UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJÁN
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS DIVISIÓN MATEMÁTICA
EXAMEN FINAL DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I --- Soluciones --- 27 − 02 − 15
1. Hallar los valores de a y de b de modo que la recta 2 x + 3 y = a sea tangente a la gráfica de la
función f ( x ) = b x 2 , en correspondencia a x = 3.
La recta y la curva deben pasar por el mismo punto en correspondencia a x = 3.
Igualando las ordenadas se obtiene la siguiente relación entre a y b: a = 6 + 27 b (1)
La recta y la curva deben tener la misma pendiente en correspondencia a x = 3.
1
f ' ( x ) = 2 b x ; f ' (3) = 6 b. Igualando las pendientes resulta 6b = − ⇒ b = − (2)
2
3 9
Y reemplazando (2) en (1) se obtiene a = 3
2. Trazar esquemáticamente la gráfica de la función: y = log x 2 − 2 x + 2 ( )
Dominio: R, porque x 2 − 2 x + 2 > 0 ∀ x ∈ R 4 y
(verificar resolviendo la inecuación) 3
Ceros – Signo: y = 0 ⇔ x = 1
y > 0 ⇔ x 2 − 2 x + 2 > 1 ⇔ x 2 − 2 x +1 > 0 2
⇔ (x − 1 ) > 0
2
1
(
lim log x − 2 x + 2 = ∞ . No hay A H
x →∞
2
) x
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
log (x
− 2x + 2 2
)
2x − 2 * −1
lim = lim 2 =0
x →∞ x x → ∞ x − 2x + 2
−2
No hay A Oblicua
−3
3. Estudiar las propiedades diferenciales de la misma función del ejercicio anterior (crecimiento,
decrecimiento, concavidad, etc.).
2x − 2
y' = ; y ' = 0 ⇔ x = 1 ; y ' < 0 ⇔ x < 1 ; y ' > 0 ⇔ x >1
x 2 − 2x + 2
x = 1 es punto de mínimo y el correspondiente mínimo es m = 0.
y' ' =
(
2 x 2 − 2 x + 2 − (2 x − 2)2 ) =L=
− 2 x (x − 2)
; y ' ' = 0 ⇔ x = 0, x = 2
(x
− 2x + 2 2
) 2
x 2 − 2x + 2
2
( )
Estudiando el signo de y´´ se encuentra que ( 0, log 2) y ( 2, log 2) son puntos de inflexión.
4. Calcular, si existe finita, la siguiente integral impropia:
∞
1 3 B
∫
1
x 2 e − x dx = lim − e − x = L =
3
0 B→∞ 3 0 3
5. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor del eje x, del rectanguloide
relativo a la función f ( x ) = 2 x e x . en el intervalo [0, 1 ].
∫ (2 x e ) ( )
1 1
Vx = π
0
x 2
= 4π
∫0
x 2 e 2 x dx = L por partes L = π e 2 − 1 > 0
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS DIVISIÓN MATEMÁTICA
EXAMEN FINAL DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I --- Soluciones --- 27 − 02 − 15
1. Hallar los valores de a y de b de modo que la recta 2 x + 3 y = a sea tangente a la gráfica de la
función f ( x ) = b x 2 , en correspondencia a x = 3.
La recta y la curva deben pasar por el mismo punto en correspondencia a x = 3.
Igualando las ordenadas se obtiene la siguiente relación entre a y b: a = 6 + 27 b (1)
La recta y la curva deben tener la misma pendiente en correspondencia a x = 3.
1
f ' ( x ) = 2 b x ; f ' (3) = 6 b. Igualando las pendientes resulta 6b = − ⇒ b = − (2)
2
3 9
Y reemplazando (2) en (1) se obtiene a = 3
2. Trazar esquemáticamente la gráfica de la función: y = log x 2 − 2 x + 2 ( )
Dominio: R, porque x 2 − 2 x + 2 > 0 ∀ x ∈ R 4 y
(verificar resolviendo la inecuación) 3
Ceros – Signo: y = 0 ⇔ x = 1
y > 0 ⇔ x 2 − 2 x + 2 > 1 ⇔ x 2 − 2 x +1 > 0 2
⇔ (x − 1 ) > 0
2
1
(
lim log x − 2 x + 2 = ∞ . No hay A H
x →∞
2
) x
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
log (x
− 2x + 2 2
)
2x − 2 * −1
lim = lim 2 =0
x →∞ x x → ∞ x − 2x + 2
−2
No hay A Oblicua
−3
3. Estudiar las propiedades diferenciales de la misma función del ejercicio anterior (crecimiento,
decrecimiento, concavidad, etc.).
2x − 2
y' = ; y ' = 0 ⇔ x = 1 ; y ' < 0 ⇔ x < 1 ; y ' > 0 ⇔ x >1
x 2 − 2x + 2
x = 1 es punto de mínimo y el correspondiente mínimo es m = 0.
y' ' =
(
2 x 2 − 2 x + 2 − (2 x − 2)2 ) =L=
− 2 x (x − 2)
; y ' ' = 0 ⇔ x = 0, x = 2
(x
− 2x + 2 2
) 2
x 2 − 2x + 2
2
( )
Estudiando el signo de y´´ se encuentra que ( 0, log 2) y ( 2, log 2) son puntos de inflexión.
4. Calcular, si existe finita, la siguiente integral impropia:
∞
1 3 B
∫
1
x 2 e − x dx = lim − e − x = L =
3
0 B→∞ 3 0 3
5. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación, alrededor del eje x, del rectanguloide
relativo a la función f ( x ) = 2 x e x . en el intervalo [0, 1 ].
∫ (2 x e ) ( )
1 1
Vx = π
0
x 2
= 4π
∫0
x 2 e 2 x dx = L por partes L = π e 2 − 1 > 0
