Sumario Volúmenes de rotación

Volumen de rotación

Recordemos:
Sea rectanguloide del plano , de base , relativo a una función continua ( ) ≥ 0, haciendo
girar alrededor del eje obtenemos un sólido, llamado sólido de rotación, cuyo volumen es:




= ( )




( )= 2 = ( ) = 2 =
( ) ( )
Ahora bien, , entonces

2
( )
, de lo que se deduce que

=2



En el caso que gire una un dominio normal con respecto al eje :




( ) ( )
= ( )−" ( ) = # 2 % =2
$( ) $( )

Entonces

=2
&

, De igual manera se deduce la fórmula para el cálculo del volumen de rotación con respecto al eje :




' =2
&



Ejemplo: Calcular el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor del eje
eje , del dominio plano ( = )( , ): 1 ≤ ≤0 1
y alrededor del
≤ log , 0 ≤
Vamos a calcular primero :




;< 678 ;< 678 ;<
=2 =2 =2 3 4 = (9:" − 1)
2 ; 5 ; 2 5 ;

Para resolver la integral 9:" utilizamos el método de integración por partes:
> = 9:" ?= 2 log
9:" == 2 log @= 9:" − = 9:" −2 log
>= ?=

> = log ?= 1
=A 1 B= 9:" − 2 C log − D= 9:" − 2 log + 2 + F
>= ?=


Volviendo al problema
;<
(9:" − 1) = 9:" − 2 log + 2 − ;<
; = (0 )
;