Samenvatting & college aantekeningen Reken- wiskundedidactiek verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen - Rekenen-wiskunde

Hoofdstuk 1 – Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Verhoudingen, breuken, procenten en kommagetallen hangen sterk met
elkaar samen. Ze zien er verschillend uit, maar drukken vaak dezelfde
getalsmatige informatie uit. Bijvoorbeeld:
 1 op de 4 studenten is een jongen
 1/4 van de studenten is een jongen
 25% van de studenten is een jongen
 De verhouding is 1 : 4
Deze verschillende manieren om hetzelfde weer te geven
heten verschijningsvormen. Ook de notatie kan verschillen: een breuk
zoals 1/4 kan ook geschreven worden als 0,25 of als de verhouding 1: 4.

Het belangrijkste idee is dat al deze vormen gebaseerd zijn
op verhoudingen. Daarom vormen verhoudingen de basis voor het
begrijpen van breuken, procenten en kommagetallen.

1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Tussen de domeinen verhoudingen, breuken en procenten bestaan zowel
overeenkomsten als verschillen.
Een belangrijke overeenkomst is het relatieve aspect. Dit betekent dat de
getallen iets zeggen over een verhouding tussen een deel en een
geheel.
Bijvoorbeeld:
 Een breuk geeft de verhouding tussen deel en geheel
 Een percentage geeft de verhouding tussen deel en een geheel dat
op 100 is gesteld
Hierdoor kun je dezelfde informatie op verschillende manieren uitdrukken.
Tegelijk hebben de domeinen ook verschillende toepassingen in de realiteit.
Bijvoorbeeld:
 Kommagetallen gebruik je bij geldbedragen
 Procenten gebruik je bij kortingen en rente
 Breuken komen vaak voor bij delen van een geheel
In het dagelijks leven worden deze vormen vaak door elkaar gebruikt,
bijvoorbeeld in kranten of nieuwsberichten waar getalsmatige
informatie wordt weergegeven.

1.1.2 Absoluut en relatief
Bij het werken met verhoudingen is het belangrijk om onderscheid te maken
tussen absolute gegevens en relatieve gegevens.
Absolute gegevens verwijzen naar een daadwerkelijk aantal of
hoeveelheid.
Bijvoorbeeld:
 Er zitten 536 studenten op een pabo.

,Relatieve gegevens geven een verhouding weer, zonder het exacte aantal
te noemen.
Bijvoorbeeld:
 1 op de 4 studenten is man.
Om het werkelijke aantal mannen te berekenen, heb je beide soorten
informatie nodig. In het voorbeeld betekent 1 op de 4 van 536 dat er 134
mannen zijn.
Het onderscheid tussen absolute en relatieve gegevens is belangrijk voor
de gecijferdheid van kinderen. Zonder dit begrip kunnen kinderen
informatie uit nieuws of grafieken moeilijk interpreteren.

Het strookmodel
Om dit onderscheid duidelijk te maken wordt vaak
het strookmodel gebruikt.
Hierbij worden zowel absolute als relatieve gegevens zichtbaar gemaakt.
Bijvoorbeeld:
 Het totale aantal wordt op 100% gesteld
 Verschillende delen worden vergeleken binnen dezelfde strook
Door stroken even lang te maken, kunnen leerlingen verhoudingen beter
vergelijken.
In het begin is het belangrijk om benoemde getallen te gebruiken,
bijvoorbeeld:
 20 euro
 10 worpen raak
Dit helpt om absolute aantallen en percentages niet door elkaar te halen.

1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen moeten kinderen inzicht krijgen in de samenhang tussen
deze domeinen.
In de bovenbouw leren kinderen deze vormen ook door elkaar te
gebruiken. Dat kan lastig zijn wanneer de betekenis van breuken of
procenten nog niet goed begrepen wordt. Daarom moet de leerkracht
aandacht besteden aan betekenisverlening.

1.2.1 Begrip
Om inzicht te krijgen in de relaties tussen de verschillende domeinen moeten
leerlingen begrijpen wat bewerkingen betekenen.
Voorbeelden:
 1/5 × 10 betekent: het vijfde deel van 10 nemen
 20% is hetzelfde als 1/5 deel, omdat 100 ÷ 5 = 20
 1/5 betekent ook 1 gedeeld door 5
Door zulke verbanden te begrijpen, hoeven leerlingen minder losse regels te
onthouden en kunnen ze beter redeneren.

Breuken en kommagetallen

, Breuken en kommagetallen hebben dezelfde betekenis: ze zijn
beide gebroken getallen.
Samen met hele getallen behoren ze tot de rationele getallen. Het verschil
zit vooral in de notatie:
 Breuk: 1/2
 Kommagetal: 0,5
In de praktijk komen kommagetallen vaker voor als meetgetal, bijvoorbeeld
bij:
 Lengte
 Gewicht
 Geldbedragen
Breuken komen juist vaker voor als deel van een geheel.

Rekengetallen en ondermaten
Een lastig punt voor kinderen is dat bijvoorbeeld:
0,10 = 0,1
Dit zijn rekengetallen met dezelfde waarde. Het verschil kun je
verduidelijken met een ondermaat.
Bijvoorbeeld bij lengte:
 0,1 meter = 1 decimeter
 0,10 meter = 10 centimeter
 0,01 meter = 1 centimeter
Door met ondermaten te redeneren begrijpen kinderen waarom sommige
decimalen gelijk zijn en andere niet.

Van breuk naar kommagetal
Een breuk kan worden omgezet in een kommagetal door de breuk als
een deling te zien.
Bijvoorbeeld:
1 ÷ 7 = 0,142857142857…
Hier ontstaat een repeterende breuk: een decimaal getal waarbij een reeks
cijfers zich blijft herhalen. De herhalende reeks heet het repetendum.

Van kommagetal naar breuk
Een kommagetal kan ook weer als breuk worden geschreven.
Bij niet-repeterende decimalen gaat dit eenvoudig door het getal
als tiendelige breuk te schrijven en te vereenvoudigen.
Bij een repeterend getal wordt een speciale methode gebruikt waarbij het
getal met machten van 10 wordt vermenigvuldigd zodat de decimalen
verdwijnen.

Breuken en procenten
Een breuk kan twee betekenissen hebben:
 Een absoluut getal
 Een operator