Análisis Matemático I
Examen Final
Apellido y nombres: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.U.No : . . . . . . . .
1. Calcule los siguientes límites:
(a) Sin utilizar L’Hôpital:
x3 − 1
lim √ .
x→−1 x−1
(b) Sin restricciones: √ sen (π/x)
lim+ xe .
x→0
2. Un barrilete que se encuentra a 30m de altura se mueve paralelamente al piso a una
velocidad de 8m/s. ¿Cuál es la razón de cambio del ángulo que forman la cuerda con el
piso cuando se han soltado 60m de cuerda?
3. Un alambre de 10m se corta en dos pedazos. Uno de ellos se utiliza para formar un
cuadrado y el segundo para formar un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse este
alambre de manera tal de conseguir que el área encerrada por estas figuras sea (a) máxima,
o (b) mínima ? Justifique detalladamente cada caso.
4. Hallar el/los valor(es) de a para que la serie
∞
X a 1
−
n=1
n + 2 n+4
converja. En tales casos, calcule la suma de la serie.
5. Suponga que se le provee una sucesión (an ) de manera tal an > 0 para todo n y que la
serie ∞
X
nan
n=1
converge. Responda Verdadero o Falso, justificando detalladamente cada respuesta:
(a) La sucesión (an ) tiene límite 0.
(b) La serie
∞
X
an
n=1
converge.
6. Calcular
√ el volumen de un sólido cuya base es la región determinada por la curva y =
2 sen x y el segmento [0, π] sobre el eje x, y tal que las secciones transversales obtenidas
intersecando el sólido con un plano perpendicular al eje x son
√ equiláteros cuya base son segmentos que van desde el eje x hasta la curva
(a) triángulos
y = 2 sen x, y
(b) cuadrados cuya base son segmentos que van desde el eje x a la curva.
28/02/18
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Examen Final
Apellido y nombres: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L.U.No : . . . . . . . .
1. Calcule los siguientes límites:
(a) Sin utilizar L’Hôpital:
x3 − 1
lim √ .
x→−1 x−1
(b) Sin restricciones: √ sen (π/x)
lim+ xe .
x→0
2. Un barrilete que se encuentra a 30m de altura se mueve paralelamente al piso a una
velocidad de 8m/s. ¿Cuál es la razón de cambio del ángulo que forman la cuerda con el
piso cuando se han soltado 60m de cuerda?
3. Un alambre de 10m se corta en dos pedazos. Uno de ellos se utiliza para formar un
cuadrado y el segundo para formar un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse este
alambre de manera tal de conseguir que el área encerrada por estas figuras sea (a) máxima,
o (b) mínima ? Justifique detalladamente cada caso.
4. Hallar el/los valor(es) de a para que la serie
∞
X a 1
−
n=1
n + 2 n+4
converja. En tales casos, calcule la suma de la serie.
5. Suponga que se le provee una sucesión (an ) de manera tal an > 0 para todo n y que la
serie ∞
X
nan
n=1
converge. Responda Verdadero o Falso, justificando detalladamente cada respuesta:
(a) La sucesión (an ) tiene límite 0.
(b) La serie
∞
X
an
n=1
converge.
6. Calcular
√ el volumen de un sólido cuya base es la región determinada por la curva y =
2 sen x y el segmento [0, π] sobre el eje x, y tal que las secciones transversales obtenidas
intersecando el sólido con un plano perpendicular al eje x son
√ equiláteros cuya base son segmentos que van desde el eje x hasta la curva
(a) triángulos
y = 2 sen x, y
(b) cuadrados cuya base son segmentos que van desde el eje x a la curva.
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