Methodologie en toegepaste
biostatistiek II
Blok 1: T-toetsen en ANOVA
Theorie
In statistiek wordt vaak gebruikgemaakt van steekproeven om uitspraken te doen over een populatie.
In MTB-1 is de Z-toets aan bod gekomen. Deze toets gebruikt de standaardnormale verdeling en kan
gebruikt worden als de gemiddelde (𝜇) en variantie (SE) van de populatie bekend is.
Z = 𝑋−𝜇
𝑆𝐸
In de praktijk zijn de populatieparameters meestal onbekend. In een onderzoek wordt meestal een
steekproef gebruikt/onderzocht om uitspraken te doen over de populatie. De populatieparameters
worden hierbij dus geschat op basis van steekproefgegevens. Bij die schatting komt de nodige
onzekerheid kijken, waarmee rekening gehouden moet worden. Om deze onzekerheid correct mee te
nemen wordt gebruikgemaakt van de t-verdeling.
T-verdeling
T-verdeling (Student’s t-verdeling) = continue kansverdeling die lijkt op de normale verdeling, maar
wordt gebruikt wanneer het populatiegemiddelde wordt geschat op basis van een steekproef en
gegevens over de populatie onbekend zijn.
De t-verdeling is een symmetrische verdeling die
lijkt op de normale verdeling, maar met bredere
staarten. Dit betekent dat de t-verdeling een
lagere kansdichtheid geeft voor het centrum en
een hogere kansdichtheid voor de staarten dan
de standaard normaalverdeling. Deze bredere
staarten ontstaan wanneer de standaarddeviatie
wordt geschat uit een kleinere steekproef. Een
kleinere steekproef geeft een groter risico op
extreme waarden. De t-verdeling corrigeert dus
voor de hoeveelheid waarnemingen en dus voor
het feit dat een steekproefstandaarddeviatie
minder betrouwbaar is dan een
populatiestandaarddeviatie.
,Naarmate de steekproef groter wordt, wordt de t-verdeling steeds meer gelijk aan de normale
verdeling/z-verdeling, omdat de schatting van de standaarddeviatie dan betrouwbaarder wordt.
Populatie Populatie
Steekproef
Steekproef
Situatie 1: Situatie 2:
De steekproef is klein ten opzichte van de De steekproef is relatief groot. De schatting van
populatie. Hierdoor is de schatting van het het gemiddelde en de standaarddeviatie lijkt meer
gemiddelde en de standaarddeviatie onzeker. De op de normale verdeling, waardoor deze
t-verdeling corrigeert voor deze extra onzekerheid betrouwbaarder zijn. De extra onzekerheid is
door bredere staarten. minimaal.
De standaarddeviatie van het gemiddelde in de populatie kan geschat worden op basis van de
steekproefgegevens: 'geschatte standaardfout'.
𝜎
𝑆𝐸 =
√𝑛
• Hierbij geld: hoe groter de steekproef, hoe kleiner de standaardfout (centrale limietstelling).
Vrijheidsgraden (Degrees of freedom (DF)) = het aantal onafhankelijke stukjes informatie dat
beschikbaar is om een parameter te schatten.
Dit betekent dat als het gemiddelde van de steekproef bekend is, n − 1 waarden vrij kunnen variëren.
De laatste waarde is dan automatisch bepaald om het gemiddelde te behouden.
DF = n-1
Voorbeeld:
Als je 5 getallen hebt en je weet dat hun gemiddelde 10 is, dan kun je de eerste 4 getallen vrij kiezen.
Het 5e getal ligt vast, omdat het gemiddelde 10 moet blijven.
→ Je hebt dus 5 – 1 = 4 vrijheidsgraden.
• Bij een kleine steekproef (situatie 1, groene lijn) zijn er weinig vrijheidsgraden, waardoor de t-
verdeling breder is en de kans op extreme waarden groter.
• Bij een grotere steekproef (situatie 2, oranje lijn) neemt het aantal vrijheidsgraden toe,
waardoor de t-verdeling smaller wordt en meer lijkt op de normale verdeling. De kans op
extreme waarden is kleiner.
,Deze verschillen in verdelingsvorm hebben direct invloed op de kritieke waarde. De kritieke waarde is
de grenswaarde waarboven een gemeten verschil groot genoeg is om te concluderen dat het
waarschijnlijk niet door toeval is ontstaan.
1. Bij weinig vrijheidsgraden (kleine steekproef) ligt de kritieke t-waarde hoger. Dit betekent dat
een waargenomen effect groter moet zijn om statistisch significant te zijn. Bij weinig
vrijheidsgraden is het oppervlak groter bij de staarten, de kans is dus groter dat een waarde
hierin valt. Om statistisch significant te zijn (en dus niet in de staart ligt) moet het
waargenomen effect dus groter zijn.
2. Bij veel vrijheidsgraden (grote steekproef) ligt de kritieke t-waarde lager, omdat de t-verdeling
smaller is en de kans op extreme waarden kleiner. Het waargenomen effect kan dus kleiner
zijn om statistisch significant te zijn.
Significatieniveau (alfa): het grensniveau dat bepaalt vanaf welke kans een resultaat als statistisch
significant wordt beschouwd. Meestal wordt alfa ingesteld op 0,05, wat betekent dat een resultaat
significant is als de kans dat het door toeval ontstaat kleiner is dan 5%. Hoe groter de alfa hoe meer
twijfel geaccepteerd wordt.
De kritieke waarden voor verschillende vrijheidsgraden en het gekozen alfa-niveau (significatieniveau)
zijn terug te vinden in de T-tabel:
Voorbeeld:
In een onderzoek onder 10 kinderen van groep 8, heeft elk kind bijgehouden hoeveel minuten ze per
dag achter de computer zaten. De resultaten: 125 - 58 - 15 - 235 - 156 - 88 - 166 - 210 - 142 – 52
Steekproefgemiddelde = 90,7
Steekproefstandaarddeviatie = 66,45
SE = 66,45/√10 = 21,01
Om een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde van alle groep-8 kinderen in Nederland
op te stellen, wordt bij een kleine steekproef de t-verdeling gebruikt. Voor n = 10 (vrijheidsgraden = 9)
is de kritieke t-waarde ±2,262. Het interval wordt dan μ = 90,7 ± 2,262 * 21,01 = [43.2, 138.2]
Stel dat onterecht geen rekening wordt gehouden met de kleine steekproef en de standaardnormale
verdeling (z-verdeling) wordt gebruikt. De kritieke z-waarde voor 95% betrouwbaarheidsniveau is
±1,96. Het interval wordt dan μ = 90,7 ± 1,96 • 21,01 = [58.5, 132.9]
• Zoals te zien is, maakt het gebruik van de normale verdeling bij een kleine steekproef een verschil:
het interval wordt smaller en onderschat de onzekerheid. Het interval met de t-verdeling is breder
en correcter, omdat het rekening houdt met de extra onzekerheid in de schatting van de
standaarddeviatie.
, T-toets
T-toets = een statistische toets om te bepalen of er een significant verschil is tussen de gemiddelde
van twee groepen of tussen het gemiddelde van één groep en een bekende waarde. Het wordt
gebruikt om te onderzoeken of een waargenomen verschil in gemiddelden waarschijnlijk het
resultaat is van een echt effect, en niet van willekeurige toeval.
Voordat een t-test uitvoert wordt, is het belangrijk om ervoor te zorgen dat de data aan een aantal
voorwaarden voldoet. Pas als aan alle voorwaarden is voldaan, zijn de resultaten van de t-toets
betrouwbaar en kan dus alleen dan de t-toets worden uitgevoerd.
Voorwaarden/assumpties t-toets (algemeen):
1. Determinant = dichotoom
2. Uitkomst = kwantitatief
3. Eenheden/datapunten zijn onderling onafhankelijk en zijn dus niet gegroepeerd. Dit betekend dat
de ene eenheid op geen enkele manier een andere eenheid mag beïnvloeden. (dit is wat anders
dan of de groepen gepaard zijn of niet, dit gaat om elk individu binnen een groep)
4. Normaliteit
• Als de steekproef groot genoeg is (n ≥ 30), is normaliteit niet strikt nodig vanwege de centrale
limietstelling.
• Als de steekproef klein is (n < 30), moet de verdeling van de data in de steekproef normaal
verdeeld zijn. Dit kan bepaald worden met:
o Beschrijvende statistiek (histogram).
o Is de histogram redelijk normaal verdeeld (in een
kromme), dan mag van normaliteit uitgegaan
worden.
o Een toets in SPSS: Shapiro-Wilk (Explore > Plots)
o P-P Plots (percentage – percentage): wordt gebruikt
om te onderzoeken of de waarden ‘in het midden’
(de centrale waarden van de verdeling) normaal verdeeld.
o Q-Q Plots (quantiles – quantiles): wordt gebruikt om te onderzoeken of de waarden ‘aan
de uiteinden’ (de waarden in de staarten van de verdeling) normaal verdeeld.
→ Kan via <Analyze><Descriptives><Explore> → vink onder ‘plots’ ‘normality plots with
tests’ aan
→ In de P-P plot en Q-Q plot worden geobserveerde waarden tegenover verwachte
waarden (normaal verdeelde waarden) gezet. Visueel kan vervolgens bepaald worden
hoe goed de geobserveerde waarden op de normaal verdeelde lijn valt (45 graden lijn).
biostatistiek II
Blok 1: T-toetsen en ANOVA
Theorie
In statistiek wordt vaak gebruikgemaakt van steekproeven om uitspraken te doen over een populatie.
In MTB-1 is de Z-toets aan bod gekomen. Deze toets gebruikt de standaardnormale verdeling en kan
gebruikt worden als de gemiddelde (𝜇) en variantie (SE) van de populatie bekend is.
Z = 𝑋−𝜇
𝑆𝐸
In de praktijk zijn de populatieparameters meestal onbekend. In een onderzoek wordt meestal een
steekproef gebruikt/onderzocht om uitspraken te doen over de populatie. De populatieparameters
worden hierbij dus geschat op basis van steekproefgegevens. Bij die schatting komt de nodige
onzekerheid kijken, waarmee rekening gehouden moet worden. Om deze onzekerheid correct mee te
nemen wordt gebruikgemaakt van de t-verdeling.
T-verdeling
T-verdeling (Student’s t-verdeling) = continue kansverdeling die lijkt op de normale verdeling, maar
wordt gebruikt wanneer het populatiegemiddelde wordt geschat op basis van een steekproef en
gegevens over de populatie onbekend zijn.
De t-verdeling is een symmetrische verdeling die
lijkt op de normale verdeling, maar met bredere
staarten. Dit betekent dat de t-verdeling een
lagere kansdichtheid geeft voor het centrum en
een hogere kansdichtheid voor de staarten dan
de standaard normaalverdeling. Deze bredere
staarten ontstaan wanneer de standaarddeviatie
wordt geschat uit een kleinere steekproef. Een
kleinere steekproef geeft een groter risico op
extreme waarden. De t-verdeling corrigeert dus
voor de hoeveelheid waarnemingen en dus voor
het feit dat een steekproefstandaarddeviatie
minder betrouwbaar is dan een
populatiestandaarddeviatie.
,Naarmate de steekproef groter wordt, wordt de t-verdeling steeds meer gelijk aan de normale
verdeling/z-verdeling, omdat de schatting van de standaarddeviatie dan betrouwbaarder wordt.
Populatie Populatie
Steekproef
Steekproef
Situatie 1: Situatie 2:
De steekproef is klein ten opzichte van de De steekproef is relatief groot. De schatting van
populatie. Hierdoor is de schatting van het het gemiddelde en de standaarddeviatie lijkt meer
gemiddelde en de standaarddeviatie onzeker. De op de normale verdeling, waardoor deze
t-verdeling corrigeert voor deze extra onzekerheid betrouwbaarder zijn. De extra onzekerheid is
door bredere staarten. minimaal.
De standaarddeviatie van het gemiddelde in de populatie kan geschat worden op basis van de
steekproefgegevens: 'geschatte standaardfout'.
𝜎
𝑆𝐸 =
√𝑛
• Hierbij geld: hoe groter de steekproef, hoe kleiner de standaardfout (centrale limietstelling).
Vrijheidsgraden (Degrees of freedom (DF)) = het aantal onafhankelijke stukjes informatie dat
beschikbaar is om een parameter te schatten.
Dit betekent dat als het gemiddelde van de steekproef bekend is, n − 1 waarden vrij kunnen variëren.
De laatste waarde is dan automatisch bepaald om het gemiddelde te behouden.
DF = n-1
Voorbeeld:
Als je 5 getallen hebt en je weet dat hun gemiddelde 10 is, dan kun je de eerste 4 getallen vrij kiezen.
Het 5e getal ligt vast, omdat het gemiddelde 10 moet blijven.
→ Je hebt dus 5 – 1 = 4 vrijheidsgraden.
• Bij een kleine steekproef (situatie 1, groene lijn) zijn er weinig vrijheidsgraden, waardoor de t-
verdeling breder is en de kans op extreme waarden groter.
• Bij een grotere steekproef (situatie 2, oranje lijn) neemt het aantal vrijheidsgraden toe,
waardoor de t-verdeling smaller wordt en meer lijkt op de normale verdeling. De kans op
extreme waarden is kleiner.
,Deze verschillen in verdelingsvorm hebben direct invloed op de kritieke waarde. De kritieke waarde is
de grenswaarde waarboven een gemeten verschil groot genoeg is om te concluderen dat het
waarschijnlijk niet door toeval is ontstaan.
1. Bij weinig vrijheidsgraden (kleine steekproef) ligt de kritieke t-waarde hoger. Dit betekent dat
een waargenomen effect groter moet zijn om statistisch significant te zijn. Bij weinig
vrijheidsgraden is het oppervlak groter bij de staarten, de kans is dus groter dat een waarde
hierin valt. Om statistisch significant te zijn (en dus niet in de staart ligt) moet het
waargenomen effect dus groter zijn.
2. Bij veel vrijheidsgraden (grote steekproef) ligt de kritieke t-waarde lager, omdat de t-verdeling
smaller is en de kans op extreme waarden kleiner. Het waargenomen effect kan dus kleiner
zijn om statistisch significant te zijn.
Significatieniveau (alfa): het grensniveau dat bepaalt vanaf welke kans een resultaat als statistisch
significant wordt beschouwd. Meestal wordt alfa ingesteld op 0,05, wat betekent dat een resultaat
significant is als de kans dat het door toeval ontstaat kleiner is dan 5%. Hoe groter de alfa hoe meer
twijfel geaccepteerd wordt.
De kritieke waarden voor verschillende vrijheidsgraden en het gekozen alfa-niveau (significatieniveau)
zijn terug te vinden in de T-tabel:
Voorbeeld:
In een onderzoek onder 10 kinderen van groep 8, heeft elk kind bijgehouden hoeveel minuten ze per
dag achter de computer zaten. De resultaten: 125 - 58 - 15 - 235 - 156 - 88 - 166 - 210 - 142 – 52
Steekproefgemiddelde = 90,7
Steekproefstandaarddeviatie = 66,45
SE = 66,45/√10 = 21,01
Om een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde van alle groep-8 kinderen in Nederland
op te stellen, wordt bij een kleine steekproef de t-verdeling gebruikt. Voor n = 10 (vrijheidsgraden = 9)
is de kritieke t-waarde ±2,262. Het interval wordt dan μ = 90,7 ± 2,262 * 21,01 = [43.2, 138.2]
Stel dat onterecht geen rekening wordt gehouden met de kleine steekproef en de standaardnormale
verdeling (z-verdeling) wordt gebruikt. De kritieke z-waarde voor 95% betrouwbaarheidsniveau is
±1,96. Het interval wordt dan μ = 90,7 ± 1,96 • 21,01 = [58.5, 132.9]
• Zoals te zien is, maakt het gebruik van de normale verdeling bij een kleine steekproef een verschil:
het interval wordt smaller en onderschat de onzekerheid. Het interval met de t-verdeling is breder
en correcter, omdat het rekening houdt met de extra onzekerheid in de schatting van de
standaarddeviatie.
, T-toets
T-toets = een statistische toets om te bepalen of er een significant verschil is tussen de gemiddelde
van twee groepen of tussen het gemiddelde van één groep en een bekende waarde. Het wordt
gebruikt om te onderzoeken of een waargenomen verschil in gemiddelden waarschijnlijk het
resultaat is van een echt effect, en niet van willekeurige toeval.
Voordat een t-test uitvoert wordt, is het belangrijk om ervoor te zorgen dat de data aan een aantal
voorwaarden voldoet. Pas als aan alle voorwaarden is voldaan, zijn de resultaten van de t-toets
betrouwbaar en kan dus alleen dan de t-toets worden uitgevoerd.
Voorwaarden/assumpties t-toets (algemeen):
1. Determinant = dichotoom
2. Uitkomst = kwantitatief
3. Eenheden/datapunten zijn onderling onafhankelijk en zijn dus niet gegroepeerd. Dit betekend dat
de ene eenheid op geen enkele manier een andere eenheid mag beïnvloeden. (dit is wat anders
dan of de groepen gepaard zijn of niet, dit gaat om elk individu binnen een groep)
4. Normaliteit
• Als de steekproef groot genoeg is (n ≥ 30), is normaliteit niet strikt nodig vanwege de centrale
limietstelling.
• Als de steekproef klein is (n < 30), moet de verdeling van de data in de steekproef normaal
verdeeld zijn. Dit kan bepaald worden met:
o Beschrijvende statistiek (histogram).
o Is de histogram redelijk normaal verdeeld (in een
kromme), dan mag van normaliteit uitgegaan
worden.
o Een toets in SPSS: Shapiro-Wilk (Explore > Plots)
o P-P Plots (percentage – percentage): wordt gebruikt
om te onderzoeken of de waarden ‘in het midden’
(de centrale waarden van de verdeling) normaal verdeeld.
o Q-Q Plots (quantiles – quantiles): wordt gebruikt om te onderzoeken of de waarden ‘aan
de uiteinden’ (de waarden in de staarten van de verdeling) normaal verdeeld.
→ Kan via <Analyze><Descriptives><Explore> → vink onder ‘plots’ ‘normality plots with
tests’ aan
→ In de P-P plot en Q-Q plot worden geobserveerde waarden tegenover verwachte
waarden (normaal verdeelde waarden) gezet. Visueel kan vervolgens bepaald worden
hoe goed de geobserveerde waarden op de normaal verdeelde lijn valt (45 graden lijn).
