Notas sobre Límites de funciones
Análisis I (Código 10022)
Una introducción al estudio del límite de funciones
Es muy probable que en los cursos anteriores que han tenido de Matemática hayan mencionado,
aunque no necesariamente estudiado, el concepto de “límite de una función”. Este concepto tiene
una apariencia muy amigable, y resulta ser una noción que parece ser muy clara desde una mirada
intuitiva. No obstante, es un tema de central importancia en la Matemática y se constituye en uno de
los temas que, de alguna manera, tiene mayor complejidad, ya sea desde su definición formal como
de su aplicación y cálculo desde la mirada teórica. Pese a esa característica, intentaremos a lo largo
de este curso, poder desarrollar el tratamiento del tema desde una óptica que no resulte compleja
para su estudio.
La idea de estas notas, es introducir el tema desde una mirada “intuitiva”, tratando de rescatar qué
es lo que se interpreta, aunque sin ninguna definición aún, del límite en un punto de una función,
cuando ésta está definida por un gráfico.
Para eso, proponemos, en un primer momento, cuatro gráficos de funciones, cada una con una
particularidad que la diferencia de las otras. Son los siguientes:
1) 2)
y y
f f
2 2
4 x 4 x
¿4 ∈ Dom(f)? ¿∃f(4)? ¿4 ∈ Dom(f)? ¿∃f(4)?
lim .……. lim .…….
3) 4)
y y
f
f
3
2 3
2
4 x
4 x
¿4 ∈ Dom(f)? ¿∃f(4)? ¿4 ∈ Dom(f)? ¿∃f(4)?
lim .……. lim .…….
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Análisis I (Código 10022)
En cada una de esas gráficas, podemos preguntarnos, como se indica debajo de ellas, qué ocurre con
el valor x = 4, acerca de si es o no un punto del dominio de la función, y acerca de si existe o no el
valor del límite indicado, señalando su valor en caso de existir. Todo esto puede abordarse desde lo
intuitivo que conlleva el concepto de límite.
Probablemente, alguna respuesta en el ejemplo 2) sea que no existe el límite o que es infinito
(aunque muchos digan que el límite también en este ejemplo es 2). Lo mismo ocurrirá en el ejemplo
3), donde como respuestas podrán surgir: no existe, toma el valor 3, es infinito…
La pregunta que se debería poder responder quién lea esto es ¿qué significa que un número L sea el
límite de una función cuando la variable (x en nuestro caso) tiende a un punto determinado x0, por
ejemplo?
Lo importante es ver que la expresión
lim
no significa calcular f(x0), o sea que el cálculo del límite no significa calcular el valor en el punto.
Esto será consecuencia de ciertas características de las funciones, que ya mencionaremos más
adelante. Calcular el límite de una función cuando x tiende a un punto determinado, nos obliga a
mirar qué es lo que ocurre con los resultados f(x) de los x que están cerca del punto elegido x0. Para
esto, hay que mirar (cuando la función está definida por un gráfico) qué ocurre “con los resultados
de los valores de x que están cercanos a x0” Pensando en esto, en los tres primeros dibujos, más allá
de que la función esté o no definida en x0 = 4 y que en ese punto el resultado sea o no el valor “que
está sobre el gráfico”, los resultados de los x que están cercanos a 4 están todos cercanos a 2. Es
por eso que nos atrevemos a afirmar que, en esos tres casos, vale que
lim 2
¿Qué significa que “x tiende a x0”? Sencillamente, que “x se acerca a x0”, y el concepto de estar
cerca es independiente de “por cuál lado” se está cerca, si por la derecha o por la izquierda, en el
caso de los puntos sobre la recta real como es nuestro caso. En este sentido, en ninguno de los tres
primeros gráficos tuvimos que preocuparnos sobre la dirección desde la que x tiende a x0, pero eso
ya no ocurre en el último gráfico. Aquí, seguramente todos planteamos que, para mirar o poder
decir algo sobre el límite, tenemos que pensar en dos casos diferentes: cuando la variable se acerca
por un lado o por el otro al punto elegido. En función de lo que se comentó anteriormente, cuando x
se acerca a 4, pero desde la derecha, los resultados de la función en estos x están todos “cerca de 3”,
mientras que cuando los valores de x se acercan desde la izquierda, los resultados están próximos a
2. ¿Cuál será entonces el valor del límite, si resulta imposible poder contar con un valor al que los
resultados de la función se acerquen en los x próximos a 4? Una propiedad que enunciaremos en
breve, dice que toda función que tiene límite en un punto, ese límite es único, es decir, no puede
haber más de un valor que sea considerado como límite de una función. En este caso (gráfico 4) no
tenemos un único valor al que la función se acerque, y eso nos da una idea para poder afirmar que
para x tendiendo a 4 la función no tiene límite. Y esa es la respuesta correcta, aunque para poder
contar con un argumento que justifique esta afirmación, necesitamos un resultado y un par de
definiciones que daremos en breve.
Algo muy importante: el límite de una función, es un valor que está relacionado con los resultados
de la función, es decir con la imagen de la función y no con el dominio. El dominio sólo se lo
considera para tener en cuenta los valores de x con los que calculamos los resultados de la función,
y ver si éstos están o no próximos (todos) a un mismo punto. En ese caso, diremos que ese valor L
(L número real) al que todos los resultados de la función se acercan cuando a ésta se la evalúa en
puntos cercanos a x0, es el resultado del límite de la función cuando x tiende a x0, es decir, podremos
escribir, en ese caso, que
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Análisis I (Código 10022)
Una introducción al estudio del límite de funciones
Es muy probable que en los cursos anteriores que han tenido de Matemática hayan mencionado,
aunque no necesariamente estudiado, el concepto de “límite de una función”. Este concepto tiene
una apariencia muy amigable, y resulta ser una noción que parece ser muy clara desde una mirada
intuitiva. No obstante, es un tema de central importancia en la Matemática y se constituye en uno de
los temas que, de alguna manera, tiene mayor complejidad, ya sea desde su definición formal como
de su aplicación y cálculo desde la mirada teórica. Pese a esa característica, intentaremos a lo largo
de este curso, poder desarrollar el tratamiento del tema desde una óptica que no resulte compleja
para su estudio.
La idea de estas notas, es introducir el tema desde una mirada “intuitiva”, tratando de rescatar qué
es lo que se interpreta, aunque sin ninguna definición aún, del límite en un punto de una función,
cuando ésta está definida por un gráfico.
Para eso, proponemos, en un primer momento, cuatro gráficos de funciones, cada una con una
particularidad que la diferencia de las otras. Son los siguientes:
1) 2)
y y
f f
2 2
4 x 4 x
¿4 ∈ Dom(f)? ¿∃f(4)? ¿4 ∈ Dom(f)? ¿∃f(4)?
lim .……. lim .…….
3) 4)
y y
f
f
3
2 3
2
4 x
4 x
¿4 ∈ Dom(f)? ¿∃f(4)? ¿4 ∈ Dom(f)? ¿∃f(4)?
lim .……. lim .…….
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Análisis I (Código 10022)
En cada una de esas gráficas, podemos preguntarnos, como se indica debajo de ellas, qué ocurre con
el valor x = 4, acerca de si es o no un punto del dominio de la función, y acerca de si existe o no el
valor del límite indicado, señalando su valor en caso de existir. Todo esto puede abordarse desde lo
intuitivo que conlleva el concepto de límite.
Probablemente, alguna respuesta en el ejemplo 2) sea que no existe el límite o que es infinito
(aunque muchos digan que el límite también en este ejemplo es 2). Lo mismo ocurrirá en el ejemplo
3), donde como respuestas podrán surgir: no existe, toma el valor 3, es infinito…
La pregunta que se debería poder responder quién lea esto es ¿qué significa que un número L sea el
límite de una función cuando la variable (x en nuestro caso) tiende a un punto determinado x0, por
ejemplo?
Lo importante es ver que la expresión
lim
no significa calcular f(x0), o sea que el cálculo del límite no significa calcular el valor en el punto.
Esto será consecuencia de ciertas características de las funciones, que ya mencionaremos más
adelante. Calcular el límite de una función cuando x tiende a un punto determinado, nos obliga a
mirar qué es lo que ocurre con los resultados f(x) de los x que están cerca del punto elegido x0. Para
esto, hay que mirar (cuando la función está definida por un gráfico) qué ocurre “con los resultados
de los valores de x que están cercanos a x0” Pensando en esto, en los tres primeros dibujos, más allá
de que la función esté o no definida en x0 = 4 y que en ese punto el resultado sea o no el valor “que
está sobre el gráfico”, los resultados de los x que están cercanos a 4 están todos cercanos a 2. Es
por eso que nos atrevemos a afirmar que, en esos tres casos, vale que
lim 2
¿Qué significa que “x tiende a x0”? Sencillamente, que “x se acerca a x0”, y el concepto de estar
cerca es independiente de “por cuál lado” se está cerca, si por la derecha o por la izquierda, en el
caso de los puntos sobre la recta real como es nuestro caso. En este sentido, en ninguno de los tres
primeros gráficos tuvimos que preocuparnos sobre la dirección desde la que x tiende a x0, pero eso
ya no ocurre en el último gráfico. Aquí, seguramente todos planteamos que, para mirar o poder
decir algo sobre el límite, tenemos que pensar en dos casos diferentes: cuando la variable se acerca
por un lado o por el otro al punto elegido. En función de lo que se comentó anteriormente, cuando x
se acerca a 4, pero desde la derecha, los resultados de la función en estos x están todos “cerca de 3”,
mientras que cuando los valores de x se acercan desde la izquierda, los resultados están próximos a
2. ¿Cuál será entonces el valor del límite, si resulta imposible poder contar con un valor al que los
resultados de la función se acerquen en los x próximos a 4? Una propiedad que enunciaremos en
breve, dice que toda función que tiene límite en un punto, ese límite es único, es decir, no puede
haber más de un valor que sea considerado como límite de una función. En este caso (gráfico 4) no
tenemos un único valor al que la función se acerque, y eso nos da una idea para poder afirmar que
para x tendiendo a 4 la función no tiene límite. Y esa es la respuesta correcta, aunque para poder
contar con un argumento que justifique esta afirmación, necesitamos un resultado y un par de
definiciones que daremos en breve.
Algo muy importante: el límite de una función, es un valor que está relacionado con los resultados
de la función, es decir con la imagen de la función y no con el dominio. El dominio sólo se lo
considera para tener en cuenta los valores de x con los que calculamos los resultados de la función,
y ver si éstos están o no próximos (todos) a un mismo punto. En ese caso, diremos que ese valor L
(L número real) al que todos los resultados de la función se acercan cuando a ésta se la evalúa en
puntos cercanos a x0, es el resultado del límite de la función cuando x tiende a x0, es decir, podremos
escribir, en ese caso, que
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