Voorkennis
𝑉𝑡 −𝑉𝑡
1 0
Het rendement kan berekend worden met: (%)𝑟𝑡 = (× 100%).
𝑡
0, 1
𝑉𝑡
0
Stel dat een investering van $1000 1 jaar later $1025 waard is, dan is het rendement 2,5%:
($1025−$1000)
(%)𝑟𝑡 = (× 100%) = 0,025 (× 100%) = 2,5%.
𝑡
0, 2
$1000
Compounding (samengestelde interest/rente-op-rente) is het proces waarbij rendement of winst
uit een investering wordt herbelegd om extra rendement te genereren over zowel de
oorspronkelijke inleg als de eerder gemaakte winst.
𝑛
Je berekent het bedrag na n termijnen met (1 + 𝑟) × 𝑉0 = 𝑉𝑛. In deze formule is 𝑉0 het bedrag
dat men investeert op tijdstip 0 en 𝑉𝑛 het bedrag dat men ontvangt na n perioden beleggen; r is de
rentevoet die hier als constant wordt beschouwd (r = rentevoet, discount rate, hurdle rate,
opportunity cost of capital, cost of capital).
𝑉𝑡 −𝑉𝑡
𝑛 0
De rente bereken je (na n perioden) met (%)𝑟𝑡 = (× 100%).
𝑡
0, 𝑛
𝑉𝑡
0
Van toekomstige waarde (TW) naar contante waarde (CW)
Je kunt de toekomstige waarde van geld verdisconteren naar de huidige waarde. Je berekent dan
de contante waarde (CW), waarbij je dus de toekomstige waarde (TW) deelt door een rentefactor:
𝑇𝑊𝑛
CW = 𝑛 . Hier is r de disconteringsvoet of rentevoet en n het aantal perioden. Stel je krijgt
(1+𝑟)
$1000 over 2 jaar met een rentevoet van 3% (TW = $1000, n = 2 en r = 3%), dan kun je de dit
$1000
verdisconteren: 2 ≈ $942,60. Dat betekent dat de contante waarde zo’n $942,60 is. In het
(1+0,03)
Engels gaat dit om present value (PV) en future value (FV).
Van contante waarde (CW) naar toekomstige waarde (TW)
Je kunt ook de toekomstige waarde van een bedrag bepalen met behulp van de huide waarde:
𝑛 𝑡
𝑇𝑊𝑛 = CW(1 + r) of ook te schrijven als 𝑉𝑡 = 𝑉0(1 + r) na t perioden. Merk op dat we de
formule gewoon herschrijven met behulp van algebra.
Merk ook op dat de contante waarde (𝑉0) hoger zal zijn als de toekomstige waarde (𝑉𝑡) groter is
𝑉𝑡
in 𝑉0 = 𝑡 . Anderzijds geldt dat de contante waarde lager zal zijn bij een grotere rentevoet
(1+𝑟)
(r) en een groter aantal perioden (t). De rentevoet (r) staat ook voor opportuniteitskosten (of
,alternatieve kosten) en zijn de potentiële voordelen, inkomsten of winst die een individu of
bedrijf misloopt door te kiezen voor één actie in plaats van de op één na beste optie (zoals het
verkiezen van een gegarandeerde vergoeding boven een investering). Dit is hoe het werkt:
- Rentevoet als alternatief: De r (rentevoet) in de formule staat voor het rendement dat
je had kunnen krijgen als je het geld ergens anders had geïnvesteerd (bijvoorbeeld op een
spaarrekening of in aandelen).
- Opoffering: Als je kiest voor een project dat over t jaar een bedrag 𝑉1 oplevert, offer je de
mogelijkheid op om datzelfde geld vandaag direct tegen rente r weg te zetten.
𝑡
- Tijdswaarde van geld: De formule deelt 𝑉1 door (1 + r) om de misgelopen rente (de
opportunity cost) eruit te filteren. Wat overblijft (𝑉0), is wat het bedrag uit de toekomst
vandaag echt waard is, rekening houdend met wat je in de tussentijd elders had kunnen
verdienen.
- Kortom: Hoe hoger de opportunity cost (de rente r die je elders misloopt), hoe lager de
contante waarde (𝑉0) van je toekomstige bedrag wordt.
Je kunt deze rentevoet bijvoorbeeld vergelijken met de risicovrije rentevoet (riskless rate of
return), ofwel de rentevoet op een investering of bedrag die je gegarandeerd is (vandaar
risicovrij). Deze rentevoet fluctueert dus niet. Door beide investeringen te verdisconteren kom je
erachter welke investering gunstiger is (in termen van contante waarde).
Je kunt ditzelfde principe eveneens gebruiken voor meerdere cashflows, wanneer je deze
verdisconteert naar contante waarde.
De netto contante waarde (NCW) (net present value) wordt berekend met: NPV = PV −
𝑉1
investering = 𝑉0 + (1+𝑟) . Je ziet dat dit simpelweg het verschil is tussen de contante waarde en
de investering. De Net Present Value (NPV) is een financiële maatstaf die de winstgevendheid
van een investering bepaalt door de som van alle toekomstige kasstromen (inkomsten en
uitgaven) terug te rekenen naar de huidige waarde, minus de initiële investering. Een positieve
NCW duidt op een financieel aantrekkelijk project.
Samengestelde interest, vaak "rente-op-rente" genoemd, is het proces waarbij je rente ontvangt
over zowel je oorspronkelijke inleg als over de eerder opgebouwde rente. Hierdoor groeit je
kapitaal exponentieel in de loop van de tijd.
,Definities op een rijtje:
(FV / TW) Future value (toekomstige waarde / eindwaarde): Dit is de waarde van een
bedrag in de toekomst, over n perioden. Denk aan de waarde van een investering of een bedrag
dat je gegarandeerd ontvangt.
𝑡
FV = PV × (1 + r) met t perioden
(PV / CW) Present value (contante waarde): Dit is het verdisconteerde bedrag van de
toekomstige waarde. Stel je ontvangt over n perioden een bedrag 𝑉1, dan kun je dit
verdisconteren tegen de rentevoet om uiteindelijk de waarde van dit bedrag te bekijken op dit
moment: ofwel de present value.
𝑡
PV = FV / (1 + r) met t perioden
(NPV / NCW) Net present value (netto contante waarde): De Net Present Value (NPV) is
een financiële maatstaf die de winstgevendheid van een investering bepaalt door de som van alle
toekomstige kasstromen (inkomsten en uitgaven) terug te rekenen naar de huidige waarde,
minus de initiële investering. Een positieve NCW duidt op een financieel aantrekkelijk project.
𝐶1
NPV = PV − investering = 𝐶0 + (1+𝑟)
‘A dollar today is worth more than a dollar tomorrow’: De eerste reden waarom kasstromen
worden verdisconteerd. Het geld van vandaag kan worden geïnvesteerd en daarover kan rente
worden verdiend en dus is een dollar vandaag meer waard dan een dollar morgen. Ook doordat
geld en dus investeringen minder waard worden in de toekomst, is de waarde van een dollar
vandaag meer dan morgen.
‘A safe dollar is worth more than a risky dollar’: De tweede reden waarom kasstromen
worden verdisconteerd. Dit principe stelt dat beleggers meer waarde hechten aan zekerheid. Voor
een risicovolle dollar eis je een hogere disconteringsvoet r (risicopremie), waardoor de huidige
waarde (PV) lager uitvalt dan die van een gegarandeerde dollar.
𝑡
PV = FV / (1 + r) dit blijkt uit de formule hiernaast als r of t groter zijn, dan
is de contante waarde lager.
Compound interest (samengestelde interest): Samengestelde interest, vaak "rente-op-rente"
genoemd, is het proces waarbij je rente ontvangt over zowel je oorspronkelijke inleg als over de
, eerder opgebouwde rente. Hierdoor groeit je kapitaal exponentieel in de loop van de tijd.
Discount factor (disconteringsfactor): Een getal (kleiner dan 1) waarmee je een toekomstig
1
bedrag vermenigvuldigt om de contante waarde (PV) te berekenen, ofwel 𝑡 . Het wordt
(1+𝑟)
gebruikt om de contante waarde van een dollar te berekenen aan het einde van jaar t.
1
𝐷𝐹𝑡 = 𝑡 met t perioden
(1+𝑟)
Disconteringvoet / disconteringspercentage: De rentevoet (r) die wordt gebruikt om
toekomstige kasstromen terug te rekenen naar het heden. Het weerspiegelt de tijdswaarde van
geld en het risico van de kasstromen.
Opportunity cost of capital (o.c.o.c.): De kapitaalkosten of opportuniteitskosten. Het
rendement dat je misloopt door je geld in dit project te steken in plaats van in een vergelijkbaar
alternatief met hetzelfde risico.
Rate of return (rendement): De winst op een investering over een bepaalde periode,
uitgedrukt als percentage van de inleg. De formule is: ((opbrengst - investering) / investering) x
100%.
(𝑜𝑝𝑏𝑟𝑒𝑛𝑔𝑠𝑡−𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔)
Rendement = 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔
× 100%
Perpetuïteit: Een reeks gelijke kasstromen die voor altijd doorgaat (oneindig). De waarde
bereken je simpelweg als PV = C / r, met C als jaarlijkse cashflows.
𝐶
PV van perpetuïteit = 𝑟 met C als jaarlijkse cashflows (bij elkaar) en r als
vaste rentevoet
Annuïteit en annuïteitenfactor: Annuïteit is een reeks van gelijke betalingen gedurende een
vaste periode (bijv. een hypotheek). De annuïteitenfactor is een handig getal/formule waarmee je
de contante waarde van al die toekomstige betalingen in één keer berekent, in plaats van elk jaar
apart te disconteren.
PV van een t-jarige annuïteit = C⎢⎡ 𝑟 − ⎤
1 1
𝑡 ⎥ met r als rentevoet en t jaren
⎣ 𝑟(1+𝑟) ⎦
Fundamentele verschil annuïteit en perpetuïteit:
Een annuïteit is een financiële kasstroom waarbij gedurende een vastgestelde, eindige periode
telkens een gelijk bedrag wordt ontvangen of betaald, bijvoorbeeld €100 per jaar gedurende vijf
𝑉𝑡 −𝑉𝑡
1 0
Het rendement kan berekend worden met: (%)𝑟𝑡 = (× 100%).
𝑡
0, 1
𝑉𝑡
0
Stel dat een investering van $1000 1 jaar later $1025 waard is, dan is het rendement 2,5%:
($1025−$1000)
(%)𝑟𝑡 = (× 100%) = 0,025 (× 100%) = 2,5%.
𝑡
0, 2
$1000
Compounding (samengestelde interest/rente-op-rente) is het proces waarbij rendement of winst
uit een investering wordt herbelegd om extra rendement te genereren over zowel de
oorspronkelijke inleg als de eerder gemaakte winst.
𝑛
Je berekent het bedrag na n termijnen met (1 + 𝑟) × 𝑉0 = 𝑉𝑛. In deze formule is 𝑉0 het bedrag
dat men investeert op tijdstip 0 en 𝑉𝑛 het bedrag dat men ontvangt na n perioden beleggen; r is de
rentevoet die hier als constant wordt beschouwd (r = rentevoet, discount rate, hurdle rate,
opportunity cost of capital, cost of capital).
𝑉𝑡 −𝑉𝑡
𝑛 0
De rente bereken je (na n perioden) met (%)𝑟𝑡 = (× 100%).
𝑡
0, 𝑛
𝑉𝑡
0
Van toekomstige waarde (TW) naar contante waarde (CW)
Je kunt de toekomstige waarde van geld verdisconteren naar de huidige waarde. Je berekent dan
de contante waarde (CW), waarbij je dus de toekomstige waarde (TW) deelt door een rentefactor:
𝑇𝑊𝑛
CW = 𝑛 . Hier is r de disconteringsvoet of rentevoet en n het aantal perioden. Stel je krijgt
(1+𝑟)
$1000 over 2 jaar met een rentevoet van 3% (TW = $1000, n = 2 en r = 3%), dan kun je de dit
$1000
verdisconteren: 2 ≈ $942,60. Dat betekent dat de contante waarde zo’n $942,60 is. In het
(1+0,03)
Engels gaat dit om present value (PV) en future value (FV).
Van contante waarde (CW) naar toekomstige waarde (TW)
Je kunt ook de toekomstige waarde van een bedrag bepalen met behulp van de huide waarde:
𝑛 𝑡
𝑇𝑊𝑛 = CW(1 + r) of ook te schrijven als 𝑉𝑡 = 𝑉0(1 + r) na t perioden. Merk op dat we de
formule gewoon herschrijven met behulp van algebra.
Merk ook op dat de contante waarde (𝑉0) hoger zal zijn als de toekomstige waarde (𝑉𝑡) groter is
𝑉𝑡
in 𝑉0 = 𝑡 . Anderzijds geldt dat de contante waarde lager zal zijn bij een grotere rentevoet
(1+𝑟)
(r) en een groter aantal perioden (t). De rentevoet (r) staat ook voor opportuniteitskosten (of
,alternatieve kosten) en zijn de potentiële voordelen, inkomsten of winst die een individu of
bedrijf misloopt door te kiezen voor één actie in plaats van de op één na beste optie (zoals het
verkiezen van een gegarandeerde vergoeding boven een investering). Dit is hoe het werkt:
- Rentevoet als alternatief: De r (rentevoet) in de formule staat voor het rendement dat
je had kunnen krijgen als je het geld ergens anders had geïnvesteerd (bijvoorbeeld op een
spaarrekening of in aandelen).
- Opoffering: Als je kiest voor een project dat over t jaar een bedrag 𝑉1 oplevert, offer je de
mogelijkheid op om datzelfde geld vandaag direct tegen rente r weg te zetten.
𝑡
- Tijdswaarde van geld: De formule deelt 𝑉1 door (1 + r) om de misgelopen rente (de
opportunity cost) eruit te filteren. Wat overblijft (𝑉0), is wat het bedrag uit de toekomst
vandaag echt waard is, rekening houdend met wat je in de tussentijd elders had kunnen
verdienen.
- Kortom: Hoe hoger de opportunity cost (de rente r die je elders misloopt), hoe lager de
contante waarde (𝑉0) van je toekomstige bedrag wordt.
Je kunt deze rentevoet bijvoorbeeld vergelijken met de risicovrije rentevoet (riskless rate of
return), ofwel de rentevoet op een investering of bedrag die je gegarandeerd is (vandaar
risicovrij). Deze rentevoet fluctueert dus niet. Door beide investeringen te verdisconteren kom je
erachter welke investering gunstiger is (in termen van contante waarde).
Je kunt ditzelfde principe eveneens gebruiken voor meerdere cashflows, wanneer je deze
verdisconteert naar contante waarde.
De netto contante waarde (NCW) (net present value) wordt berekend met: NPV = PV −
𝑉1
investering = 𝑉0 + (1+𝑟) . Je ziet dat dit simpelweg het verschil is tussen de contante waarde en
de investering. De Net Present Value (NPV) is een financiële maatstaf die de winstgevendheid
van een investering bepaalt door de som van alle toekomstige kasstromen (inkomsten en
uitgaven) terug te rekenen naar de huidige waarde, minus de initiële investering. Een positieve
NCW duidt op een financieel aantrekkelijk project.
Samengestelde interest, vaak "rente-op-rente" genoemd, is het proces waarbij je rente ontvangt
over zowel je oorspronkelijke inleg als over de eerder opgebouwde rente. Hierdoor groeit je
kapitaal exponentieel in de loop van de tijd.
,Definities op een rijtje:
(FV / TW) Future value (toekomstige waarde / eindwaarde): Dit is de waarde van een
bedrag in de toekomst, over n perioden. Denk aan de waarde van een investering of een bedrag
dat je gegarandeerd ontvangt.
𝑡
FV = PV × (1 + r) met t perioden
(PV / CW) Present value (contante waarde): Dit is het verdisconteerde bedrag van de
toekomstige waarde. Stel je ontvangt over n perioden een bedrag 𝑉1, dan kun je dit
verdisconteren tegen de rentevoet om uiteindelijk de waarde van dit bedrag te bekijken op dit
moment: ofwel de present value.
𝑡
PV = FV / (1 + r) met t perioden
(NPV / NCW) Net present value (netto contante waarde): De Net Present Value (NPV) is
een financiële maatstaf die de winstgevendheid van een investering bepaalt door de som van alle
toekomstige kasstromen (inkomsten en uitgaven) terug te rekenen naar de huidige waarde,
minus de initiële investering. Een positieve NCW duidt op een financieel aantrekkelijk project.
𝐶1
NPV = PV − investering = 𝐶0 + (1+𝑟)
‘A dollar today is worth more than a dollar tomorrow’: De eerste reden waarom kasstromen
worden verdisconteerd. Het geld van vandaag kan worden geïnvesteerd en daarover kan rente
worden verdiend en dus is een dollar vandaag meer waard dan een dollar morgen. Ook doordat
geld en dus investeringen minder waard worden in de toekomst, is de waarde van een dollar
vandaag meer dan morgen.
‘A safe dollar is worth more than a risky dollar’: De tweede reden waarom kasstromen
worden verdisconteerd. Dit principe stelt dat beleggers meer waarde hechten aan zekerheid. Voor
een risicovolle dollar eis je een hogere disconteringsvoet r (risicopremie), waardoor de huidige
waarde (PV) lager uitvalt dan die van een gegarandeerde dollar.
𝑡
PV = FV / (1 + r) dit blijkt uit de formule hiernaast als r of t groter zijn, dan
is de contante waarde lager.
Compound interest (samengestelde interest): Samengestelde interest, vaak "rente-op-rente"
genoemd, is het proces waarbij je rente ontvangt over zowel je oorspronkelijke inleg als over de
, eerder opgebouwde rente. Hierdoor groeit je kapitaal exponentieel in de loop van de tijd.
Discount factor (disconteringsfactor): Een getal (kleiner dan 1) waarmee je een toekomstig
1
bedrag vermenigvuldigt om de contante waarde (PV) te berekenen, ofwel 𝑡 . Het wordt
(1+𝑟)
gebruikt om de contante waarde van een dollar te berekenen aan het einde van jaar t.
1
𝐷𝐹𝑡 = 𝑡 met t perioden
(1+𝑟)
Disconteringvoet / disconteringspercentage: De rentevoet (r) die wordt gebruikt om
toekomstige kasstromen terug te rekenen naar het heden. Het weerspiegelt de tijdswaarde van
geld en het risico van de kasstromen.
Opportunity cost of capital (o.c.o.c.): De kapitaalkosten of opportuniteitskosten. Het
rendement dat je misloopt door je geld in dit project te steken in plaats van in een vergelijkbaar
alternatief met hetzelfde risico.
Rate of return (rendement): De winst op een investering over een bepaalde periode,
uitgedrukt als percentage van de inleg. De formule is: ((opbrengst - investering) / investering) x
100%.
(𝑜𝑝𝑏𝑟𝑒𝑛𝑔𝑠𝑡−𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔)
Rendement = 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔
× 100%
Perpetuïteit: Een reeks gelijke kasstromen die voor altijd doorgaat (oneindig). De waarde
bereken je simpelweg als PV = C / r, met C als jaarlijkse cashflows.
𝐶
PV van perpetuïteit = 𝑟 met C als jaarlijkse cashflows (bij elkaar) en r als
vaste rentevoet
Annuïteit en annuïteitenfactor: Annuïteit is een reeks van gelijke betalingen gedurende een
vaste periode (bijv. een hypotheek). De annuïteitenfactor is een handig getal/formule waarmee je
de contante waarde van al die toekomstige betalingen in één keer berekent, in plaats van elk jaar
apart te disconteren.
PV van een t-jarige annuïteit = C⎢⎡ 𝑟 − ⎤
1 1
𝑡 ⎥ met r als rentevoet en t jaren
⎣ 𝑟(1+𝑟) ⎦
Fundamentele verschil annuïteit en perpetuïteit:
Een annuïteit is een financiële kasstroom waarbij gedurende een vastgestelde, eindige periode
telkens een gelijk bedrag wordt ontvangen of betaald, bijvoorbeeld €100 per jaar gedurende vijf
