Fórmulas y Teorema de Green en el plano
Definiciones
Curva cerrada simple de : es una curva de que no se corta a sí misma.
Dominio regular (con respecto al eje o al eje ): es un dominio normal (con respecto al eje o al eje
) y su frontera es una curva cerrada simple.
Si se debe integral una forma diferencial lineal (o un campo vectorial) sobre la frontera de un
dominio regular, indicamos con la trayectoria que deja a la izquierda el interior del dominio
.
Fórmulas de Green en
Si es un dominio regular de y , es una función continua con derivadas parciales primeras
continuas en un abierto que contiene a , entonces:
, , Primera fórmula
, ! " , Segunda fórmula
, Ejemplo 1: Calcular ∬ donde es el dominio plano limitado por la recta 0 y la curva
) * * ! sin *, 1 ! cos * , 0 ≤ * ≤ 21
Vemos que no podemos escribir la cicloide en forma
cartesiana, por lo tanto no vamos a poder resolver la
integral por los métodos conocidos.
En este caso vamos a proceder utilizando la primera
fórmula de Green.
Parametrizamos las curvas regulares que componen la frontera de :
)3 : *, 0 0 ≤ * ≤ 21
) : * ! sin *, 1 ! cos * , 0 ≤ * ≤ 21
Recordamos que para utilizar cualquiera de las fórmulas de Green es necesario que la frontera del
dominio sea recorrida dejando a la izquierda al mismo, entonces utilizando la primera fórmula:
+
56 578
;
* *
9 : 0 * 0
56
0 0 <
* ! sin * 1 ! cos * * ;
9 : ! * ! sin * sin * *
578 1 ! cos * sin * * <
; ; ;
! *=>? * * + @ =>? * * *AB= * ! sin * C +1 21 + 1 31
< < <
Entonces
0 + 31 31
Ejemplo 2: Calcular ∬ donde es el dominio plano limitado por la recta 0 y la curva
) * * ! sin *, 1 ! cos * , 0 ≤ * ≤ 21
Definiciones
Curva cerrada simple de : es una curva de que no se corta a sí misma.
Dominio regular (con respecto al eje o al eje ): es un dominio normal (con respecto al eje o al eje
) y su frontera es una curva cerrada simple.
Si se debe integral una forma diferencial lineal (o un campo vectorial) sobre la frontera de un
dominio regular, indicamos con la trayectoria que deja a la izquierda el interior del dominio
.
Fórmulas de Green en
Si es un dominio regular de y , es una función continua con derivadas parciales primeras
continuas en un abierto que contiene a , entonces:
, , Primera fórmula
, ! " , Segunda fórmula
, Ejemplo 1: Calcular ∬ donde es el dominio plano limitado por la recta 0 y la curva
) * * ! sin *, 1 ! cos * , 0 ≤ * ≤ 21
Vemos que no podemos escribir la cicloide en forma
cartesiana, por lo tanto no vamos a poder resolver la
integral por los métodos conocidos.
En este caso vamos a proceder utilizando la primera
fórmula de Green.
Parametrizamos las curvas regulares que componen la frontera de :
)3 : *, 0 0 ≤ * ≤ 21
) : * ! sin *, 1 ! cos * , 0 ≤ * ≤ 21
Recordamos que para utilizar cualquiera de las fórmulas de Green es necesario que la frontera del
dominio sea recorrida dejando a la izquierda al mismo, entonces utilizando la primera fórmula:
+
56 578
;
* *
9 : 0 * 0
56
0 0 <
* ! sin * 1 ! cos * * ;
9 : ! * ! sin * sin * *
578 1 ! cos * sin * * <
; ; ;
! *=>? * * + @ =>? * * *AB= * ! sin * C +1 21 + 1 31
< < <
Entonces
0 + 31 31
Ejemplo 2: Calcular ∬ donde es el dominio plano limitado por la recta 0 y la curva
) * * ! sin *, 1 ! cos * , 0 ≤ * ≤ 21
