Cambio de coordenadas en integrales dobles
el cálculo de una integral. Si tenemos que calcular la integral de una cierta función ( ) con derivada
En el Análisis Matemático I a menudo utilizamos un cambio de variable (sustitución) para simplificar
continua en , por el método de sustitución suponemos que es a su vez, una función que depende
de de clase , es decir = ( ) en el intervalo , donde = ( ) y = ( ) entonces:
( ) = ( ) . ´( )
En una integral doble ∬ ( , ) se pueden cambiar las variables e por otras y mediante
una transformación del tipo:
= ( , )
= ( , )
en el que se verifiquen las siguientes condiciones:
- Las funciones = ( , ), = ( , ) tienen derivadas parciales primeras continuas en un
abierto del plano .
- El jacobiano ( , ) es distinto de cero en todo punto del abierto del plano .
- A puntos distintos del plano
´ del plano
le corresponden puntos distintos del plano , y a un dominio
la transformación le hace corresponder un dominio del plano .
Entonces:
! ( , ) =! ( , ), ( , ) | ( , )|
´
= ( , ), = ( , ) es:
' '
Aclaración: El Jacobiano de la transformación
∇ ( , )
( , )=$ $ = &' ' &
∇ ( , ) ' '
' '
+ =1
(
)
Ejemplo 1: Hallar el área de la elipse
Ya hemos visto que para hallar el área podemos proceder calculando
,=! 1
Graficamos el dominio , que en este caso coincide con la elipse a la que le queremos calcular el área:
, : + 11
(
)
=2 3
Si utilizamos la transformación - se transforma en el dominio ´:
=
el dominio
´: + 11
El jacobiano de la transformación es:
' '
∇ ( , ) ' & = 4 2 04 = 2
( , )=$ $ = &'
∇ ( , ) ' ' 0 1
' '
Teniendo en cuenta que ∬ ( , ) =∬ ´
( , ), ( , ) | ( , )| tenemos:
! 1 = ! 1.2 = 2! = 2. Área de D´ = 2.. A
´ ´
Coordenadas polares
En una integral doble ∬ ( , ) vamos a realizar un cambio de coordenadas mediante la
= (/, .) = . cos /
transformación:
= (/, .) = . sin /
donde . y / son las coordenadas polares del punto ( , ).
El Jacobiano de esta transformación es:
, ' '
∇ (/, .) '. & = 4−. sin / cos /
(/, .) = $ $ = &'/ 4 = −. CDE / − . FGC / = −.
∇ (/, .) ' ' . cos / sin /
'/ '.
Se nos pueden presentar distintos tipos de dominios:
• Dominio de tipo circular
Según esta transformación un rectángulo ´ del plano /. se transforma en un segmento de corona
circular del plano :
H I3
´: -
. 1.1.
11 + 14
=J 1 3
≥0
Ejemplo 2: Hallar el área del dominio
Graficamos el dominio :
= . cos /3
Si utilizamos la transformación - se transforma en el dominio ´:
= . sin /
el dominio
el cálculo de una integral. Si tenemos que calcular la integral de una cierta función ( ) con derivada
En el Análisis Matemático I a menudo utilizamos un cambio de variable (sustitución) para simplificar
continua en , por el método de sustitución suponemos que es a su vez, una función que depende
de de clase , es decir = ( ) en el intervalo , donde = ( ) y = ( ) entonces:
( ) = ( ) . ´( )
En una integral doble ∬ ( , ) se pueden cambiar las variables e por otras y mediante
una transformación del tipo:
= ( , )
= ( , )
en el que se verifiquen las siguientes condiciones:
- Las funciones = ( , ), = ( , ) tienen derivadas parciales primeras continuas en un
abierto del plano .
- El jacobiano ( , ) es distinto de cero en todo punto del abierto del plano .
- A puntos distintos del plano
´ del plano
le corresponden puntos distintos del plano , y a un dominio
la transformación le hace corresponder un dominio del plano .
Entonces:
! ( , ) =! ( , ), ( , ) | ( , )|
´
= ( , ), = ( , ) es:
' '
Aclaración: El Jacobiano de la transformación
∇ ( , )
( , )=$ $ = &' ' &
∇ ( , ) ' '
' '
+ =1
(
)
Ejemplo 1: Hallar el área de la elipse
Ya hemos visto que para hallar el área podemos proceder calculando
,=! 1
Graficamos el dominio , que en este caso coincide con la elipse a la que le queremos calcular el área:
, : + 11
(
)
=2 3
Si utilizamos la transformación - se transforma en el dominio ´:
=
el dominio
´: + 11
El jacobiano de la transformación es:
' '
∇ ( , ) ' & = 4 2 04 = 2
( , )=$ $ = &'
∇ ( , ) ' ' 0 1
' '
Teniendo en cuenta que ∬ ( , ) =∬ ´
( , ), ( , ) | ( , )| tenemos:
! 1 = ! 1.2 = 2! = 2. Área de D´ = 2.. A
´ ´
Coordenadas polares
En una integral doble ∬ ( , ) vamos a realizar un cambio de coordenadas mediante la
= (/, .) = . cos /
transformación:
= (/, .) = . sin /
donde . y / son las coordenadas polares del punto ( , ).
El Jacobiano de esta transformación es:
, ' '
∇ (/, .) '. & = 4−. sin / cos /
(/, .) = $ $ = &'/ 4 = −. CDE / − . FGC / = −.
∇ (/, .) ' ' . cos / sin /
'/ '.
Se nos pueden presentar distintos tipos de dominios:
• Dominio de tipo circular
Según esta transformación un rectángulo ´ del plano /. se transforma en un segmento de corona
circular del plano :
H I3
´: -
. 1.1.
11 + 14
=J 1 3
≥0
Ejemplo 2: Hallar el área del dominio
Graficamos el dominio :
= . cos /3
Si utilizamos la transformación - se transforma en el dominio ´:
= . sin /
el dominio
