WISKUNDE C
MODULE 1 : PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN EN VRAAGSTUKKEN (DEEL 5)
1) Klemtonen in de klas
TERMINOLOGIE
INDELING IN 3 CATEGORIEËN
Ingeklede bewerkingen, typevraagstukken en problemen
1) Ingeklede bewerkingen
Voorbeeld 1 : 50 – 37 = ….
Voorbeeld 2 : Ik koop bij Cassis een trui voor 37 euro. Ik betaal met een briefje van 50 euro. Hoeveel krijg ik terug?
• In beide oefeningen de bewerking 50 – 37 uitrekenen
• Voorbeeld 1 : opgave wordt al gegeven ; voorbeeld 2 : bewerking zelf herkennen
• Deze soort is dus gericht op het inoefenen van basisbewerkingen
• Leerlingen moeten bij een bewerking iets kunnen voorstellen : in verband brengen met een betekenisvolle
situatie (dus ze moeten zelf een rekenverhaal kunnen verzinnen)
• Leerlingen moeten bewerkingen kunnen toepassen : moeten weten wanneer een bepaalde operatie
bruikbaar is of niet (dus ze moeten vb. de bewerking 50 – 37 kunnen koppelen aan het vraagstuk)
• Begin van instructieproces worden vaak betekenisvolle situaties aangeboden => kinderen leren zich
bewerkingen voorstellen
• Toepassingen kunnen zowel start als eindpunt zijn van een leerstofgeheel
2) Typevraagstukken
Voorbeeld 1: In de mediatheek moet Dirk vandaag 30 mappen controleren. Hij heeft er al 17 gedaan. Hoeveel
moet hij er nog nakijken?
Voorbeeld 2: Op de studentenplattegrond van Gent (schaal 1 : 13.000) is de afstand in vogelvlucht tussen campus
kattenberg en de Arteveldeshop op de Kouter 7 cm. Hoeveel is deze afstand In de werkelijkheid? Druk je resultaat
uit in meter.
• Voorbeeld 1 is een directe toepassing op een basisbewerking dus => ingeklede bewerking. Als lln dot
onder de knie hebben is dit geen extra moeilijkheid als de kale bewerking 30 – 17
• Voorbeeld 2 : in een verhoudingstabel plaatsen en dan wordt het direct duidelijk
• Voorbeelden van typevraagstukken : snelheid, ongelijke verdeling, schaal, gemiddelde, interest…
3) Problemen
Voorbeeld 1 : Voor 4 havermout pannenkoeken heb je volgens het recept 100 ml sojamelk, 75 gram havermout 1
ei en 1 banaan nodig. Ik heb een blikje van 250 ml sojamelk. Hoeveel pannenkoeken kan ik hier mee maken?
1
,Voorbeeld 2 : We gaan op schoolreis naar de Zoo in Antwerpen. We willen rond 10 uur In de zoo zijn. We gaan te
voet van de school naar het station. De meester geeft een brief mee met de praktische informatie. Hij wil hier ook
opzetten wanneer de kinderen zeker op school moeten zijn die ochtend. Welke uur zal hij vermelden?
Voorbeeld 3 : En Gekkevoetenland heeft iedereen een linkervoet die één of twee maten groter is dan zijn
rechtervoet. Toch worden de schoenen er verkocht in paren van dezelfde maat. Om geld te besparen, besluit een
groep vrienden Samen schoenen aan te kopen. Iedereen neemt uit de aangekochte schoenen, twee schoenen die
hem passen. Een schoen met maat 36 en een schoen met maat 45 blijven over. Het kleinst mogelijke aantal
vrienden in deze groep is? (5 6 7 8, of, 9)
• Voorbeeld 1 : een klassiek vraagstuk, via een paar mogelijke wegen kom je sowieso tot de juiste
oplossing. Oplossingsmethode ligt voor de hand
• Voorbeeld 2 & 3 : probleemgehalte is veel groter, niet meteen duidelijk wat je moet doen
verschil klassiek vraagstuk en een probleem :
2
,SITUERING BINNEN DE MINIMUMDOELEN
• lln moeten onderscheid kunnen maken tussen een routineuze methode (bij vraagstukken) of een
heuristische methode
• lln moeten een model kunnen gebruiken vb. model van Polya (probleem begrijpen-een plan maken-plan
uitvoeren-reflectie)
SITUERING BINNEN DE METHODES
Je vindt vraagstukken en problemen vaak op twee plaatsen terug
- als inoefening bij een les rond een bepaald onderwerp
- aparte lessen
valkuilen verbonden aan uitsluitend aanbieden van toepassingen als inoefening
- niet alle lln komen aan de toepassingen (vaak als laatste van de oefeningen)=> ze lossen dus zelden
toepassingen op
- lln hoeven weinig na te denken over de te gebruiken oplossingsstrategie vb. ze hebben al hele les
geoefend op vermenigvuldigen dan ligt het voor de hand dat je in het vraagstuk ook moet
vermenigvuldigen => ze moeten niet grondig analyseren wat ze moeten doen
VERSCHILLEN TUSSEN VRAAGSTUKKEN
Aantal factoren waarin vraagstukken kunnen verschillen, die bepalen mee de moeilijkheidsgraad. Herkennen van
deze zaken is belangrijk om de moeilijkheidsgraad in te schatten en aan te passen en om voldoende variatie te
kunnen brengen.
Wiskundige structuurkenmerken
1) complexiteit van de opgave
• enkelvoudige opgaven
o 1 rekenkundige bewerking nodig om ze op te lossen
• Samengestelde vraagstukken
o 2 of meer bewerkingen nodig, meerdere problemen moeten opgelost worden
• Kettingvraagstukken
o Meerdere problemen oplossen, maar het complexe probleem is via gerichte vragen opgesplitst
in deelproblemen
o Dus een opeenvolging van enkelvoudige vraagstukken en dus een overgang naar samengestelde
vraagstukken
2) De aard van de rekenoperaties
• Enkelvoudige vraagstukken : optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen => optellen is makkelijker
voor de lln dan aftrekken en vermenigvuldigen is makkelijker dan delen
3) De aard en de grootte van de getallen
• Vraagstukken met kommagetallen moeilijker dan die met natuurlijke getallen
• Vraagstukken gaan over het ‘denken’ dus de moeilijkheid mag niet bij de getallen liggen
• Maak dus vraagstukken met niet al te moeilijke getallen
Semantische structuurkenmerken van enkelvoudige vraagstukken
Bepaalde bewerking kan in veel vraagstukken zitten
3
, Voorbeeld :
- Ik heb € 24 in mijn portefeuille. Bij de bakker koop ik een taart van € 6. Hoeveel euro heb ik nog na mijn
bezoek aan de bakker?
- Ik verdiende deze week € 24 met babysitten. Dat is € 6 meer dan mijn zus. Hoeveel verdiende mijn zus?
• In beide gevallen doe je ’24-6’.
• Eerste vraagstuk zeer duidelijk wat je moet doen
• Tweede vraagstuk ingewikkelder
Kenmerken die te maken hebben met de oppervlaktestructuur van het vraagstuk
• Lengte van het vraagstuk
o Hoe meer gegevens, hoe beter kinderen zich kunnen inleven
o Veel leeswerk kan het ook weer moeilijk maken voor de zwakke lezers
• De plaats van de vraagzin
o Kinderen verwachten die achteraan, maar kan ook vooraan staan
• De grammaticale complexiteit
o Verwijswoorden kunnen het vraagstuk moeilijker maken
• De volgorde waarin de sets van de semantische structuur worden opgenomen :
o chronologisch of niet chronologisch
• Aanwezigheid van sleutelwoorden in de tekst
o Sommige woorden kunnen je op een fout spoor zetten vb. er staat wegwaaien en toch moet je
optellen
• Aanwezigheid van overbodige gegevens
• Ontbreken van essentiële gegevens
• De vertrouwdheid met de context
o Begrippen zoals: bruto, terra, netto, kapitaal… moeten voldoende worden verkend
Factoren die te maken hebben met wat van leerlingen wordt verwacht
Vraagstukken moet je niet altijd oplossen, je kan ook:
- Vraagstuk dramatiseren
- Vraag onderstrepen en vraagzin formuleren
- Zelf een vraag bedenken
- Ontbrekende gegevens aanvullen
- Vraagstukken groeperen op basis van overeenkomsten
o Vb. vraagstukken over interest groeperen in sparen en lenen
- Juiste bewerking kiezen uit rekenoperaties
- Verklaren
o Vb. Op een parkeerplaats staan 3 Volkswagens en twee rode auto's. Toch staan er maar 4 auto's.
Hoe kan dit?
- Schematiseren
o Vb. Een slak beklimt een paal die 10 m hoog is. ‘s Nachts stijgt ze 4 m maar overdag zakt ze 2 m.
Na hoeveel nachten en dagen breekt ze de top van deze paal?
- Oplossing schatten
- Uitleggen waarom een oplossing fout is
- Zelf een vraagstuk ontwerpen
Factoren die te maken hebben met de omstandigheden waarin de taak wordt uitgevoerd
4
MODULE 1 : PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN EN VRAAGSTUKKEN (DEEL 5)
1) Klemtonen in de klas
TERMINOLOGIE
INDELING IN 3 CATEGORIEËN
Ingeklede bewerkingen, typevraagstukken en problemen
1) Ingeklede bewerkingen
Voorbeeld 1 : 50 – 37 = ….
Voorbeeld 2 : Ik koop bij Cassis een trui voor 37 euro. Ik betaal met een briefje van 50 euro. Hoeveel krijg ik terug?
• In beide oefeningen de bewerking 50 – 37 uitrekenen
• Voorbeeld 1 : opgave wordt al gegeven ; voorbeeld 2 : bewerking zelf herkennen
• Deze soort is dus gericht op het inoefenen van basisbewerkingen
• Leerlingen moeten bij een bewerking iets kunnen voorstellen : in verband brengen met een betekenisvolle
situatie (dus ze moeten zelf een rekenverhaal kunnen verzinnen)
• Leerlingen moeten bewerkingen kunnen toepassen : moeten weten wanneer een bepaalde operatie
bruikbaar is of niet (dus ze moeten vb. de bewerking 50 – 37 kunnen koppelen aan het vraagstuk)
• Begin van instructieproces worden vaak betekenisvolle situaties aangeboden => kinderen leren zich
bewerkingen voorstellen
• Toepassingen kunnen zowel start als eindpunt zijn van een leerstofgeheel
2) Typevraagstukken
Voorbeeld 1: In de mediatheek moet Dirk vandaag 30 mappen controleren. Hij heeft er al 17 gedaan. Hoeveel
moet hij er nog nakijken?
Voorbeeld 2: Op de studentenplattegrond van Gent (schaal 1 : 13.000) is de afstand in vogelvlucht tussen campus
kattenberg en de Arteveldeshop op de Kouter 7 cm. Hoeveel is deze afstand In de werkelijkheid? Druk je resultaat
uit in meter.
• Voorbeeld 1 is een directe toepassing op een basisbewerking dus => ingeklede bewerking. Als lln dot
onder de knie hebben is dit geen extra moeilijkheid als de kale bewerking 30 – 17
• Voorbeeld 2 : in een verhoudingstabel plaatsen en dan wordt het direct duidelijk
• Voorbeelden van typevraagstukken : snelheid, ongelijke verdeling, schaal, gemiddelde, interest…
3) Problemen
Voorbeeld 1 : Voor 4 havermout pannenkoeken heb je volgens het recept 100 ml sojamelk, 75 gram havermout 1
ei en 1 banaan nodig. Ik heb een blikje van 250 ml sojamelk. Hoeveel pannenkoeken kan ik hier mee maken?
1
,Voorbeeld 2 : We gaan op schoolreis naar de Zoo in Antwerpen. We willen rond 10 uur In de zoo zijn. We gaan te
voet van de school naar het station. De meester geeft een brief mee met de praktische informatie. Hij wil hier ook
opzetten wanneer de kinderen zeker op school moeten zijn die ochtend. Welke uur zal hij vermelden?
Voorbeeld 3 : En Gekkevoetenland heeft iedereen een linkervoet die één of twee maten groter is dan zijn
rechtervoet. Toch worden de schoenen er verkocht in paren van dezelfde maat. Om geld te besparen, besluit een
groep vrienden Samen schoenen aan te kopen. Iedereen neemt uit de aangekochte schoenen, twee schoenen die
hem passen. Een schoen met maat 36 en een schoen met maat 45 blijven over. Het kleinst mogelijke aantal
vrienden in deze groep is? (5 6 7 8, of, 9)
• Voorbeeld 1 : een klassiek vraagstuk, via een paar mogelijke wegen kom je sowieso tot de juiste
oplossing. Oplossingsmethode ligt voor de hand
• Voorbeeld 2 & 3 : probleemgehalte is veel groter, niet meteen duidelijk wat je moet doen
verschil klassiek vraagstuk en een probleem :
2
,SITUERING BINNEN DE MINIMUMDOELEN
• lln moeten onderscheid kunnen maken tussen een routineuze methode (bij vraagstukken) of een
heuristische methode
• lln moeten een model kunnen gebruiken vb. model van Polya (probleem begrijpen-een plan maken-plan
uitvoeren-reflectie)
SITUERING BINNEN DE METHODES
Je vindt vraagstukken en problemen vaak op twee plaatsen terug
- als inoefening bij een les rond een bepaald onderwerp
- aparte lessen
valkuilen verbonden aan uitsluitend aanbieden van toepassingen als inoefening
- niet alle lln komen aan de toepassingen (vaak als laatste van de oefeningen)=> ze lossen dus zelden
toepassingen op
- lln hoeven weinig na te denken over de te gebruiken oplossingsstrategie vb. ze hebben al hele les
geoefend op vermenigvuldigen dan ligt het voor de hand dat je in het vraagstuk ook moet
vermenigvuldigen => ze moeten niet grondig analyseren wat ze moeten doen
VERSCHILLEN TUSSEN VRAAGSTUKKEN
Aantal factoren waarin vraagstukken kunnen verschillen, die bepalen mee de moeilijkheidsgraad. Herkennen van
deze zaken is belangrijk om de moeilijkheidsgraad in te schatten en aan te passen en om voldoende variatie te
kunnen brengen.
Wiskundige structuurkenmerken
1) complexiteit van de opgave
• enkelvoudige opgaven
o 1 rekenkundige bewerking nodig om ze op te lossen
• Samengestelde vraagstukken
o 2 of meer bewerkingen nodig, meerdere problemen moeten opgelost worden
• Kettingvraagstukken
o Meerdere problemen oplossen, maar het complexe probleem is via gerichte vragen opgesplitst
in deelproblemen
o Dus een opeenvolging van enkelvoudige vraagstukken en dus een overgang naar samengestelde
vraagstukken
2) De aard van de rekenoperaties
• Enkelvoudige vraagstukken : optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen => optellen is makkelijker
voor de lln dan aftrekken en vermenigvuldigen is makkelijker dan delen
3) De aard en de grootte van de getallen
• Vraagstukken met kommagetallen moeilijker dan die met natuurlijke getallen
• Vraagstukken gaan over het ‘denken’ dus de moeilijkheid mag niet bij de getallen liggen
• Maak dus vraagstukken met niet al te moeilijke getallen
Semantische structuurkenmerken van enkelvoudige vraagstukken
Bepaalde bewerking kan in veel vraagstukken zitten
3
, Voorbeeld :
- Ik heb € 24 in mijn portefeuille. Bij de bakker koop ik een taart van € 6. Hoeveel euro heb ik nog na mijn
bezoek aan de bakker?
- Ik verdiende deze week € 24 met babysitten. Dat is € 6 meer dan mijn zus. Hoeveel verdiende mijn zus?
• In beide gevallen doe je ’24-6’.
• Eerste vraagstuk zeer duidelijk wat je moet doen
• Tweede vraagstuk ingewikkelder
Kenmerken die te maken hebben met de oppervlaktestructuur van het vraagstuk
• Lengte van het vraagstuk
o Hoe meer gegevens, hoe beter kinderen zich kunnen inleven
o Veel leeswerk kan het ook weer moeilijk maken voor de zwakke lezers
• De plaats van de vraagzin
o Kinderen verwachten die achteraan, maar kan ook vooraan staan
• De grammaticale complexiteit
o Verwijswoorden kunnen het vraagstuk moeilijker maken
• De volgorde waarin de sets van de semantische structuur worden opgenomen :
o chronologisch of niet chronologisch
• Aanwezigheid van sleutelwoorden in de tekst
o Sommige woorden kunnen je op een fout spoor zetten vb. er staat wegwaaien en toch moet je
optellen
• Aanwezigheid van overbodige gegevens
• Ontbreken van essentiële gegevens
• De vertrouwdheid met de context
o Begrippen zoals: bruto, terra, netto, kapitaal… moeten voldoende worden verkend
Factoren die te maken hebben met wat van leerlingen wordt verwacht
Vraagstukken moet je niet altijd oplossen, je kan ook:
- Vraagstuk dramatiseren
- Vraag onderstrepen en vraagzin formuleren
- Zelf een vraag bedenken
- Ontbrekende gegevens aanvullen
- Vraagstukken groeperen op basis van overeenkomsten
o Vb. vraagstukken over interest groeperen in sparen en lenen
- Juiste bewerking kiezen uit rekenoperaties
- Verklaren
o Vb. Op een parkeerplaats staan 3 Volkswagens en twee rode auto's. Toch staan er maar 4 auto's.
Hoe kan dit?
- Schematiseren
o Vb. Een slak beklimt een paal die 10 m hoog is. ‘s Nachts stijgt ze 4 m maar overdag zakt ze 2 m.
Na hoeveel nachten en dagen breekt ze de top van deze paal?
- Oplossing schatten
- Uitleggen waarom een oplossing fout is
- Zelf een vraagstuk ontwerpen
Factoren die te maken hebben met de omstandigheden waarin de taak wordt uitgevoerd
4
