Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de reducibles a exactas

Método de solución de ecuaciones diferenciales reducibles a exactas.
𝜕𝑀(𝑥,𝑦) 𝜕𝑁(𝑥,𝑦)
Para los casos donde ≠ se propone multiplicar por una función 𝑤(𝑥, 𝑦) tal que al multiplicar la ecuación diferencial por
𝜕𝑦 𝜕𝑥
ese factor integrante la ecuación sea exacta.
𝑤(𝑥, 𝑦)[𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0] o para una forma simplificada
𝑤𝑀𝑑𝑥 + 𝑤𝑁𝑑𝑦 = 0
Para conocer el valor del factor integrante podemos partir de:
𝜕𝑤𝑀 𝜕𝑤𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑤 𝜕𝑁 𝜕𝑤
= ; derivando 𝑤 +𝑀 =𝑤 +𝑁
𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑁 𝜕𝑀
𝑀 −𝑁 =𝑤 −𝑤
𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑁 𝜕𝑀
Caso I. Si = 0 entonces 𝑤 = 𝑤(𝑥); −𝑁 = 𝑤( − )
𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑀
𝜕𝑤 𝑤( − ) 𝜕𝑤 − 𝜕𝑤 −
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
= ; = 𝜕𝑥; ∫ =∫ 𝜕𝑥;
𝜕𝑥 −𝑁 𝑤 −𝑁 𝑤 −𝑁

𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑀 𝜕𝑁
− −
− 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥
ln(𝑤) = ∫ 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥; 𝑤(𝑥) = 𝑒 ∫ −𝑁 o 𝑤(𝑥) = 𝑒 ∫ 𝑁
−𝑁

𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑁 𝜕𝑀
Caso II. Si = 0 entonces 𝑤 = 𝑤(𝑦); 𝑀 = 𝑤( − )
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑀
𝜕𝑤 𝑤( − ) 𝜕𝑤 − 𝜕𝑤 −
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
= ; = 𝜕𝑦; ∫ =∫ 𝜕𝑦;
𝜕𝑦 𝑀 𝑤 𝑀 𝑤 𝑀

𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑀
𝑤( − )
𝑤( − ) 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦 ∫ 𝜕𝑦
ln(𝑤) = ∫ 𝜕𝑦; 𝑤(𝑦) = 𝑒 𝑀
𝑀

𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑁 𝜕𝑀
Caso III 𝑀 −𝑁 = 𝑤( − )
𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦


Pendiente

Ejemplo 33. Resuelva la siguiente ecuación reducible a exacta.

(2𝑥𝑦𝑙𝑛(𝑦))𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑀
− −
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝑑𝑦
Solución: Fórmula 𝑤(𝑦) = 𝑒 ∫ 𝑀 ó 𝑤(𝑥) = 𝑒 ∫ −𝑁 𝑑𝑥
2 2 𝜕𝑀 𝜕𝑁
(2𝑥𝑦𝑙𝑛(𝑦))𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦 √𝑦 2 + 1)𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑦
= 2𝑥 + 2𝑥𝑙𝑛(𝑦) ;
𝜕𝑥
= 2𝑥

𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝑑𝑦
− 2𝑥−2𝑥−2𝑥𝑙𝑛(𝑦) −1 −∫ −1 1
= 𝑒 ln (𝑦 ) = 𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝑀
= 2𝑥𝑦𝑙𝑛(𝑦)
= 𝑦
; 𝑤(𝑦) = 𝑒 𝑦



1 𝑥2
𝑦
[(2𝑥𝑦𝑙𝑛(𝑦))𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑦 2 + 1)𝑑𝑦 = 0] ; (2𝑥𝑙𝑛(𝑦))𝑑𝑥 + ( 𝑦 + 𝑦√𝑦 2 + 1) 𝑑𝑦 = 0
3
𝜕𝑓 𝑥2 𝑥2 1
𝜕𝑦
= 𝑦
+ 𝑦√𝑦 2 + 1 ; 𝜕𝑓 = ( 𝑦 + 𝑦√𝑦 2 + 1)𝜕𝑦 ; integrando 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 ln(𝑦) + 3 (𝑦 2 + 1)2 + 𝑔(𝑥)

𝜕𝑓 𝑑𝑔(𝑥) 𝑑𝑔(𝑥) 𝑑𝑔(𝑥)
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑙𝑛(𝑥) + 𝜕𝑥
; 2𝑥𝑙𝑛(𝑥) + 𝜕𝑥
= (2𝑥𝑙𝑛(𝑦)) ; 𝜕𝑥
= 0 ; ∫ 𝑑𝑔(𝑥) = 𝑜 ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶 ; 𝑔(𝑥) = 𝐶

1
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 ln(𝑦) + √(𝑦 2 + 1)3 + 𝐶
3
Ejemplo 34. Resuelva la ecuación diferencial reducible a exacta.

(2𝑥𝑦𝑙𝑛(𝑦) + 2𝑥𝑦 3 )𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 2𝑥 2 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0
Solución:
𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑁 𝜕𝑀
− −
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝑑𝑦
Fórmula 𝑤(𝑦) = 𝑒 ∫ 𝑀 ó 𝑤(𝑥) = 𝑒 ∫ −𝑁 𝑑𝑥