Samenvatting Analyse FEB21021 Econometrie en Operationele Research

, functies


elementaire functies :
-




f(x) =
X *, XpeTL
-




f(x) =
aY ,
Vaxo
-




f(x) =
sin(x)
-




F(x) =
cos(X)


F" : BA is de inverse functie van F A-B : als
-



F(f(all =
a
, VacA


[o (f" Ibll
-
=
b YbEB
,

als een Functie inverteerbaar is ,
dan is de inverse uniek
dit is
samengestelde Functie goh /g
een : A-B ,
h : C D

met DCA) = (goh((x) g(h(x)) XXeC =

.
.




logaritmische Functie (logp(x)) F :
(0 c)-PR,
is de inverse

Functie van F(x) = by

logaritmische regels :


logy(xy) logb(x) logb(y) +
-



=




logb ( *y ) logn(x) togb(y)
-
= -




-logb(x) rlog() FreR =

,




natuurlijk logaritme (In(xI) is een
logaritme
X
met basise ,


dus de inverse Functie van F(X) =
e .




injectieve functies :



4) F is
injectief als #X ,, XzeA ,
X ,
+ Xe = f(X )
,
+ F(Xz)
2) F is injectief als Xx ..
XeA ,
f(x ,
) =

F (x) => X
,
=

Xz

surjectieve functies :




surjectief ExeA F(x)
y (bereik
F als zodat
is
VyeB =




bijectieve functies :




Dis
bijectief als F zowel
injectief als
surjectief is .




↳ F is
bijectief F is inverteerbaar %

, monotone functies : F is monotoon als de functie strict dalend/

stijgend is .


XX F(X 1
F is strict dalend als XzEA met X,
geldt dat
Xe > P(x)
-




,, ,

-




Fis strict
stijgend als XX
,,
XzEA met v , geldt 、dat
z
F(x ),
<
f(xz)
9) s een functie monotoon is is de Functie injectief o
,




limieten

limietregels :

.
1 Lima [F(x) = g(x)] (imf(x) = (mag(x) =
=
L = MY
2
lim
.
a[cf(x)) Clmf(x)
x - c L = = -




→ "
" [ FSxIgSa aI
Flxl
"

guget; s
- "
3 .m x
- m 2
} : a と "
)
a-
y GF
"


mhad x al lim 1 } .
'
, o
(




(
I im
' gs
n


su
al
n (FCX ) }
: za " m F
-
→
met no [ i



6 LmX) .
=
IF(X) met n> o

↳ als neven is dan Limaf(x) > 0

7
7 LimaC = C


. Limax
8 =
A

9
. an met n s o
kimax" =




. Lima ** *a met n o = >

↳ als n even is dan as o




precieze definitie van een limiet :


lim
af(x) (
- >
>
(20 78 0 zodat (f(x) = =

,
> -



L( ,
XXA oc(x : -


akd)
∞
bewijs :


4) zoek en Kies

2) bewijs/laat zien dat deze E werkt
linkerlimiet :



↓ Ima-f(x) L> = (50 ,
75 30 zodat(F() -

LIE ,
XXCA : a -



GcX < a)
rechterlimiet :


↓ Ima f(x) =
L(Vez0 76 o ,
zodat If(x)
-




LlcE ,
AxeA : acX a + 8)
oneindig
lim
:


* > -
af(x) = > (fM > 0 ,
75 >0 zodat F(x) > M ,
XxcA : oc(x al) -




↓ Ima f(x) = -

oc> (XN -0 75 ,
> 0 zodat F(x) < N XxcA : oc(x- alco)
,