HFLM02 – Financiële rekenkunde
Boeken: Financiële rekenkunde voor het HEO, 7E druk (Hoofdstuk 1 t/m 6).
Basisboek bedrijfseconomie, 11 e druk (Hoofdstuk 5 t/m 8).
Hoofdstuk 1 – Inleiding
Rente
Wat is rente?
Rente (interest) is een vergoeding voor geleend of gespaard geld.
Rente bestaat uit 3 delen:
➢ Compensatie inflatie.
➢ Risicopremie.
➢ Hoogte rentestand.
Welke producten hebben een rente component?
➢ Hypotheek.
➢ Leaseconstructie.
➢ Persoonlijke lening.
➢ Huurkoop.
➢ Koopsompolis.
➢ Lijfrente.
➢ Pensioen.
➢ Pacht.
Welke rentes ken je?
➢ Korte en lange rente
➢ Vaste en variabele rente
➢ Enkelvoudige en samengestelde rente
➢ Effectieve en nominale rente
Rente indelingen
▪ Korte rente
➢ Wordt ook wel geldmarktrente genoemd.
➢ Heeft betrekking op een kortlopende lening (<2 jaar).
▪ Lange rente
➢ Wordt ook wel kapitaalmarktrente genoemd.
➢ Heeft betrekking op een langlopende lening (>2 jaar).
Meestal is de lange rente hoger dan de korte, maar niet altijd. In het laatste geval spreken
we van een “omgekeerde rentestructuur”.
▪ Vaste rente
➢ Het rentetarief blijft gedurende de looptijd gelijk.
▪ Variabele rente
➢ Het rentetarief kan ieder moment wijzigen, afhankelijk van de omstandigheden op de
geld- en kapitaalmarkten in andere landen.
,▪ Enkelvoudige rente
➢ Geen rente over rente, rente over beginkapitaal.
➢ Bij looptijden van een jaar of korter.
➢ Bij koop op afbetaling en huurkoop.
➢ Bij staatsobligaties.
▪ Samengestelde rente
➢ Rente over rente.
➢ Bij looptijden langer dan een jaar.
▪ Nominale rente => berekende rente % op jaarbasis.
▪ Effectieve rente => daadwerkelijk betaalde rente %.
Bijvoorbeeld:
➢ Lening is € 20.000. Rente is 5%.
➢ Betaling van rente per jaar: nominaal en effectief is gelijk.
➢ Betaling rente per maand: nominaal is 5%, effectief is iets hoger. Je betaalt rente per
maand. Je loopt hierover rente-inkomsten mis omdat je het niet kunt investeren, beleggen,
sparen.
De vermogensmarkt, renteontwikkeling geldmarkt en kapitaalmarkt
Als maatstaf van de kapitaalmarktrente wordt vaak naar staatsleningen gekeken. Gezien het
lage debiteurenrisico (risico dat er niet betaald wordt) bij een Nederlandse staatslening, geldt
dit tarief vaak als een soort basistarief. Andere leningen met hogere risico's kennen dan een
renteopslag voor dat hogere risico, waarbij geldt dat de opslag hoger wordt, naarmate het
debiteurenrisico hoger wordt. Bovendien geldt normaal gesproken dat de rente hoger wordt bij
een langere looptijd. Ook bij hypotheken en consumptieve leningen is de kapitaalmarktrente
belangrijk. Bij leningen met een langere renteperiode, bewegen de hypotheekrente en
de leenrente vaak mee met de kapitaalmarktrente.
Rentes particuliere financieringen
▪ Bij een tophypotheek is het hypotheekbedrag hoger dan de marktwaarde van de woning.
In Nederland wordt al gesproken over een tophypotheek wanneer de hypotheek hoger is
dan de executiewaarde van de woning (waarde die een woning op een executieveiling
opbrengt). De meeste geldgevers verstrekken maximaal 106% van de marktwaarde. De
6% die dan meer dan bovenop de marktwaarde wordt uitgeleend, is feitelijk de top.
▪ Met Nationale Hypotheek Garantie (NHG) geef je jouw geldverstrekker de zekerheid dat
je hypotheekschuld wordt terugbetaald in bepaalde situaties. Als je de hypotheek niet meer
kunt opbrengen vanwege echtscheiding, werkloosheid, inkomensdaling,
arbeidsongeschiktheid of het overlijden van je partner, springt NHG bij. Maximaal 310.000
euro.
▪ Een persoonlijke lening is meestal een goede keuze als je eenmalig geld nodig hebt,
bijvoorbeeld als je een auto of motor wilt kopen.
▪ Een doorlopend krediet is het meest geschikt als je extra geld achter de hand wilt hebben.
Je spreekt een kredietlimiet af met de geldverstrekker. Tot dit limiet kun je geld opnemen
en alleen over het opgenomen gedeelte betaal je rente. Als je je lening (gedeeltelijk) hebt
afbetaald, kun je dat geld weer opnieuw opnemen.
,Welke factoren bepalen de rente?
Macro factoren, bijvoorbeeld:
➢ Vraag en aanbod van geld, afhankelijk van economische groei.
➢ Inflatie.
➢ Monetair beleid door ECB.
➢ Transparantie in tarieven leidt tot snellere aanpassingen.
➢ Marktsentiment: verkiezingen, uitlatingen politieke leiders, politieke instabiliteit.
Micro factoren, bijvoorbeeld:
➢ Soort lening, hypotheek.
➢ Risico.
➢ Kosten.
➢ Winst.
Hoofdstuk 2 – Enkelvoudige interest
Enkelvoudige interest => interest wordt elke periode berekend over oorspronkelijke
beginkapitaal
➢ I = t x Px K
c
Jaar 1
I = 10 x 2 x €5000,- = € 1000,-
100
Idem voor jaar 2, 3 enzovoort… interest zal bij een gelijkblijvend kapitaal elk jaar € 1000,-
zijn.
Huurkoop en koop of afbetaling
➢ Huurkoop => gekochte goed eigendom als aan alle financiële verplichtingen is voldaan.
➢ Koop op afbetaling => gekochte goed direct eigendom koper.
Hoofdstuk 3 – Samengestelde interest
▪ Eindwaarden gaat over groei van kapitaal.
▪ Looptijden gaat over hoe lang het duurt voordat je een bepaald rendement hebt behaald.
Wat is een eindwaarde?
Als ik nu een kapitaal ‘K’ op de bank zet en een rentepercentage ‘i’ krijg, hoeveel kapitaal
‘EW’ heb ik dan over ‘n’ jaren?
▪ Enkelvoudige rente:
➢ Rente wordt na elk jaar opgenomen of uitgekeerd.
➢ Rente wordt overgeboekt naar andere rekening.
➢ Bijgeschreven, maar alleen de hoofdsom is rentedragend.
➢ Voorbeeld is staatsobligatie.
▪ Samengestelde rente:
➢ Rente wordt toegevoegd aan de hoofdsom en zo ook rentedragend (rente op rente).
Formule enkelvoudige rente:
➢ EWn = K * (1 + n x i).
Formule samengestelde rente:
➢ EWn = K * (1 + i)n
➢ (1 + i)n = Sn¬ p , in het voorbeeld (1+0,005)3 = S3¬ 0,5
, De 1 in de formule is nodig om het bedrag van 1.000 euro ook mee te rekenen. Wanneer je
alleen de rente wilt uitrekenen, neem je de 1 niet mee.
Voorbeeld 1 eindwaarde
Marianne stort € 1.000 (K) bij de ASN bank en ze ontvangt 0,5% (i) rente per jaar.
Wat wordt het eindkapitaal na 3 jaar (n) wanneer sprake is van enkelvoudige rente? Bereken
het met de rekenmachine EWn = K * (1 + n * i)
Uitwerking => EWn = 1.000 * (1 + 0,005 * 3) = 1.015
Wat wordt het eindkapitaal na 3 jaar (n) wanneer sprake is van samengestelde rente?
EWn = K * (1 + i)n • (1 + i)n = Sn¬ p , in het voorbeeld (1+0,005)3 = S3¬ 0,5
Uitwerking => EWn = 1.000 * (1 + 0,005)3 = 1.015,08
Voorbeeld 2 eindwaarde
Klaas heeft een uitvaartverzekering die een geldbedrag uitkeert wanneer hij komt te overlijden.
Het huidige verzekerde bedrag is € 8.000. Jaarlijks wordt dit bedrag met 2% geïndexeerd. Stel
dat Klaas over 6 jaar komt te overlijden. Wat wordt er dan uitgekeerd?
EWn = K * (1 + i)n • (1 + i)n = Sn¬ p , in het voorbeeld (1+0,002)6 = S6¬ 2 1.
Uitwerking => EWn = 8.000 * (1 + 0,02)6 = 9.009,30
Voorbeeld 3 Looptijd
Peter is 52 jaar en wil op zijn 67e met pensioen. Hij heeft een spaarbedrag van € 30.000 (BW)
en wil dat laten groeien naar € 50.000 (EW). 38 Stel dat Peter geen risico wil lopen en het geld
op de bank houdt. De rente is 0,25% (i) per jaar. Hoe lang doet Peter er dan over om € 50.000
gespaard te hebben? Lukt dat binnen 15 jaar?
EWn = K * (1 + i)n
Uitwerking
1. 50.000 = 30.000 * (1 + 0,0025) ^n
2. 50.000/30.000 = 1,0025^n
3. 1,6667 = 1,0025^n
4. Log 1,6667/log 1,0025 = n
5. n = 204,59
Voorbeeld 4 rendement
Pieter heeft 5 jaar geleden € 5.000 geïnvesteerd in een beleggingsfonds. Hij verkoopt zijn
belegging nu voor € 7.000 en vraagt zich af welk rendement hij gemiddeld per jaar heeft
gerealiseerd (rekenmachine).
Formule: EWn = K * (1 + i)n
Uitwerking
1. 7.000 = 5.000 * (1 + i)^5
2. 1,4 = (1 + i)^5
3. (1,4)^1/5 = 1 + i
4. (1/4)^0,2 = 1 + i
5. 1,0696 = 1 + i
6. Interest = 0,696 = 6,96%
Voorbeeld looptijd
EWn = K * (1 + i)n
€ 4.313.804 = € 1.800.000 * (1 + 0,06)n
€ 2.883 / € 1.700 = (1 + 0,06)n
2,397 = 1,06^n log 2,397 / log 1,06 = n n = 15 jaar
Boeken: Financiële rekenkunde voor het HEO, 7E druk (Hoofdstuk 1 t/m 6).
Basisboek bedrijfseconomie, 11 e druk (Hoofdstuk 5 t/m 8).
Hoofdstuk 1 – Inleiding
Rente
Wat is rente?
Rente (interest) is een vergoeding voor geleend of gespaard geld.
Rente bestaat uit 3 delen:
➢ Compensatie inflatie.
➢ Risicopremie.
➢ Hoogte rentestand.
Welke producten hebben een rente component?
➢ Hypotheek.
➢ Leaseconstructie.
➢ Persoonlijke lening.
➢ Huurkoop.
➢ Koopsompolis.
➢ Lijfrente.
➢ Pensioen.
➢ Pacht.
Welke rentes ken je?
➢ Korte en lange rente
➢ Vaste en variabele rente
➢ Enkelvoudige en samengestelde rente
➢ Effectieve en nominale rente
Rente indelingen
▪ Korte rente
➢ Wordt ook wel geldmarktrente genoemd.
➢ Heeft betrekking op een kortlopende lening (<2 jaar).
▪ Lange rente
➢ Wordt ook wel kapitaalmarktrente genoemd.
➢ Heeft betrekking op een langlopende lening (>2 jaar).
Meestal is de lange rente hoger dan de korte, maar niet altijd. In het laatste geval spreken
we van een “omgekeerde rentestructuur”.
▪ Vaste rente
➢ Het rentetarief blijft gedurende de looptijd gelijk.
▪ Variabele rente
➢ Het rentetarief kan ieder moment wijzigen, afhankelijk van de omstandigheden op de
geld- en kapitaalmarkten in andere landen.
,▪ Enkelvoudige rente
➢ Geen rente over rente, rente over beginkapitaal.
➢ Bij looptijden van een jaar of korter.
➢ Bij koop op afbetaling en huurkoop.
➢ Bij staatsobligaties.
▪ Samengestelde rente
➢ Rente over rente.
➢ Bij looptijden langer dan een jaar.
▪ Nominale rente => berekende rente % op jaarbasis.
▪ Effectieve rente => daadwerkelijk betaalde rente %.
Bijvoorbeeld:
➢ Lening is € 20.000. Rente is 5%.
➢ Betaling van rente per jaar: nominaal en effectief is gelijk.
➢ Betaling rente per maand: nominaal is 5%, effectief is iets hoger. Je betaalt rente per
maand. Je loopt hierover rente-inkomsten mis omdat je het niet kunt investeren, beleggen,
sparen.
De vermogensmarkt, renteontwikkeling geldmarkt en kapitaalmarkt
Als maatstaf van de kapitaalmarktrente wordt vaak naar staatsleningen gekeken. Gezien het
lage debiteurenrisico (risico dat er niet betaald wordt) bij een Nederlandse staatslening, geldt
dit tarief vaak als een soort basistarief. Andere leningen met hogere risico's kennen dan een
renteopslag voor dat hogere risico, waarbij geldt dat de opslag hoger wordt, naarmate het
debiteurenrisico hoger wordt. Bovendien geldt normaal gesproken dat de rente hoger wordt bij
een langere looptijd. Ook bij hypotheken en consumptieve leningen is de kapitaalmarktrente
belangrijk. Bij leningen met een langere renteperiode, bewegen de hypotheekrente en
de leenrente vaak mee met de kapitaalmarktrente.
Rentes particuliere financieringen
▪ Bij een tophypotheek is het hypotheekbedrag hoger dan de marktwaarde van de woning.
In Nederland wordt al gesproken over een tophypotheek wanneer de hypotheek hoger is
dan de executiewaarde van de woning (waarde die een woning op een executieveiling
opbrengt). De meeste geldgevers verstrekken maximaal 106% van de marktwaarde. De
6% die dan meer dan bovenop de marktwaarde wordt uitgeleend, is feitelijk de top.
▪ Met Nationale Hypotheek Garantie (NHG) geef je jouw geldverstrekker de zekerheid dat
je hypotheekschuld wordt terugbetaald in bepaalde situaties. Als je de hypotheek niet meer
kunt opbrengen vanwege echtscheiding, werkloosheid, inkomensdaling,
arbeidsongeschiktheid of het overlijden van je partner, springt NHG bij. Maximaal 310.000
euro.
▪ Een persoonlijke lening is meestal een goede keuze als je eenmalig geld nodig hebt,
bijvoorbeeld als je een auto of motor wilt kopen.
▪ Een doorlopend krediet is het meest geschikt als je extra geld achter de hand wilt hebben.
Je spreekt een kredietlimiet af met de geldverstrekker. Tot dit limiet kun je geld opnemen
en alleen over het opgenomen gedeelte betaal je rente. Als je je lening (gedeeltelijk) hebt
afbetaald, kun je dat geld weer opnieuw opnemen.
,Welke factoren bepalen de rente?
Macro factoren, bijvoorbeeld:
➢ Vraag en aanbod van geld, afhankelijk van economische groei.
➢ Inflatie.
➢ Monetair beleid door ECB.
➢ Transparantie in tarieven leidt tot snellere aanpassingen.
➢ Marktsentiment: verkiezingen, uitlatingen politieke leiders, politieke instabiliteit.
Micro factoren, bijvoorbeeld:
➢ Soort lening, hypotheek.
➢ Risico.
➢ Kosten.
➢ Winst.
Hoofdstuk 2 – Enkelvoudige interest
Enkelvoudige interest => interest wordt elke periode berekend over oorspronkelijke
beginkapitaal
➢ I = t x Px K
c
Jaar 1
I = 10 x 2 x €5000,- = € 1000,-
100
Idem voor jaar 2, 3 enzovoort… interest zal bij een gelijkblijvend kapitaal elk jaar € 1000,-
zijn.
Huurkoop en koop of afbetaling
➢ Huurkoop => gekochte goed eigendom als aan alle financiële verplichtingen is voldaan.
➢ Koop op afbetaling => gekochte goed direct eigendom koper.
Hoofdstuk 3 – Samengestelde interest
▪ Eindwaarden gaat over groei van kapitaal.
▪ Looptijden gaat over hoe lang het duurt voordat je een bepaald rendement hebt behaald.
Wat is een eindwaarde?
Als ik nu een kapitaal ‘K’ op de bank zet en een rentepercentage ‘i’ krijg, hoeveel kapitaal
‘EW’ heb ik dan over ‘n’ jaren?
▪ Enkelvoudige rente:
➢ Rente wordt na elk jaar opgenomen of uitgekeerd.
➢ Rente wordt overgeboekt naar andere rekening.
➢ Bijgeschreven, maar alleen de hoofdsom is rentedragend.
➢ Voorbeeld is staatsobligatie.
▪ Samengestelde rente:
➢ Rente wordt toegevoegd aan de hoofdsom en zo ook rentedragend (rente op rente).
Formule enkelvoudige rente:
➢ EWn = K * (1 + n x i).
Formule samengestelde rente:
➢ EWn = K * (1 + i)n
➢ (1 + i)n = Sn¬ p , in het voorbeeld (1+0,005)3 = S3¬ 0,5
, De 1 in de formule is nodig om het bedrag van 1.000 euro ook mee te rekenen. Wanneer je
alleen de rente wilt uitrekenen, neem je de 1 niet mee.
Voorbeeld 1 eindwaarde
Marianne stort € 1.000 (K) bij de ASN bank en ze ontvangt 0,5% (i) rente per jaar.
Wat wordt het eindkapitaal na 3 jaar (n) wanneer sprake is van enkelvoudige rente? Bereken
het met de rekenmachine EWn = K * (1 + n * i)
Uitwerking => EWn = 1.000 * (1 + 0,005 * 3) = 1.015
Wat wordt het eindkapitaal na 3 jaar (n) wanneer sprake is van samengestelde rente?
EWn = K * (1 + i)n • (1 + i)n = Sn¬ p , in het voorbeeld (1+0,005)3 = S3¬ 0,5
Uitwerking => EWn = 1.000 * (1 + 0,005)3 = 1.015,08
Voorbeeld 2 eindwaarde
Klaas heeft een uitvaartverzekering die een geldbedrag uitkeert wanneer hij komt te overlijden.
Het huidige verzekerde bedrag is € 8.000. Jaarlijks wordt dit bedrag met 2% geïndexeerd. Stel
dat Klaas over 6 jaar komt te overlijden. Wat wordt er dan uitgekeerd?
EWn = K * (1 + i)n • (1 + i)n = Sn¬ p , in het voorbeeld (1+0,002)6 = S6¬ 2 1.
Uitwerking => EWn = 8.000 * (1 + 0,02)6 = 9.009,30
Voorbeeld 3 Looptijd
Peter is 52 jaar en wil op zijn 67e met pensioen. Hij heeft een spaarbedrag van € 30.000 (BW)
en wil dat laten groeien naar € 50.000 (EW). 38 Stel dat Peter geen risico wil lopen en het geld
op de bank houdt. De rente is 0,25% (i) per jaar. Hoe lang doet Peter er dan over om € 50.000
gespaard te hebben? Lukt dat binnen 15 jaar?
EWn = K * (1 + i)n
Uitwerking
1. 50.000 = 30.000 * (1 + 0,0025) ^n
2. 50.000/30.000 = 1,0025^n
3. 1,6667 = 1,0025^n
4. Log 1,6667/log 1,0025 = n
5. n = 204,59
Voorbeeld 4 rendement
Pieter heeft 5 jaar geleden € 5.000 geïnvesteerd in een beleggingsfonds. Hij verkoopt zijn
belegging nu voor € 7.000 en vraagt zich af welk rendement hij gemiddeld per jaar heeft
gerealiseerd (rekenmachine).
Formule: EWn = K * (1 + i)n
Uitwerking
1. 7.000 = 5.000 * (1 + i)^5
2. 1,4 = (1 + i)^5
3. (1,4)^1/5 = 1 + i
4. (1/4)^0,2 = 1 + i
5. 1,0696 = 1 + i
6. Interest = 0,696 = 6,96%
Voorbeeld looptijd
EWn = K * (1 + i)n
€ 4.313.804 = € 1.800.000 * (1 + 0,06)n
€ 2.883 / € 1.700 = (1 + 0,06)n
2,397 = 1,06^n log 2,397 / log 1,06 = n n = 15 jaar
