = 0 ;
2 2
2
(3𝑚 − 2)(3𝑚 − 2) = 0; 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 = entonces; 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑥 3 + 𝐶2 𝑥 3 ln(𝑥)
3
Caso III. Factores cuadráticos irreducible o raíces complejas conjugadas.
lineales, con coeficientes variables, no homogéneas.
Método de Cauchy-Euler.
La forma característica de la ecuación de Cauchy – Euler es:
𝑑2𝑦 𝑑𝑦
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
La cual puede resolverse en dos etapas.
Primero resolviendo la parte izquierda de la ecuación diferencial como homogénea,
al igualarla a cero.
Si sabemos que una ecuación de segundo orden debe tener dos funciones solución,
entonces partiremos de la siguiente idea proponiendo que una primera solución pudiera
𝑑𝑦
obtenerse de 𝑏𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐𝑦 = 0 y resolviendo por variables separables obtendremos que
𝑑𝑦 𝑐 𝑐 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
=− 𝑦 si consideramos que 𝑚 = − entonces =𝑚 ; =𝑚 ;
𝑑𝑥 𝑏𝑥 𝑏 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 𝑥
ln(𝑦) = 𝑚𝑙𝑛(𝑥) + ln(𝑐) despejando l𝑙𝑛𝑦 = ln(𝑥 𝑚 ) + ln(𝐶) ; ln(𝑦) = 𝑙𝑛(𝐶𝑥 𝑚 ) ,
aplicando el antilogarito en ambos lados de la ecuación. 𝑦 = 𝐶𝑥 𝑚
Entonces si consideramos la ecuación característica como 𝑎𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑏𝑥𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0
y si la primera solución propuesta es 𝑦 = 𝑥 𝑚 , entonces 𝑦 ′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 ,
𝑦 ′′ = 𝑚(𝑚 − 1𝑥 𝑚−2 sustituyendo queda que: 𝑎𝑥 2 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 + 𝑏𝑚𝑥 𝑚−1 + 𝑐𝑥 𝑚 = 0
factorizando el término común (𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐)𝑥 𝑚 = 0 como 𝑥 𝑚 ≠ 0
𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0 a esta ecuación le llamaremos ecuación auxiliar y su solución
presentará 3 casos:
−(𝑏 − 𝑎) ± √(𝑏 − 𝑎)2 − 4𝑎𝑐
𝑚1,2 =
2𝑎
Caso I. Raíces Reales Diferentes. Si el discriminante (𝑏 − 𝑎)2 − 4𝑎𝑐 > 0 entonces obtenemos como solución dos
números reales 𝑚1 y 𝑚2 tal que: 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑥 𝑚1 + 𝐶2 𝑥 𝑚2
Ejemplo
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
Resuelva la ecuación diferencial 𝑥 2 𝑑𝑥 2 + 𝑥 𝑑𝑥 − 9𝑦 = 0.
Solución. Utilizando la ecuación auxiliar para Cauchy-Euler.
𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0 ; para nuestro caso 𝑎 = 1 , 𝑏 = 1 𝑐 = −9
𝑚2 − 9 = 0, (𝑚 + 3)(𝑚 − 3) = 0 , 𝑚1 = −3 ,. 𝑚2 = 3 ; 𝑦ℎ = 𝐶1 𝑥 −3 + 𝐶2 𝑥 3
Ejemplo
, Resuelva la ecuación diferencial 16𝑥 2 𝑦 ′′ + 8𝑥𝑦 ′ = 0.
Solución. Sustituyendo en la ecuación auxiliar𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0
para nuestro caso 𝑎 = 16 , 𝑏 = 8 𝑐 = 0 ; 16𝑚2 + (8 − 16)𝑚 = 0 ; 16𝑚2 − 8𝑚 = 0 ;
1 1
1
8𝑚(2𝑚 − 1) = 0; 𝑚1 = 0 ; 𝑚2 = 2; 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑥 0 + 𝐶2 𝑥 2 ; 𝑦𝐻 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 2 .
Caso II. Raíces Reales Repetidas. Si el discriminante (𝑏 − 𝑎)2 − 4𝑎𝑐 = 0, entonces obtenemos como solución
una sola solución 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚. Para encontrar la segunda solución entonces, utilizamos el método de
Reducción de Orden.
𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
Si 𝑦1 = 𝑥 𝑚 es la primera solución y utilizamos la ecuación 𝑦2 = 𝑦1 ∫ 𝑦2
𝑑𝑥 para encontrar la segunda solución
Además a la ecuación 𝑎𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑏𝑥𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0 la representamos en la forma característica para la reducción de orden
𝑏 −𝑏
− ∫ 𝑑𝑥 ln(𝑥)
′′ 𝑏 ′ 𝑐 𝑏 𝑚 𝑒 𝑎𝑥
𝑚 𝑒 𝑎
𝑦 + 𝑎𝑥
𝑦 + 𝑎𝑥 2
𝑦 = 0 por lo que el 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥
, 𝑦2 = 𝑥 ∫ 𝑥 2𝑚
𝑑𝑥 ; 𝑦2 = 𝑥 ∫ 𝑥 2𝑚 𝑑𝑥 del la fórmula
−𝑏 −𝑏
𝑒 ln(𝑥 𝑎 ) 𝑥𝑎
𝑦2 = 𝑒 𝑚𝑥 ∫ 𝑑𝑥 ; 𝑦2 = 𝑒 𝑚𝑥 ∫ 𝑑𝑥
𝑥 2𝑚 𝑥 2𝑚
−(𝑏−𝑎)±√(𝑏−𝑎)2 −4𝑎𝑐 −𝑏+𝑎 −𝑏
𝑚1,2 = cuando (𝑏 − 𝑎)2 − 4𝑎𝑐 = 0, entonces 𝑚1,2 = 𝑚 = así, 2𝑚 = + 1 sustituyendo:
2𝑎 2𝑎 𝑎
−𝑏
𝑚 𝑥𝑎 𝑑𝑥
𝑦2 = 𝑥 ∫ 𝑏 𝑑𝑥; 𝑦2 = 𝑥 𝑚 ∫ 𝑥
; 𝑦2 = 𝑥 𝑚 ln(𝑥).
− +1
𝑥 𝑎
La solución de la homogénea es: 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑥 𝑚 + 𝐶2 𝑥 𝑚 ln(𝑥)
Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial siguiente 𝑥 2 𝑦 ′′ + 7𝑥𝑦 ′ + 9 = 0.
Solución. Sustituyendo en la ecuación auxiliar 𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0
para nuestro caso 𝑎 = 1 , 𝑏 = 7 𝑐 = 9 ; 𝑚2 + (7 − 1)𝑚 + 9 = 0 ; 𝑚2 + 6𝑚 + 9 = 0 ;
(𝑚 + 3)(𝑚 + 3) = 0; 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 = −3 entonces 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑥 −3 + 𝐶2 𝑥 −3 ln(𝑥)
Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial siguiente 9𝑥 2 𝑦 ′′ − 3𝑥𝑦 ′ + 4 = 0.
Solución. Sustituyendo en la ecuación auxiliar 𝑎𝑚2 + (𝑏 − 𝑎)𝑚 + 𝑐 = 0
para nuestro caso 𝑎 = 9 , 𝑏 = −3 𝑐 = 4 ; 9𝑚2 + (−3 − 9)𝑚 + 4 = 0 ; 9𝑚2 − 12𝑚 + 4 = 0 ;
2 2
2
(3𝑚 − 2)(3𝑚 − 2) = 0; 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 = entonces; 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑥 3 + 𝐶2 𝑥 3 ln(𝑥)
3
Caso III. Factores cuadráticos irreducible o raíces complejas conjugadas.
