Ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas.
Le llamaremos ecuación diferencial reducible a homogénea de primer grado a
𝑑𝑦 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐
la ecuación de la forma = 𝑓( ) la cual es posible reducir a homogénea
𝑑𝑥 𝑑𝑥+𝑒𝑦+𝑓
trasladando el punto de intersección entre las rectas (𝑥0 , 𝑦0 ) al origen de las
coordenadas, con la excepción de que si las rectas son paralelas el método no se cumple.
Así 𝑥 = ℎ + 𝑥0 , 𝑦 = 𝑘 + 𝑦0 .
Ejemplo 22. Resuelva la siguiente ecuación reducible a homogénea.
(𝑥 + 𝑦 − 2)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦 + 4)𝑑𝑦 = 0
Solución.
(𝑥 + 𝑦 − 2)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦 + 4)𝑑𝑦 = 0 primero encontramos la intersección entre las rectas.
𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 …(1) y 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 …(2) si despejamos 𝑥 de la ecuación(2), 𝑥 = 𝑦 − 4 y lo sustituimos en la ecuación (1)
𝑦−4+𝑦−2= 0, 2𝑦 = 6, 𝑦 = 3 ; 𝑥 = −1 coordenada (−1,3)
Sustituyendo en la ecuación diferencial si = ℎ + 𝑥0 , 𝑦 = 𝑘 + 𝑦0 , 𝑥 = ℎ − 1 y 𝑦 = 𝑘 + 3
𝑑 𝑑
Derivando (𝑥 = ℎ − 1) , (𝑦 = 𝑘 + 3), 𝑑𝑥 = 𝑑ℎ, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑘
𝑑ℎ 𝑑𝑘
((ℎ − 1 + 𝑘 + 3 − 2)𝑑ℎ + (ℎ − 1 − (𝑘 + 3) + 4)𝑑𝑘 = 0
𝑑𝑘 −ℎ−𝑘 𝑘 𝑑𝑘 𝑑𝑢
(ℎ + 𝑘)𝑑ℎ + (ℎ − 𝑘)𝑑𝑘 = 0; = ahora ya es una ecuación homogénea, entonces 𝑢 = ; 𝑘 = 𝑢ℎ; =𝑢+ℎ .
𝑑ℎ ℎ−𝑘 ℎ 𝑑ℎ 𝑑ℎ
𝑑𝑢 −(ℎ+𝑢ℎ) 𝑑𝑢 ℎ(1+𝑢) 𝑑𝑢 1+𝑢−𝑢2 +𝑢
𝑢+ℎ = ; ℎ = − 𝑢; ℎ = ;
𝑑ℎ −(𝑢ℎ−ℎ) 𝑑ℎ ℎ(𝑢−1) 𝑑ℎ 𝑢−1
𝑢−1 𝑑ℎ 𝑢−1 𝑑ℎ
𝑑𝑢 = −∫ 𝑑𝑢 = ∫ ;
−𝑢2 +2𝑢+1 ℎ 𝑢2 −2𝑢−1 ℎ
1
− ln(𝑢2 − 2𝑢 − 1) = ln(ℎ) + ln (𝐶);ln(𝑢2 − 2𝑢 − 1) = ln(ℎ−2 𝐶); ℎ = 𝑥 + 1 y
2
𝑘2 𝑘 𝐶
𝑘 = 𝑦 − 3 Aplicando antilogaritmo −2 −1= ; 𝑘 2 − 2𝑘ℎ − ℎ2 = 𝐶
ℎ2 ℎ ℎ2
(𝑦 − 3)2 − 2(𝑥 + 1)(𝑦 − 3) − (𝑥 + 1)2 = 𝐶
𝑦 2 − 6𝑦 + 9 − 2𝑥𝑦 + 6𝑥 − 2𝑦 + 6 − 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 = 𝐶
𝑦 2 − 8𝑦 − 2𝑥𝑦 + 4𝑥 − 𝑥 2 = 𝐶
Ejemplo 23. Resuelva la siguiente ecuación reducible a homogénea.
(−2𝑥 + 2)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑦 = 0
Solución.
(−2𝑥 + 2)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑦 = 0
primero encontramos la intersección entre las rectas.
−2𝑥 + 2 = 0 , 𝑥0 = 1 lo sustituimos en 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0
𝑦0 = −2 ; coordenada (1, −2) si 𝑥 = ℎ + 𝑥0 , 𝑦 = 𝑘 + 𝑦0 .
Sustituyendo en la ecuación diferencial 𝑥 = ℎ + 1 y 𝑦 = 𝑘 − 2
𝑑 𝑑
Derivando (𝑥 = ℎ + 1) , (𝑦 = 𝑘 − 2), 𝑑𝑥 = 𝑑ℎ, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑘
𝑑ℎ 𝑑𝑘
, (−2(ℎ + 1) + 2)𝑑ℎ + (ℎ + 1 + 𝑘 − 2 + 1)𝑑𝑘 = 0
𝑑𝑘 2ℎ 𝑘 𝑑𝑘 𝑑𝑢
−2ℎ𝑑ℎ + (ℎ + 𝑘)𝑑𝑘 = 0 ; = ; si 𝑢 = ; 𝑘 = 𝑢ℎ; =𝑢+ℎ
𝑑ℎ ℎ+𝑘 ℎ 𝑑ℎ 𝑑ℎ
𝑑𝑢 2ℎ 𝑑𝑢 2ℎ 𝑑𝑢 2 𝑑𝑢 2−𝑢2 −𝑢
𝑢+ℎ = ; ℎ = − 𝑢; ℎ = −𝑢;ℎ =
𝑑ℎ ℎ+𝑘 𝑑ℎ ℎ+𝑢ℎ 𝑑ℎ 𝑢+1 𝑑ℎ 𝑢+1
𝑢+1 𝑑ℎ 𝑢+1 𝑑ℎ
− 𝑑𝑢 = 2 ; −∫( ) 𝑑𝑢 = 2 ∫ ;
𝑢2 +𝑢−2 ℎ 𝑢2 +𝑢−2 ℎ
𝑢+1 𝐴 𝐵
= + ; 𝑢 + 1 = 𝐴(𝑢 − 1) + 𝐵(𝑢 + 2)
(𝑢+2)(𝑢−1) 𝑢+2 𝑢−1
1
Para conocer A, si 𝑢 = −2 ; −1 = −3𝐴; 𝐴 =
3
2
Para conocer B si 𝑢 = 1; 2 = 𝐵(3) ; 𝐵=
3
𝑢+1 1 1 2 1
−∫( ) 𝑑𝑢 = − ∫ 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢
𝑢2 +𝑢−2 3 𝑢+2 3 𝑢−1
1 2
− ln(𝑢 + 2) − ln(𝑢 − 1) = 2 ln(ℎ) + ln(𝐶)
3 3
ln ((𝑢 + 2) + ln (𝑢 − 1)2 = −ln (ℎ−6 𝐶) ; ln (𝑢 + 2)(𝑢 − 1)2 = ln (ℎ−6 𝐶)
aplicando antilogaritmo en ambos lados de la igualdad
𝐶 𝑘
(𝑢 + 2)(𝑢 − 1)2 = ℎ−6 𝐶 ; 𝑢3 − 3𝑢 + 2 = ; si 𝑢 =
ℎ6 ℎ
𝑘3 𝑘 𝐶 𝐶
−3 +2= ; +2) 𝑘 3 − 3𝑘ℎ2 + 2ℎ3 =
ℎ3 ℎ ℎ6 ℎ3
𝐶
(𝑦 + 2)3 − 3(𝑦 + 2)(𝑥 − 1)2 + 2(𝑥 − 1)3 =
(𝑥−1)3
Ejemplo 24. Resuelva la ecuación diferencial reducible a homogénea
(𝑥 − 𝑦 + 2)𝑑𝑥 + (𝑦 − 4)𝑑𝑦 = 0
Solución.
(𝑥 − 𝑦 + 2)𝑑𝑥 + (𝑦 − 4)𝑑𝑦 = 0; si 𝑦 − 4 = 0,y 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 entonces
𝑦0 = 4, 𝑥0 = 2 la coordenada de intersección entre las rectas es (2,4).
Entonces 𝑥 = ℎ + 2, 𝑦 = 𝑘 + 4, 𝑑𝑥 = 𝑑ℎ y 𝑑𝑦 = 𝑑𝑘
𝑑𝑘 𝑘−ℎ 𝑘
(ℎ + 2 − 𝑘 − 4 + 2)𝑑𝑥 + (𝑘 + 4 − 4)𝑑𝑦 = 0 ; = si 𝑢 = ; 𝑘 = 𝑢ℎ
𝑑ℎ 𝑘 ℎ
𝑑𝑘 𝑑𝑢 𝑑𝑢 ℎ(𝑢−1) 𝑑𝑢 𝑢−1−𝑢2 −𝑢 1
=𝑢+ℎ ;ℎ = − 𝑢; ℎ = ; 𝑑𝑢 = 𝑑ℎ
𝑑ℎ 𝑑ℎ 𝑑ℎ 𝑢ℎ 𝑑ℎ 𝑢 𝑢2 −𝑢+1 ℎ
1 1
−𝑢 1 −1 2(𝑢− ) 𝑑ℎ
∫ 𝑢2−𝑢+1 𝑑𝑢 = ∫ ℎ 𝑑ℎ; 2
2
∫ 𝑢2−𝑢+1 𝑑𝑢 − ∫ 2
1 2 3 𝑑𝑢 = ∫
ℎ
(𝑢− ) +
2 4
1
−1 1 1 𝑢−2
ln(𝑢 2 − 𝑢 + 1) − arctan ( ) = ln(ℎ) + 𝐶 ; ℎ = 𝑥 − 2, 𝑘 = 𝑦 − 4
2 2 √3 √3
2 2
1 1 2𝑢−1 𝑦−4
ln(𝑢2 − 𝑢 + 1) + arctan ( ) = − ln(𝑥 − 2) + 𝐶; si 𝑢 =
2 √3 √3 𝑥−2
Problema 25. Resuelva la siguiente ecuación reducible a lineal de segundo grado.
𝑦 3 𝑑𝑥 + 2(𝑥 2 − 𝑥𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0
Le llamaremos ecuación diferencial reducible a homogénea de primer grado a
𝑑𝑦 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐
la ecuación de la forma = 𝑓( ) la cual es posible reducir a homogénea
𝑑𝑥 𝑑𝑥+𝑒𝑦+𝑓
trasladando el punto de intersección entre las rectas (𝑥0 , 𝑦0 ) al origen de las
coordenadas, con la excepción de que si las rectas son paralelas el método no se cumple.
Así 𝑥 = ℎ + 𝑥0 , 𝑦 = 𝑘 + 𝑦0 .
Ejemplo 22. Resuelva la siguiente ecuación reducible a homogénea.
(𝑥 + 𝑦 − 2)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦 + 4)𝑑𝑦 = 0
Solución.
(𝑥 + 𝑦 − 2)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦 + 4)𝑑𝑦 = 0 primero encontramos la intersección entre las rectas.
𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 …(1) y 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 …(2) si despejamos 𝑥 de la ecuación(2), 𝑥 = 𝑦 − 4 y lo sustituimos en la ecuación (1)
𝑦−4+𝑦−2= 0, 2𝑦 = 6, 𝑦 = 3 ; 𝑥 = −1 coordenada (−1,3)
Sustituyendo en la ecuación diferencial si = ℎ + 𝑥0 , 𝑦 = 𝑘 + 𝑦0 , 𝑥 = ℎ − 1 y 𝑦 = 𝑘 + 3
𝑑 𝑑
Derivando (𝑥 = ℎ − 1) , (𝑦 = 𝑘 + 3), 𝑑𝑥 = 𝑑ℎ, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑘
𝑑ℎ 𝑑𝑘
((ℎ − 1 + 𝑘 + 3 − 2)𝑑ℎ + (ℎ − 1 − (𝑘 + 3) + 4)𝑑𝑘 = 0
𝑑𝑘 −ℎ−𝑘 𝑘 𝑑𝑘 𝑑𝑢
(ℎ + 𝑘)𝑑ℎ + (ℎ − 𝑘)𝑑𝑘 = 0; = ahora ya es una ecuación homogénea, entonces 𝑢 = ; 𝑘 = 𝑢ℎ; =𝑢+ℎ .
𝑑ℎ ℎ−𝑘 ℎ 𝑑ℎ 𝑑ℎ
𝑑𝑢 −(ℎ+𝑢ℎ) 𝑑𝑢 ℎ(1+𝑢) 𝑑𝑢 1+𝑢−𝑢2 +𝑢
𝑢+ℎ = ; ℎ = − 𝑢; ℎ = ;
𝑑ℎ −(𝑢ℎ−ℎ) 𝑑ℎ ℎ(𝑢−1) 𝑑ℎ 𝑢−1
𝑢−1 𝑑ℎ 𝑢−1 𝑑ℎ
𝑑𝑢 = −∫ 𝑑𝑢 = ∫ ;
−𝑢2 +2𝑢+1 ℎ 𝑢2 −2𝑢−1 ℎ
1
− ln(𝑢2 − 2𝑢 − 1) = ln(ℎ) + ln (𝐶);ln(𝑢2 − 2𝑢 − 1) = ln(ℎ−2 𝐶); ℎ = 𝑥 + 1 y
2
𝑘2 𝑘 𝐶
𝑘 = 𝑦 − 3 Aplicando antilogaritmo −2 −1= ; 𝑘 2 − 2𝑘ℎ − ℎ2 = 𝐶
ℎ2 ℎ ℎ2
(𝑦 − 3)2 − 2(𝑥 + 1)(𝑦 − 3) − (𝑥 + 1)2 = 𝐶
𝑦 2 − 6𝑦 + 9 − 2𝑥𝑦 + 6𝑥 − 2𝑦 + 6 − 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 = 𝐶
𝑦 2 − 8𝑦 − 2𝑥𝑦 + 4𝑥 − 𝑥 2 = 𝐶
Ejemplo 23. Resuelva la siguiente ecuación reducible a homogénea.
(−2𝑥 + 2)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑦 = 0
Solución.
(−2𝑥 + 2)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦 + 1)𝑑𝑦 = 0
primero encontramos la intersección entre las rectas.
−2𝑥 + 2 = 0 , 𝑥0 = 1 lo sustituimos en 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0
𝑦0 = −2 ; coordenada (1, −2) si 𝑥 = ℎ + 𝑥0 , 𝑦 = 𝑘 + 𝑦0 .
Sustituyendo en la ecuación diferencial 𝑥 = ℎ + 1 y 𝑦 = 𝑘 − 2
𝑑 𝑑
Derivando (𝑥 = ℎ + 1) , (𝑦 = 𝑘 − 2), 𝑑𝑥 = 𝑑ℎ, 𝑑𝑦 = 𝑑𝑘
𝑑ℎ 𝑑𝑘
, (−2(ℎ + 1) + 2)𝑑ℎ + (ℎ + 1 + 𝑘 − 2 + 1)𝑑𝑘 = 0
𝑑𝑘 2ℎ 𝑘 𝑑𝑘 𝑑𝑢
−2ℎ𝑑ℎ + (ℎ + 𝑘)𝑑𝑘 = 0 ; = ; si 𝑢 = ; 𝑘 = 𝑢ℎ; =𝑢+ℎ
𝑑ℎ ℎ+𝑘 ℎ 𝑑ℎ 𝑑ℎ
𝑑𝑢 2ℎ 𝑑𝑢 2ℎ 𝑑𝑢 2 𝑑𝑢 2−𝑢2 −𝑢
𝑢+ℎ = ; ℎ = − 𝑢; ℎ = −𝑢;ℎ =
𝑑ℎ ℎ+𝑘 𝑑ℎ ℎ+𝑢ℎ 𝑑ℎ 𝑢+1 𝑑ℎ 𝑢+1
𝑢+1 𝑑ℎ 𝑢+1 𝑑ℎ
− 𝑑𝑢 = 2 ; −∫( ) 𝑑𝑢 = 2 ∫ ;
𝑢2 +𝑢−2 ℎ 𝑢2 +𝑢−2 ℎ
𝑢+1 𝐴 𝐵
= + ; 𝑢 + 1 = 𝐴(𝑢 − 1) + 𝐵(𝑢 + 2)
(𝑢+2)(𝑢−1) 𝑢+2 𝑢−1
1
Para conocer A, si 𝑢 = −2 ; −1 = −3𝐴; 𝐴 =
3
2
Para conocer B si 𝑢 = 1; 2 = 𝐵(3) ; 𝐵=
3
𝑢+1 1 1 2 1
−∫( ) 𝑑𝑢 = − ∫ 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢
𝑢2 +𝑢−2 3 𝑢+2 3 𝑢−1
1 2
− ln(𝑢 + 2) − ln(𝑢 − 1) = 2 ln(ℎ) + ln(𝐶)
3 3
ln ((𝑢 + 2) + ln (𝑢 − 1)2 = −ln (ℎ−6 𝐶) ; ln (𝑢 + 2)(𝑢 − 1)2 = ln (ℎ−6 𝐶)
aplicando antilogaritmo en ambos lados de la igualdad
𝐶 𝑘
(𝑢 + 2)(𝑢 − 1)2 = ℎ−6 𝐶 ; 𝑢3 − 3𝑢 + 2 = ; si 𝑢 =
ℎ6 ℎ
𝑘3 𝑘 𝐶 𝐶
−3 +2= ; +2) 𝑘 3 − 3𝑘ℎ2 + 2ℎ3 =
ℎ3 ℎ ℎ6 ℎ3
𝐶
(𝑦 + 2)3 − 3(𝑦 + 2)(𝑥 − 1)2 + 2(𝑥 − 1)3 =
(𝑥−1)3
Ejemplo 24. Resuelva la ecuación diferencial reducible a homogénea
(𝑥 − 𝑦 + 2)𝑑𝑥 + (𝑦 − 4)𝑑𝑦 = 0
Solución.
(𝑥 − 𝑦 + 2)𝑑𝑥 + (𝑦 − 4)𝑑𝑦 = 0; si 𝑦 − 4 = 0,y 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 entonces
𝑦0 = 4, 𝑥0 = 2 la coordenada de intersección entre las rectas es (2,4).
Entonces 𝑥 = ℎ + 2, 𝑦 = 𝑘 + 4, 𝑑𝑥 = 𝑑ℎ y 𝑑𝑦 = 𝑑𝑘
𝑑𝑘 𝑘−ℎ 𝑘
(ℎ + 2 − 𝑘 − 4 + 2)𝑑𝑥 + (𝑘 + 4 − 4)𝑑𝑦 = 0 ; = si 𝑢 = ; 𝑘 = 𝑢ℎ
𝑑ℎ 𝑘 ℎ
𝑑𝑘 𝑑𝑢 𝑑𝑢 ℎ(𝑢−1) 𝑑𝑢 𝑢−1−𝑢2 −𝑢 1
=𝑢+ℎ ;ℎ = − 𝑢; ℎ = ; 𝑑𝑢 = 𝑑ℎ
𝑑ℎ 𝑑ℎ 𝑑ℎ 𝑢ℎ 𝑑ℎ 𝑢 𝑢2 −𝑢+1 ℎ
1 1
−𝑢 1 −1 2(𝑢− ) 𝑑ℎ
∫ 𝑢2−𝑢+1 𝑑𝑢 = ∫ ℎ 𝑑ℎ; 2
2
∫ 𝑢2−𝑢+1 𝑑𝑢 − ∫ 2
1 2 3 𝑑𝑢 = ∫
ℎ
(𝑢− ) +
2 4
1
−1 1 1 𝑢−2
ln(𝑢 2 − 𝑢 + 1) − arctan ( ) = ln(ℎ) + 𝐶 ; ℎ = 𝑥 − 2, 𝑘 = 𝑦 − 4
2 2 √3 √3
2 2
1 1 2𝑢−1 𝑦−4
ln(𝑢2 − 𝑢 + 1) + arctan ( ) = − ln(𝑥 − 2) + 𝐶; si 𝑢 =
2 √3 √3 𝑥−2
Problema 25. Resuelva la siguiente ecuación reducible a lineal de segundo grado.
𝑦 3 𝑑𝑥 + 2(𝑥 2 − 𝑥𝑦 3 )𝑑𝑦 = 0
