Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de reducibles a líneales

Método de solución de ecuaciones diferenciales lineales.
La forma característica de una ecuación lineal es de la forma
𝑑𝑦
+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
𝑑𝑥
Parar resolver esta ecuación diferencial desarrollaremos una solución la cual proviene como un caso particular
las ecuaciones diferenciales reducibles a exacta.
𝑑𝑦
𝑑𝑥[ + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)] ; 𝑑𝑦 + 𝑃(𝑥)𝑦𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥)𝑑𝑥;
𝑑𝑥
(𝑃(𝑥)𝑦 − 𝑄(𝑥))𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0; donde 𝑀 = 𝑃(𝑥)𝑦 − 𝑄(𝑥) y 𝑁 = 1
𝜕𝑁 𝜕𝑀
𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑁 𝜕𝑀 ( − ) −𝑃(𝑥)
𝜕𝑥 𝜕𝑦
= 𝑃(𝑥) ; =0 − = 0 − 𝑃(𝑥); = = 𝑃(𝑥)
𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 −𝑁 −1
∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑤(𝑥) = 𝑒 , así podemos multiplicar por el factor integrante la ecuación diferencial inicial.
𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑦𝑃(𝑥) 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 aplicando el operador de integración en ambos lados
de la igualdad, nos permite tener una fórmula
Para obtener la solución de la ecuación diferencial lineal.
∫ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑄(𝑥)𝑑𝑥+𝐶
∫(𝑦𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 )′ = ∫ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑄(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶; 𝑦=
𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥


Ejemplo 38. Resuelva la siguiente ecuación diferencial lineal .
(5 cos (𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑑𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑦 = 0
Solución.
La siguiente ecuación lo resolveremos utilizando la forma característica y la fórmula.
𝑑𝑦 −5 ycos (𝑥)+𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑦 = − (5𝑦 cos (𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑑𝑥; = ;
𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑑𝑦
+ 5cot (𝑥)𝑦 = 1 forma característica
𝑑𝑥


∫ 𝑒 5 ∫ cot (𝑥)𝑑𝑥 (1)𝑑𝑥+𝐶) ∫ 𝑒 5ln (sen (𝑥) 𝑑𝑥〗+𝐶) ∫ 𝑠𝑒𝑛5 𝑑𝑥+𝐶
𝑦= ) ; 𝑦= ;𝑦=
𝑒 5 ∫ cot (𝑥)𝑑𝑥 𝑒 5ln (𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑠𝑒𝑛5 (𝑥))
∫ 𝑠𝑒𝑛4 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥+𝐶 ∫(𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) )2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥+𝐶 ∫(1−𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) )2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥+𝐶
𝑦= ;𝑦= ; 𝑦=
𝑠𝑒𝑛5 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛5 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛5 (𝑥))


∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥−2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥+∫ 𝑐𝑜𝑠 4 (𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥+𝐶
𝑦=
𝑠𝑒𝑛5 (𝑥))
2 1
−cos (𝑥)+ cos2 (𝑥)− 𝑐𝑜𝑠 5 (𝑥)+𝐶
𝑦= 3 5
𝑠𝑒𝑛5 (𝑥)
Ejemplo 39. Resuelva la siguiente ecuación diferencial lineal.
𝑦𝑑𝑥 + (𝑥𝑦 + 2𝑥 − 𝑦𝑒 𝑦 )𝑑𝑦 = 0
Solución.
𝑑𝑦 −𝑦
(𝑥𝑦 + 2𝑥 − 𝑦𝑒 𝑦 )𝑑𝑦 = −𝑦𝑑𝑥; = no se pueden separar por este procedimiento, para
𝑑𝑥 (𝑥𝑦+2𝑥−𝑦𝑒 𝑦 )
𝑑𝑥
resolverla la plantearemos como
𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑥𝑦+2𝑥−𝑦𝑒 𝑦 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2
= ; = −𝑥 − 𝑥 + 𝑒 𝑦 ; + ( + 1)𝑥 = 𝑒 𝑦
𝑑𝑦 −𝑦 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑦
∫ 𝑒 ∫ 𝑃(𝑦)𝑑𝑥 𝑄(𝑥)𝑑𝑥+𝐶
Sustituyendo en la fórmula 𝑥 =
𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
2
∫(𝑦+1)𝑑𝑦 𝑦
2 ∫𝑒 𝑒 𝑑𝑦+𝐶) ∫(𝑒 2 ln (𝑦)+𝑦 𝑒 𝑦 )𝑑𝑦+𝐶
𝑃(𝑦) = + 1, 𝑄(𝑦) = 𝑒 𝑦 ; 𝑥 = 2 ; 𝑥=
𝑦 ∫(𝑦+1)𝑑𝑦 𝑒 2 ln(𝑦)+𝑦
𝑒
𝑒2𝑦
∫ 𝑦 2 𝑒 2𝑦 𝑑𝑦+𝐶 ∫ 𝑦 2 𝑒 2𝑦 𝑑𝑦+𝐶 (2𝑦 2 −2𝑦+1) 4 +𝐶
𝑥= 2 ;𝑥= ;𝑥=
𝑒 ln(𝑦 )+𝑦 𝑦2𝑒 𝑦 𝑦2 𝑒 𝑦


Ejemplo 40. Resuelva la ecuación diferencial lineal
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥𝑐𝑜𝑠 3 (𝑦) − 1)𝑑𝑦 = 0
Solución.

, 𝑑𝑥 𝑥𝑐𝑜𝑠 3 (𝑦)−1
(𝑥𝑐𝑜𝑠 3 (𝑦) − 1)𝑑𝑦 = −𝑐𝑜𝑠 2 (𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑥 ; =
𝑑𝑦 −𝑐𝑜𝑠 2 (𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑦)
𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑦) 1 𝑑𝑥
+ 𝑥= ; + cot (𝑦)𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)csc (𝑦)
𝑑𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝑦) 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑦) 𝑑𝑦
Ahora utilizaremos otro procedimiento para resolver la ecuación diferencial.
Si el factor integrante para las ecuaciones lineales es 𝑤(𝑦) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑦)𝑑𝑦 donde
Para nuestro ejemplo 𝑃(𝑦) = cot(𝑦) entonces:
𝑤(𝑦) = 𝑒 ∫ cot(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑒 ln (𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑦)
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑦[ + cot (𝑦)𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)csc (𝑦) ];
𝑑𝑦
𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥cos(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)𝑑𝑦 ; (𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦))′ = 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)𝑑𝑦
∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)𝑑𝑦+𝐶 tan(𝑦)+𝐶
∫(𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦))′ = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑦)𝑑𝑦 ; 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑦)
;𝑥=
𝑠𝑒𝑛(𝑦)
;
𝑥 = sec(𝑦) + 𝑐𝑠𝑐(𝑦)𝐶
Problema 41. Resuelva la siguiente ecuación diferencial lineal.
𝑑𝑦 3𝑦
+ = 2(𝑥 + 1) ;
𝑑𝑥 𝑥 2 −𝑥−2
Solución.
𝑑𝑦 3 3
+ 𝑦 = 2(𝑥 + 1) ; si 𝑤(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 donde para nuestro ejemplo 𝑃(𝑥) = entonces:
𝑑𝑥 𝑥 2 −𝑥−2 (𝑥−2)(𝑥+1)
3 𝐴 𝐵
= + ; 3 = 𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 − 2)
(𝑥−2)(𝑥+1) 𝑥−2 𝑥+1
Si 𝑥 = 2 𝐴 = 1, para B) Si 𝑥 = −1; 𝐵 = −1
1 1 𝑥−2
𝑥−2
𝑤(𝑥) = 𝑒 ∫𝑥−2𝑑𝑥−∫𝑥+1𝑑𝑥 = 𝑒 ln(𝑥−2)−ln (𝑥+1) = 𝑒 ln (𝑥+1) =
𝑥+1
𝑥−2 𝑑𝑦 3𝑦 𝑥−2 3
𝑑𝑥[ + = 2(𝑥 + 1)] ; 𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑥 = 2(𝑥 − 2)𝑑𝑥
𝑥+1 𝑑𝑥 (𝑥−2)(𝑥+1) 𝑥+1 (𝑥+1)2
𝑥−2 ′ 𝑥−2
∫ (𝑥+1 𝑦) = 2 ∫(𝑥 − 2)𝑑𝑥 + 𝐶 ; 𝑥+1 𝑦 = (𝑥 − 2)2 + 𝐶;
𝑦 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) + 𝐶 o 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥 − 2 + 𝐶

Problema 42. Resuelva la ecuación diferencial lineal.
𝑑𝑦 1
=
𝑑𝑥 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦)+2𝑠𝑒𝑛(2𝑦)
Solución.
𝑑𝑥 𝑑𝑥
= 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦) + 2𝑠𝑒𝑛(2𝑦); − 𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛(2𝑦);
𝑑𝑦 𝑑𝑦
si 𝑤(𝑦) = 𝑒 ∫ 𝑃(𝑦)𝑑𝑦 donde para nuestro ejemplo 𝑃(𝑦) = −𝑠𝑒𝑛(𝑦) entonces:
𝑑𝑥
𝑤(𝑦) = 𝑒 ∫ −𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑒 cos (𝑦) ; 𝑒 cos (𝑦) 𝑑𝑦[ − 𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛(2𝑦)];
𝑑𝑦
𝑒 cos (𝑦) 𝑑𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑒 cos(𝑦) 𝑑𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(2𝑦)𝑒 cos (𝑦)
𝑑𝑦
cos(𝑦) ′ cos (𝑦) ∫ 2𝑠𝑒𝑛(2𝑦)𝑒 cos (𝑦) 𝑑𝑦+𝐶
∫(𝑥𝑒 ) = ∫ 2𝑠𝑒𝑛(2𝑦)𝑒 𝑑𝑦 + 𝐶; 𝑥 =
𝑒 cos (𝑦)
cos (𝑦)
∫ 4𝑠𝑒𝑛(𝑦)cos (𝑦)𝑒 𝑑𝑦 + 𝐶 si 𝑢 = 4 cos(𝑦) ; 𝑑𝑢 = −4sen (𝑦)
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑒 cos (𝑦) ; 𝑣 = 𝑒 cos (𝑦)
4 cos(𝑦)𝑒 cos (𝑦) −4 ∫ −𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑒 cos(𝑦) 𝑑𝑦+𝐶 4 cos(𝑦)𝑒 cos (𝑦) −4𝑒 cos (𝑦) +𝐶
𝑥= ; 𝑥=
𝑒 cos (𝑦) 𝑒 cos (𝑦)
𝑥 = 4 cos(𝑦) − 4 + 𝐶𝑒 −cos (𝑦)