Sumario Funciones de varias variables: Curvas y Superficies de Nivel

Funciones de varias variables


Dado un conjunto ⊆ Rn (es decir que es un subconjunto de Rn) formado por puntos de la forma
, , ,…, , se llama función real (o escalar) a la regla que hace corresponder a cada
punto , , ,…, un único número real.
Por ejemplo la función : → tal que , , 1 le hace corresponder a
cada terna de ⊆ un único valor real. En este caso el conjunto coincide con ya que la
función está definida para cualquier terna, además no es posible graficar la función.
La función : → tal que , 1 le hace corresponder a cada par ordenado de
⊆ un único valor real. En este caso el conjunto coincide con ya que la función está definida
para cualquier dupla. La gráfica de es el conjunto de todos los puntos , , ∈ tal que
, . Esta gráfica recibe el nombre de superficie:




, 1
1,2 1 1 2 6
El punto 1, 2, 6 pertenece a la
gráfica de la función.




La función : → tal que , 4 2
es de la forma , y recibe el
nombre de función lineal. La gráfica tiene ecuación
4 2 o bien 2 4 y es un
plano:

, Curvas de nivel


Sea , definida en un conjunto ⊆ y sea un número real, se llama curva de nivel a la
ecuación de una curva del plano formada por todos los puntos del conjunto de definición en los
cuales , .
Ejemplo 1: Estudiar las curvas de nivel de la función , 1
Estudiamos 1 , es decir 1. Escrita la ecuación de esta forma se deduce
que 1 ≥ 0, o sea que ≥ 1 (ya que la suma de dos cuadrados es no negativa).
Si 1 la ecuación ( 0) se satisface sólo para el punto " 0, 0
Si > 1 las curvas son circunferencias de centro en el origen y radio √ 1. (Recordar que la
ecuación de una circunferencia centrada en el origen y de radio r es % )




Podemos observar algunas curvas:
Si 2 obtenemos la circunferencia 1
Si 5 obtenemos la circunferencia 4
Si 10 obtenemos la circunferencia 9




Si se elevaran esas curvas a la altura podemos visualizar la superficie en :