Derivadas direccionales
Dada una = , , la derivada parcial con respecto a es la derivada de la función según la
dirección del eje y nos indica la velocidad de crecimiento de la función en un punto de la superficie
según la dirección del eje :
La derivada parcial con respecto a de , es la derivada de la función según la dirección del eje
, y nos indica la velocidad de crecimiento de la función en un punto de la superficie según la
dirección del eje :
¿Se podrá calcular la velocidad de crecimiento de una función en un punto en cualquier dirección
arbitraria?
, Sea = , ,…, una función definida en un abierto de y diferenciable en , y sea
un vector unitario (es decir ‖ ‖ = 1), entonces en todo punto ∈ la función admite derivadas en
cualquier dirección :
=∇ .
Ejemplo 1: Encontrar la derivada direccional de la función , = − 4 en el punto 2, −1
según la dirección del vector = 2,5
Primeramente calculamos ‖ ‖ = √2 + 5 = √29 . El vector no es unitario. Para encontrar un vector
unitario con la misma dirección que el vector hacemos:
1 2 5
= = . 2,5 = ! , "
‖ ‖ √29 √29 √29
Luego calculamos el gradiente de la función:
∇ , = 2 ,3 −4 , ∇ 2, −1 = −4, 8
Ahora bien, como =∇ . entonces
2 5 −8 40 32
2, −1 = −4, 8 . ! , "= + =
√29 √29 √29 √29 √29
Ejemplo 2: Calcular la derivada direccional de la función , = −3 +4 según los
siguientes datos:
Dada una = , , la derivada parcial con respecto a es la derivada de la función según la
dirección del eje y nos indica la velocidad de crecimiento de la función en un punto de la superficie
según la dirección del eje :
La derivada parcial con respecto a de , es la derivada de la función según la dirección del eje
, y nos indica la velocidad de crecimiento de la función en un punto de la superficie según la
dirección del eje :
¿Se podrá calcular la velocidad de crecimiento de una función en un punto en cualquier dirección
arbitraria?
, Sea = , ,…, una función definida en un abierto de y diferenciable en , y sea
un vector unitario (es decir ‖ ‖ = 1), entonces en todo punto ∈ la función admite derivadas en
cualquier dirección :
=∇ .
Ejemplo 1: Encontrar la derivada direccional de la función , = − 4 en el punto 2, −1
según la dirección del vector = 2,5
Primeramente calculamos ‖ ‖ = √2 + 5 = √29 . El vector no es unitario. Para encontrar un vector
unitario con la misma dirección que el vector hacemos:
1 2 5
= = . 2,5 = ! , "
‖ ‖ √29 √29 √29
Luego calculamos el gradiente de la función:
∇ , = 2 ,3 −4 , ∇ 2, −1 = −4, 8
Ahora bien, como =∇ . entonces
2 5 −8 40 32
2, −1 = −4, 8 . ! , "= + =
√29 √29 √29 √29 √29
Ejemplo 2: Calcular la derivada direccional de la función , = −3 +4 según los
siguientes datos:
