Máximos y mínimos de funciones de varias variables
Recordemos en Teorema de Weierstrass para funciones de una variable real:
Toda función ( ) continua en un intervalo cerrado y acotado , admite un máximo absoluto y un
mínimo absoluto. Los mismos pueden caer en los extremos del intervalo , , en puntos interiores
del intervalo donde la función no es derivable, o bien en puntos interiores del intervalo donde la
derivada es nula:
Se extienden los conceptos de máximo y mínimo de funciones de una variable para funciones de
varias variables. Generalizamos el teorema de Weierstrass:
Toda función ( ) continua en un conjunto cerrado y acotado admite un máximo absoluto y un
mínimo absoluto.
En nuestro caso nos dedicaremos a encontrar el máximo y mínimo absolutos de una función ( , )
continua y derivable en un conjunto cerrado y acotado , entonces el máximo y mínimo absolutos
pueden caer sobre la frontera de (curva cerrada) o bien en puntos interiores de tal que ∇ ( ) = 0.
Ejemplo 1: Calcular el máximo y el mínimo absolutos de la función ( , ) = −2 + 2 sobre
el rectángulo = ( , )| 0 ≤ ≤ 3, 0 ≤ ≤2
, La función es continua en todo , por lo tanto es continua en , siendo un conjunto cerrado y
acotado. Con lo cual el teorema de Weierstrass garantiza la existencia del máximo y del mínimo
absolutos.
Antes de realizar el estudio, procedemos a graficar el dominio:
Estudiaremos primero la condición ∇ ( ) = 0, es decir , = (0, 0). O sea que debemos resolver
el sistema:
=0
=0
En nuestro caso
2 −2 =0
!
−2 + 2 = 0
Cuya solución es el punto " = (1, 1) que pertenece a , entonces calculamos el valor de la función en
dicho punto: (1, 1) = 1
Las derivadas parciales están definidas en todo .
Falta estudiar el comportamiento de la función sobre los puntos de la frontera de . Para ello vamos a
parametrizar los cuatro segmentos que la componen:
Debemos estudiar cómo se comporta ( , )= −2 +2 sobre cada una de las curvas
$% , $ , $& y $' .
Sobre $% tenemos ((, 0) = ( − 2(. 0 + 2.0 = ( donde 0 ≤ ( ≤ 3
Como obtuvimos una función que depende únicamente de una variable, y el intervalo es cerrado y
acotado, procedemos como lo hacíamos en Análisis I:
Recordemos en Teorema de Weierstrass para funciones de una variable real:
Toda función ( ) continua en un intervalo cerrado y acotado , admite un máximo absoluto y un
mínimo absoluto. Los mismos pueden caer en los extremos del intervalo , , en puntos interiores
del intervalo donde la función no es derivable, o bien en puntos interiores del intervalo donde la
derivada es nula:
Se extienden los conceptos de máximo y mínimo de funciones de una variable para funciones de
varias variables. Generalizamos el teorema de Weierstrass:
Toda función ( ) continua en un conjunto cerrado y acotado admite un máximo absoluto y un
mínimo absoluto.
En nuestro caso nos dedicaremos a encontrar el máximo y mínimo absolutos de una función ( , )
continua y derivable en un conjunto cerrado y acotado , entonces el máximo y mínimo absolutos
pueden caer sobre la frontera de (curva cerrada) o bien en puntos interiores de tal que ∇ ( ) = 0.
Ejemplo 1: Calcular el máximo y el mínimo absolutos de la función ( , ) = −2 + 2 sobre
el rectángulo = ( , )| 0 ≤ ≤ 3, 0 ≤ ≤2
, La función es continua en todo , por lo tanto es continua en , siendo un conjunto cerrado y
acotado. Con lo cual el teorema de Weierstrass garantiza la existencia del máximo y del mínimo
absolutos.
Antes de realizar el estudio, procedemos a graficar el dominio:
Estudiaremos primero la condición ∇ ( ) = 0, es decir , = (0, 0). O sea que debemos resolver
el sistema:
=0
=0
En nuestro caso
2 −2 =0
!
−2 + 2 = 0
Cuya solución es el punto " = (1, 1) que pertenece a , entonces calculamos el valor de la función en
dicho punto: (1, 1) = 1
Las derivadas parciales están definidas en todo .
Falta estudiar el comportamiento de la función sobre los puntos de la frontera de . Para ello vamos a
parametrizar los cuatro segmentos que la componen:
Debemos estudiar cómo se comporta ( , )= −2 +2 sobre cada una de las curvas
$% , $ , $& y $' .
Sobre $% tenemos ((, 0) = ( − 2(. 0 + 2.0 = ( donde 0 ≤ ( ≤ 3
Como obtuvimos una función que depende únicamente de una variable, y el intervalo es cerrado y
acotado, procedemos como lo hacíamos en Análisis I:
