Samenvatting Algemene Natuurkunde: Afleidingen en toepassingen

Natuurkunde: a eidingen en toepassingen
Druk in een fluida (ρ = cte)
De druk op diepte h, is het gevolg van het gewicht van het
fluïdum erboven:
F
P=
A
F = mg = (ρV )g = ρAhg
⇒ P = ρgh


Druk in een fluida (ρ is veranderlijk)
dF = g(dm) = ρgdV = ρgA dy (y vanaf bodem)
dF = PA − (P + dP)A
Er is evenwicht als:
dP
dF = dF ⇒ dP = − ρgdy ⇔ = − ρg (hoe hoger
dy
in de vloeistof, hoe lager de druk)
Het drukverschil tussen twee punten wordt dan gegeven door:
P2 y2

∫P ∫y
dP = − g ρ(y)dy
1 1
y2

∫y
P2 − P1 = − g ρ(y)dy
1

Voor een vloeistof is ρ(y) ct. ⇒ P2 − P1 = − ρg(y2 − y1), voor een gas is dit niet zo.

Drukverandering in de atmosfeer
ρ(y) kan bepaald worden door metingen of door een theoretische veronderstelling te maken.
Voor de atmosfeer gebruiken we de ideale gaswet en nemen we aan dat de temperatuur constant
is.
R
P=ρ T
m
dP = − gρ(y)dy
We nemen dus aan dat:
ρ(y) P(y)
= (want IG met T ct.)
ρ0 P0
kg
Met P0 en ρ0 de druk en dichtheid op zeeniveau (P0 = 1,013 ∙ 105Pa en ρ0 = 1,29 )
m3


1

, ( P0 )
ρ
dP = − gP 0 dy

P
ρ0 y
( P0 ) ( P0 )
dP ρ0 dP P ρ
∫P P P0 ∫0
⇔ =−g dy ⇒ = − g dy ⇒ ln = − 0 gy
P 0
P0
−( P0 )y
ρ0 g
⇔ P = P0 ∙ e
Slechts een benadering want in werkelijkheid is de temperatuur in de atmosfeer variabel.
Principe van Pascal
De druk op gelijke hoogte in dezelfde
vloeistof is gelijk.
Pout = Pin
F F
⇔ out = in
Aout Ain
A
⇔ Fout = out Fin
Ain

Wet van Archimedes
Bekijk een denkbeeldig cilindertje vloeistof. De zwaartekracht op
de cilinder is: FG = − ρF gA(h2 − h1)
Vermits de druk onderaan groter is dan bovenaan, is er een
netto kracht FB naar boven (opwaartse stuwkracht):
FB = F2 − F1 = ρF gA(h2 − h1)
⇔ FB = ρF gA ∆ h
⇔ FB = ρF gV
⇔ FB = mF g
Stel nu een cilinder met dichtheid ρ: FG = − ρgV = − mg
⇒ Elk ondergedompeld voorwerp ondervindt een opwaartse
stuwkracht gelijk aan het gewicht van de verplaatste vloeistof.



Continuïteitsvergelijking
Het massadebiet is constant want er gaat evenveel
massa in als uit de stroming:
∆ m1 ρ ∆ V1 ρ A ∆ l1
= 1 = 1 1 = ρ1 A1v1
∆t ∆t ∆t
Er gaat geen vloeistof verloren dus:
∆ m1 ∆ m2
= of nog: ρ1 A1v1 = ρ2 A2 v2
∆t ∆t
⇒ ρAv = cte
2

,En als ρ
= cte:
⇒ Av = cte

Wet van Bernoulli
W1 = F1 ∆ l1 = P1 A1Δl1
W2 = − F2 ∆ l2 = −P2 A2Δl2
W3 = − mg(y2 − y1)
W = W1 + W2 + W3 = P1 A1Δl1−P2 A2Δl2 − mg(y2 − y1)
Arbeid-energie principe:
1
W= m(v22 − v12)
2
Sinds m = ρA ∆ l en A1 ∆ l1 = A2 ∆ l2
1 1
P1 + ρv²1 + ρgy1 = P2 + ρv²2 + ρgy2
2 2
1
⇒ P + ρv 2 + ρgy = cte
2

Wet van Poiseuille
Kracht Fuit uitgeoefend op de vloeistof (~drukverschil
links-rechts) en wrijvingskracht Fvisc als gevolg van de
viscositeit van de vloeistof zijn:

Fuit = ΔP πr ² (ΔP = P1 − P2)
dv
Fvisc = η (2π rl) , met 2π rl het mantelopp. en
dr
dv
de snelheidsgradiënt (dr want radiaal)
dr
Bij evenwicht geldt dan: Fuit
+ Fvisc = 0 of dus:
dv dv ΔP
ΔP πr 2 = − η (2π rl) of nog: = − r
dr dr 2ηl
= differentiaalvgl op te lossen naar v(r)

Opm: we nemen aan dat v = 0 als r = R (adhesie buis-
vloeistof)
0 R
ΔP
∫v ∫r
dv = − r dr en dus:
2ηl
ΔP 2
v(r) = (R − r 2) = parabolisch snelheidsprofiel
4ηl

3

, Stel nu het volumedebiet voor uniforme snelheid gelijk aan
Al Avt
Q= = = Av (volume gedeeld door tijd), hieruit volgt dat voor
t t

∫
een niet-uniforme snelheid Q gegeven is door: Q = v(r) d A
met d A = r dr dθ en dus:
2π R

∫0 ∫0
Q= dθ v(r) r dr

R
ΔP π ΔP R 2 πR 4(P1 − P2)
∫0 4ηl ( 2ηl ∫0
Q= R − r ) 2πr dr =
2 2
(R − r )r dr =
2
8ηl


Harmonische trilling
Kracht F uitgeoefend door een veer op een voorwerp:
F = − k x (Wet van Hooke)
F = m a (Wet van Newton)
d2x
⇒ m 2 + k x = 0, 2e orde diffvgl, voorstel: x(t) = e λt, λ
dt
complex
⇒ x(t) = A cos(ωt + ϕ)
⇒ v(t) = − Aωsin(ωt + ϕ)
⇒ a(t) = − Aω 2cos(ωt + ϕ)
Waarbij A en ϕ worden bepaald uit de beginvoorwaarden.
k 2π
ω= = 2π f = (vul a(t) in in diffvgl 
m T

(m )
k
− ω2 = 0 )

1 k m
f = en T = 2π
2π m k


Energie in een harmonische trilling
E = Ep + Ek
1
Ek = mv2
2
1
∫ ∫
Ep = − F(x)d x = k xd x = k x 2
2

4