Samenvatting wiskunde D - Getal en ruimte vwo

Wiskunde D
Levende statistiek, UAM en Hoofdstuk 8


Hoofdstuk 8
→ → →
d(A, B) = |𝐴𝐵| = | 𝑏 − 𝑎 |
→ 1 → →
Voor het midden M van het lijnstuk AB geldt: 𝑚 = 2
(𝑎 + 𝑏)
→ → 𝑎1 𝑏1
inproduct: 𝑎 • 𝑏 = ( 𝑎2
)· ( 𝑏2
) = a1 · b1 + a2 · b2
→ →
→ → → → 𝑎 • 𝑏
Voor de hoek tussen de vectoren 𝑎 en 𝑏 geldt: cos(∠(𝑎, 𝑏)) = → →
|𝑎| · |𝑏|
𝑥 → → →
Een vectorvoorstelling van de lijn l door de punten A en B: l: ( 𝑦
) = 𝑎 + λ( 𝑏 − 𝑎 )
||𝑟→ • 𝑟→ ||
→ →| 𝑘 𝑙|
Voor de hoek tussen de k en l geldt: cos(∠(𝑘, l)) = | cos(∠(𝑟𝑘, 𝑟𝑙) | = | → | | → |
||𝑟𝑘|| · ||𝑟𝑙||

-​ Hoek is < 90°, anders 180°-hoek

Vectoren in 3D
Oxyz-assenstelsel
-​ Oxy-vlak: horizontale vlak waarin x-as en y-as liggen
-​ Coördinaatvlakken: Oxy, Oxz en Oyz-vlak
→ → →
Voor vectoren in 3d gelden dezelfde regels voor inproduct, |𝑎| en cos(∠(𝑎, 𝑏))

𝑥 𝑦 𝑧
Vergelijking van het vlak V door de punten P(p, 0, 0), Q(0, q, 0) en R(0, 0, r): V: 𝑝
+ 𝑞
+ 𝑟
=1
→
De vector 𝑛V = (a b c) is normaalvector van het vlak V: ax + by + cz = d




→ → → →
De vector 𝑎 × 𝑏 staat loodrecht op 𝑎 en loodrecht op 𝑏
Een vector die evenwijdig is met vlak V, is een richtingsvector van V

Snijdt de lijn k het vlak V in het punt P en is n een normaal van V door P dan is
∠(𝑘, V)° = 90 - ∠(𝑘, n)

Stappenplan: het berekenen van de hoek tusesn een lijn k en een vlak V
→ →
1.​ Bereken een richtingsvector 𝑟k van k en een normaalvector 𝑛V van V
2.​ Bereken ∠(k, n) waarbij n een normaal van V is
3.​ Bereken ∠(𝑘, V)° = 90 - ∠(𝑘, n)

, De hoek tussen de vlakken V en W is de hoek tussen een normaal van V en een normaal van W

Stappenplan: het berekenen van de afstand van een punt P tot lijn l
1.​ Breng door P het vlak V aan dat loodrecht op l staat
2.​ Bereken de coordinaten van het snijpunt S van V en l
3.​ Bereken d(P, l) = d(P, S)

De afstand van het punt P tot het vlak V: ax + by + cz = d is
|𝑎𝑥𝑃+𝑏𝑦𝑃+𝑐𝑧𝑃− 𝑑 |
d(P, V) =
2 2 2
𝑎 +𝑏 𝑐

Stappenplan: het berekenen van de afstand tussen de kruisende lijnen l en m
1.​ Stel een vergelijking op van het vlak V door m dat evenwijdig is met l
→ → →
-​ Gebruik 𝑛V = 𝑟l × 𝑟m en een punt op m
2.​ Neem een punt P op l en bereken d(P, V) met de afstandsformule
-​ Er geldt d(l, m) = d(P, V)

Uitbreiding Analytische Meetkunde in de Ruimte: BOLLEN
BOL
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2
met M(a, b, c) en straal r
-​ bol met middelpunt M en straal r: verzameling van punten P waarvoor geldt d(M, P) = r

Onderliggende ligging van bol en vlak
d(M,V) = MM’
-​ M’ - loodrecht projectie van M op V

d(M,V) > r​ B en V snijden elkaar niet.
d(M,V) = r​ B en V raken elkaar in M’.
d(M,V) < r​ B en V snijden elkaar volgens een cirkel met middelpunt M’

Stappenplan: Onderzoek naar onderlinge ligging tussen bol en vlak
B: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2 en V: dx + ey + fz = g
1.​ Bereken middelpunt M en straal r van de bol
2.​ Bereken d(M,V)
3.​ Vergelijk d(M,V) en r en vind de onderlinge ligging
→ → →
4.​ 𝑀𝑀' is een normaalvector van V, dus 𝑀𝑀' = λ (d e f ), dus | 𝑀𝑀' | = | λ | |(d e f )| = d(M,V)
a.​ Dus λ = ± …
→ → →
5.​ 𝑂𝑀' = 𝑂𝑀 + 𝑀𝑀' = (a b c) ± λ (d e f ) = (M’optie1) of (M’optie2)
6.​ (M’optie1) ligt wel in V en (M’optie2) niet, dus (M’optie1) is het raakpunt van bol en vlak /
middelpunt van de snijcirkel