Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Una ecuación de segundo orden, lineal, con coeficientes variables, y no homogénea tiene la forma:
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
𝑎2 (𝑥) 𝑑𝑥 2 + 𝑎1 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)

Una ecuación segundo orden, lineal, con coeficientes variables, homogénea es:
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
𝑎2 (𝑥) 𝑑𝑥 2 + 𝑎1(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 0 .

Método Reducción de orden.

El método de reducción de orden permite resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden, lineal, con coeficientes
variables, homogénea.

Para este método organizamos la ecuación homogénea de la siguiente forma característica:
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 𝑎2 (𝑥) 𝑑 2 𝑦 𝑎1(𝑥) 𝑑𝑦 𝑎 (𝑥)
𝑎2 (𝑥) 𝑑𝑥 2 + 𝑎1(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 0 ; 𝑎2 (𝑥) 𝑑𝑥 2
+𝑎 + 𝑎0 (𝑥) 𝑦 = 0
2 (𝑥) 𝑑𝑥 2

𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑥 2
+ 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥)𝑦 = 0 … (1)

Para resolver por el método de reducción de orden, se parte de la consideración de que se tiene una solución conocida
𝑦 = 𝑦1 , y para la segunda solución, se propone que la primera solución conocida, sea multiplicada por una variable 𝑢,
tal que 𝑦2 = 𝑢𝑦1 asi que

𝑦 = 𝑢𝑦1 , 𝑦 ′ = 𝑢𝑦1′ + 𝑦1 𝑢′ y 𝑦 ′′ = 𝑢𝑦1′′ + 𝑢′ 𝑦1′ + 𝑦1 𝑢′′ + 𝑦1′ 𝑢′ sustituyendo en la ecuación (1)

𝑢𝑦1′′ + 𝑢′ 𝑦1′ + 𝑦1 𝑢′′ + 𝑦1′ 𝑢′ + 𝑃(𝑥)[𝑢𝑦1′ + 𝑦1 𝑢′ ] + 𝑄(𝑥)[𝑢𝑦1 ] = 0 factorizando la 𝑢.

𝑢[𝑦1′′ + 𝑃(𝑥)𝑦1′ + 𝑄(𝑥)𝑦1 ] + 2𝑢′ 𝑦1′ + 𝑦1 𝑢′′ + 𝑃(𝑥)[𝑦1 𝑢′ ] = 0 ; si 𝑦1′′ + 𝑃(𝑥)𝑦1′ + 𝑄(𝑥)𝑦1 = 0 y 𝑤 = 𝑢′
𝑦1′ 𝑤′
Entonces : 2𝑤𝑦1′ + 𝑦1 𝑤 ′ = −𝑃(𝑥)[𝑦1 𝑤] dividiendo entre 𝑤 y 𝑦1 ; 2 + = −𝑃(𝑥) integrando
𝑦1 𝑤

𝑑𝑦1 𝑑𝑤 𝐶1 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝐶1 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
∫(2 𝑦1
+ 𝑤
)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 ; ln(𝑦12 𝑤) = − ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶1 ; 𝑤 = 𝑦2
; 𝑑𝑥
= 𝑦2

𝐶1 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑦2
𝑑𝑥 + 𝐶2 si 𝐶1 = 1 y 𝐶2 = 0 𝑢 = ∫
𝑦2
𝑑𝑥 así 𝑦2 = 𝑦1 ∫
𝑦2
𝑑𝑥

Así entonces la solución de la ecuación diferencial homogénea es: 𝑦𝐻 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2



Ejemplos 1: Utilizando el método de reducción de orden resuelva la siguiente ecuación diferencial.
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
𝑥 2 𝑑𝑥 2 − 2𝑥 𝑑𝑥 + 2𝑦 = 0 , si 𝑦1 = 𝑥

Solución.
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
Primero la expresamos en la forma característica + 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)𝑦 = 0.
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

𝑑2 𝑦 2 𝑑𝑦 2 −2
𝑑𝑥 2
− 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑦 = 0 entonces es 𝑝(𝑥) = 𝑥
sustituyendo en la ecuación obtenida para la reducción de orden
−2 2
−∫ 𝑑𝑥
𝑒 𝑥 𝑒 𝑙𝑛𝑥
𝑦2 = 𝑥 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 ; 𝑦2 = 𝑥 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥; 𝑦2 = 𝑥 ∫ 𝑑𝑥 ; 𝑦2 = 𝑥 2 por lo que la solución general de la ecuación
diferencial es 𝑦 = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑥 2

, Ejemplo 2. Utilizando el método de reducción de orden resuelva la siguiente ecuación diferencial.
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦
(10 − 6𝑥 − 𝑥 2 ) + (2𝑥 + 6) − 𝑦 = 0 si 𝑦1 = 𝑥 + 3
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

Solución.

Expresamos en la forma característica para reducción de orden.
𝑑2 𝑦 2𝑥+6 𝑑𝑦 1 2𝑥+6 𝑒 − ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
+ − 𝑦 = 0 donde 𝑃(𝑥) = − ; 𝑦2 = 𝑦1 ∫ 𝑑𝑥
𝑑𝑥 2 10−6𝑥−𝑥 2 𝑑𝑥 10−6𝑥−𝑥 2 𝑥 2 +6𝑥−10 (𝑦1 )2

2𝑥+6
−∫− 2 𝑑𝑥 2
𝑒 𝑥 +6𝑥−10 𝑒 ln (𝑥 +6𝑥−10)
𝑦2 = (𝑥 + 3) ∫ 𝑑𝑥 ; 𝑦2 = (𝑥 + 3) ∫ 𝑑𝑥
(𝑥+3)2 (𝑥+3)2

𝑥 2 +6𝑥+9−9−10 (𝑥+3)2 −19
𝑦2 = (𝑥 + 3) ∫ (𝑥+3)2
𝑑𝑥 ; 𝑦2 = (𝑥 + 3) ∫ (𝑥+3)2
𝑑𝑥

(𝑥+3)2 −19 1
𝑦2 = (𝑥 + 3) ∫ 𝑑𝑥 − (𝑥 + 3) ∫ 𝑑𝑥 ; 𝑦2 = (𝑥 + 3) ∫ 𝑑𝑥 + 19(𝑥 + 3) ∫ 𝑑𝑥
(𝑥+3)2 (𝑥+3)2 (𝑥+3)2

1 −1
𝑦2 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 19 [(𝑥 + 3) ∫ (𝑥+3)2 𝑑𝑥] 𝑦2 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 19 [(𝑥 + 3) 𝑥+3 𝑑𝑥] ;

𝑦2 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 19; 𝑦𝐻 = 𝐶1 (𝑥 + 3) + 𝐶2 (𝑥 2 + 3𝑥 − 19)

Ejemplo Halle la segunda solución de la ecuación diferencial

𝑥 2 𝑦 ′′ − 3𝑥𝑦 ′ + 5𝑦 = 0 si 𝑦1 = 𝑥 2 cos (ln(𝑥))

Solución.
𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑2 𝑦 3 𝑑𝑦 5 3 𝑒 − ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑥 2 𝑑𝑥 2 − 3𝑥 𝑑𝑥 + 5𝑦 = 0 ; 𝑑𝑥 2
− 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥 2 𝑦 = 0; donde 𝑃(𝑥) = − 𝑥 ; 𝑦2 = 𝑦1 ∫ (𝑦1 )2
𝑑𝑥
−3
− ∫ 𝑑𝑥
𝑒 𝑥 𝑒 3ln (𝑥)
𝑦2 = 𝑥 2 cos (ln(𝑥)) ∫ (𝑥 2 cos (ln(𝑥)))2 𝑑𝑥 ; 𝑦2 = 𝑥 2 cos (ln(𝑥)) ∫ (𝑥 2 cos (ln(𝑥)))2 𝑑𝑥 ;

𝑥3 𝑥3
𝑦2 = 𝑥 2 cos (ln(𝑥)) ∫ (𝑥 2 cos (ln(𝑥)))2 𝑑𝑥 ; 𝑦2 = 𝑥 2 cos (ln(𝑥)) ∫ (𝑥 2 cos (ln(𝑥)))2 𝑑𝑥 ;

1 𝑠𝑒𝑐 2 (ln(𝑥))
𝑦2 = 𝑥 2 cos (ln(𝑥)) ∫ 𝑑𝑥; 𝑦2 = 𝑥 2 cos (ln(𝑥)) ∫ 𝑑𝑥;
𝑥cos2 (ln(𝑥)) 𝑥

sen (ln(𝑥))
𝑦2 = 𝑥 2 cos (ln(𝑥))tan (ln(𝑥)); 𝑦2 = 𝑥 2 cos (ln(𝑥)) cos (ln(𝑥)); 𝑦2 = 𝑥 2 sen (ln(𝑥));

𝑦 = 𝐶1 𝑥 2 cos(ln(𝑥)) + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥))
𝑑𝑦
Ejemplo Dada la ecuación diferencial 4𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑦 = 0 encuentre la segunda solución si sabemos que

𝑦1 = √𝑥ln (𝑥).

Solución.
𝑑𝑦 𝑒 ∫ 𝑜𝑑𝑥 1
4𝑥 2 + 𝑦 = 0 𝑃(𝑥) = 0 ; 𝑦2 = √𝑥 ln(𝑥) ∫ 𝑑𝑥 ; 𝑦2 = √𝑥 ln(𝑥) ∫ 2 𝑑𝑥
𝑑𝑥 √𝑥 ln(𝑥) (√𝑥 ln(𝑥))

1 1 𝑑𝑢 1
𝑦2 = √𝑥 ln(𝑥) ∫ 𝑥(ln(𝑥))2 𝑑𝑥 ; 𝑢 = ln (𝑥) ; 𝑑𝑢 = 𝑥 ; ∫ 𝑢2 = − 𝑢

−1
𝑦2 = √𝑥 ln(𝑥) (ln(𝑥)) ; 𝑦2 = −√𝑥 ; 𝑦 = 𝐶1 √𝑥 ln(𝑥) + 𝐶2 √𝑥