Ejercicios resueltos del método de coeficientes indeterminados.

Métodos de solución de ecuaciones diferenciales de segundo orden, lineales, con coeficientes constantes,
no homogénea.
Método de coeficientes indeterminados.
Una ecuación diferencial de segundo orden, lineal, con coeficientes constantes no homogénea tiene la forma:
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
𝑎2 + 𝑎1 + 𝑎0 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

La cual puede resolverse en dos etapas. Primero resolviendo la parte izquierda de la ecuación diferencial como
homogénea, al igualarla a cero y después utilizando alguno de los dos métodos el de coeficientes indeterminados y el de
superposición o ambos, para encontrar la solución particular.

𝑦 = 𝑦𝐻 + 𝑦𝑝 donde 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2

Para encontrar la solución particular 𝑦𝑃 por coeficientes indeterminados propondremos una ecuación análoga a la
función 𝑓(𝑥) solo que con sus coeficientes indeterminados como se muestra a continuación:

𝑓(𝑥) 𝑦𝑝

Cte 𝐴

3𝑥 + 1 𝐴𝑥 + 𝐵
2𝑥 𝐴𝑥 + 𝐵

2𝑥 2 𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷

𝑥3 + 3 𝐴𝑥 3 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷
𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 𝐴𝑐𝑜𝑠(5𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
cos(3𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 𝐴𝑐𝑜𝑠(3𝑥) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(3𝑥)
𝑒 7𝑥 𝐴𝑒 7𝑥
(𝑥)𝑒 2𝑥 (𝐴𝑥 + 𝐵)𝑒 2𝑥

(𝑥 3 + 1)𝑒 3𝑥 (𝐴𝑥 3 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 𝐷)𝑒 5𝑥

(𝑥 2 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) (𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶)𝐶𝑜𝑠(2𝑥) + (𝐷𝑥 2 + 𝐸𝑥 + 𝐹)𝑆𝑒𝑛(2𝑥)



Nota: Este método de coeficientes indeterminados no es aplicable cuando las funciones son de la forma que a
1
continuación se describe. 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑓(𝑥) = 𝑥, etc. Para estos casos se utilizan otros métodos.

Ejemplo

Resuelva la ecuación diferencial utilizando el método de coeficientes indeterminados.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
− 4𝑦 = 𝑒 5𝑥

Solución. La solución es 𝑦 = 𝑦𝐻 + 𝑦𝑝 primero encontramos 𝑦𝐻 .
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
− 4𝑦 = 𝑒 5𝑥 ; sujeta a 𝑦(0) = 2, 𝑦 ′ (0) = 5. Utilizando la ecuación auxiliar 𝑚2 − 4 = 0 ; (𝑚 − 2)(𝑚 + 2) = 0

𝑚1 = 2 , 𝑚2 = −1 ; 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥

, Ahora de acuerdo a la expresión que presenta el lado derecha de la igualdad, se propondrá como solución particular

𝑦𝑃 = 𝐴𝑒 5𝑥 debido a que la función propuesta es diferente a las dos funciones que forman la solución de la homogénea
entonces calculamos las derivadas 𝑦𝑃′ = 5𝐴𝑒 5𝑥 , 𝑦 ′′ = 25𝐴𝑒 5𝑥
1 1 5
25𝐴𝑒 5𝑥 − 4𝐴𝑒 5𝑥 = 𝑒 5𝑥 ; 21𝐴𝑒 5𝑥 = 𝑒 5𝑥 ; 𝐴 = 21 ; 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 + 21 𝑒 5𝑥 ; 𝑦 ′ = 2𝐶1 𝑒 2𝑥 − 𝐶2 𝑒 −𝑥 + 21 𝑒 5𝑥 ;


1 41
Si 𝑦(0) = 2 ; 2 = 𝐶1 𝑒 0 + 𝐶2 𝑒 0 + 21 𝑒 0 ; 𝐶1 + 𝐶2 = − 21 …(1)
5 5 100
Si 𝑦′(0) = 5 ; 5 = 2𝐶1 𝑒 0 − 𝐶2 𝑒 0 + 21 𝑒 0; 2𝐶1 − 𝐶2 = 5 − 21 ; 2𝐶1 − 𝐶2 = 21
…(2)
41 41 100
De la ecuación (1) 𝐶2 = − − 𝐶1 ; sustituyendo en (2) , 2𝐶1 − (− − 𝐶1 ) = ;
21 21 21
100 41 59 41 59 100
3𝐶1 = 21
− 21 𝐶1 = 21 ; 𝐶2 = − 21 − 21 ; 𝐶2 = − 21
59 100 −𝑥 1
𝑦 = 21 𝑒 2𝑥 − 21
𝑒 + 21 𝑒 5𝑥

Ejemplo

𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ = 𝑥 + 2 sujetan a 𝑦(0) = 0 , 𝑦 ′ (0) = 2.

Solución. La solución es 𝑦 = 𝑦𝐻 + 𝑦𝑝 primero encontramos 𝑦𝐻 .
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
− 5𝑦 ′ = 𝑥 + 2 ; sujeta a 𝑦(0) = 0, 𝑦 ′ (0) = 2. Utilizando la ecuación auxiliar 𝑚2 − 5𝑚 = 0 ; 𝑚(𝑚 − 5) = 0

𝑚1 = 0 , 𝑚2 = 5 ; 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑒 0 + 𝐶2 𝑒 5𝑥 ; 𝑦𝐻 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 5𝑥

Ahora de acuerdo a la expresión que presenta el lado derecho de la igualdad, se propondrá como solución particular

𝑦𝑃 = 𝐴𝑥 + 𝐵 debido a que la constante 𝐵 de la ecuación propuesta se repite con la constante de una de las soluciones
de la homogénea que forman la solución de la homogénea, entonces, multiplicamos por 𝑥, con el objetivo de que sean
diferentes, entonces: 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥

Entonces 𝑦𝑝′ = 2𝐴𝑥 + 𝐵 ; 𝑦𝑃′′ = 2𝐴 sustituyendo en la ecuación diferencial queda:
1
2𝐴 − 5(2𝐴𝑥 + 𝐵) = 𝑥 − 2 ; 2𝐴 − 5𝐵 − 10𝐴𝑥 = 𝑥 − 2 ; −10𝐴𝑥 = 𝑥 ; 𝐴 = − 10 .
1 −1 9
2𝐴 − 5𝐵 = −2; si 𝐴 = − 10 entonces 2 ( 10 ) − 5𝐵 = −2 ; 𝐵 = − 5
1 9 1 9
Entonces 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 5𝑥 − 10 𝑥 2 − 5 𝑥 y 𝑦 ′ = 5𝐶2 𝑒 5𝑥 − 5 𝑥 − 5
41
Si 𝑦(0) = 0 ; 0 = 𝐶1 + 𝐶2 ; 𝐶1 + 𝐶2 = − 21 …(1)
9 19 19
Si 𝑦′(0) = 2 ; 2 = 5𝐶2 − 5; 𝐶2 = 25 ; 𝐶1 = − 25
19 19 5𝑥 1 2 9
𝑦=− − 𝑒 − 𝑥 − 𝑥
25 25 10 5




Ejemplo

𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑒 2𝑥 sujetan a 𝑦(0) = 1 , 𝑦 ′ (0) = 0

Solución. La solución es 𝑦 = 𝑦𝐻 + 𝑦𝑝 primero encontramos 𝑦𝐻 .