Wiskunde B
basisvaardigheden
Breukregels: (zie meer samengevat) -
𝐴 𝐶 𝐴∗𝐶 𝐴 𝐶 𝐴 1
𝟏. ∗ = 𝟐. = → 𝐴 ∗ 𝐷 = 𝐵 ∗ 𝐶 𝟑. = ∗𝐴
𝐵 𝐷 𝐵∗𝐷 𝐵 𝐷 𝐵 𝐵
𝟒. 𝐽𝑒 𝑚𝑎𝑔 𝑏𝑟𝑒𝑢𝑘𝑒𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑖𝑗𝑑 𝑘𝑒𝑒𝑟 𝑒𝑒𝑛 𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑏𝑟𝑒𝑢𝑘 𝑑𝑜𝑒𝑛 𝑤𝑎𝑎𝑟 1 𝑢𝑖𝑡𝑘𝑜𝑚𝑡
Wortelregels: (zie meer samengevat) -
√
𝟏. √𝐴 ∗ √𝐵 = √𝐴 ∗ 𝐵 𝟐. √𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴 ∗ √𝐵 𝟑. √𝐴 + 𝐵 𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑒𝑡 𝟒. =
√
𝟓. 𝑏 ∗ √𝐴 + 𝑐 ∗ √𝐵 = (𝑏 + 𝑐) ∗ √𝐴 𝟔. √𝐴 = 𝐴
Machtsregels: (zie meer samengevat) -
𝐴 1 ∗
𝟏. 𝐴 = 1 𝟐. 𝐴 = 𝐴 𝟑. 𝐴 ∗ 𝐴 = 𝐴 𝟒. = 𝐴 𝟓. = 𝐴 𝟔. 𝐴 =𝐴 𝟕. (𝐴 ∗ 𝐵) = 𝐴 ∗ 𝐵
𝐴 𝐴
1
𝟖. 𝐴 = √𝐴 𝟗. 𝐴 = 10. 𝐴 = √𝐴
𝐴
Exponentiele en logaritmeregels - :
( ) ( )
𝟏. 𝑎 = 10 𝟐. 𝑎 = 𝑒 𝟑. 𝑎 = 𝑎 → 𝐴 = 𝐵 𝟒. 𝑎 = 𝑐 𝑎𝑙𝑠 𝑐 > 0 → 𝑥 = log (𝑐) 𝟓. 𝑒 = 𝑐 → 𝑥 = ln(𝑐)
𝑙𝑜𝑔(𝑐) log (𝑐) ln(𝑐)
𝟔. log (𝑐) = = = 𝟕. log (𝑐 ) = 𝑛 ∗ log (𝑐) 𝟖. log (𝑎) + log (𝑏) = log (𝑎 ∗ 𝑏)
log(𝑎) log (𝑎) ln(𝑎)
𝑎
𝟗. log (𝑎) − log (𝑏) = log 𝟏𝟎. log (𝑎) = − log (𝑎) 11. log (𝑐) = 𝑏 → 𝑎 = 𝑐
𝑏
Goniometrie regels - :
𝟏. 𝑠𝑖𝑛 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) = 1 𝟐. cos(𝑡 + 2𝜋) = cos(𝑡) 𝟑. 𝑠𝑖𝑛(𝑡 + 2𝜋) = sin(𝑡)
1
𝟒. cos(𝑡 + 𝜋) = − cos(𝑡) 𝟓. sin(𝑡 + 𝜋) = − sin(𝑡) 𝟔. cos 𝑡 + 𝜋 = − sin(𝑡)
2
1 sin (𝑡)
𝟕. sin 𝑡 + 𝜋 = cos(𝑡) 𝟖. cos(−𝑡) = cos(𝑡) 𝟗. sin(−𝑡) = − sin(𝑡) 𝟏𝟎. tan(𝑡) =
2 cos (𝑡)
Kwadraat afsplitsen - : 𝑜𝑚: 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑜𝑝𝑠𝑐ℎ𝑟𝑖𝑗𝑣𝑒𝑛 𝑎𝑙𝑠 (𝑥 + 𝑐) + 𝑑
𝑣𝑜𝑜𝑟𝑏𝑒𝑒𝑙𝑑 1: 𝑥 + 6𝑥 = (𝑥 + 3) − 9 𝑣𝑜𝑜𝑟𝑏𝑒𝑒𝑙𝑑 2: 𝑥 − 8𝑥 − 5 = (𝑥 − 4) − 11
Basisvergelijkingen: -
𝟏. 𝐴 ∗ 𝐵 = 0 → 𝐴 = 0 𝑜𝑓 𝐵 = 0 𝟐. 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴 ∗ 𝐶 → 𝐴 = 0 𝑜𝑓 𝐵 = 𝐶 𝟑. 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴 → 𝐴 = 0 𝑜𝑓 𝐵 = 1
𝐴
𝟒. 𝐴 = 𝐶 → 𝐴 = √𝐶 𝑜𝑓𝐴 = −√𝐶 𝟓. 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵 𝑜𝑓 𝐴 = −𝐵 𝟔. = 0 → 𝐴 = 0 𝑒𝑛 𝐵 ≠ 0
𝐵
𝐴 𝐴 𝐶 𝐴 𝐴
𝟕. = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵 ∗ 𝐶 𝑚𝑒𝑡 𝐵 ≠ 0 𝟖. = → 𝐴 = 𝐶 𝟗. = → 𝐴 = 0 𝑜𝑓 𝐵 = 𝐶 𝟏𝟎. √𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵
𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐶
Oplossen kwadratische vergelijking: -
𝟏. ℎ𝑎𝑎𝑘𝑗𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑘𝑒𝑛 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 → (𝑥 + 𝑐)(𝑥 + 𝑑), 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑏𝑖𝑗 𝑐 ∗ 𝑑 = 𝑏 𝑒𝑛 𝑐 + 𝑑 = 𝑎, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = −𝑐 𝑒𝑛 𝑥 = −𝑑
,𝟐. 𝑘𝑤𝑎𝑑𝑟𝑎𝑎𝑡 𝑎𝑓𝑠𝑝𝑙𝑖𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 → (𝑥 + 𝑐) + 𝑑, 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑏𝑖𝑗 2𝑐 = 𝑎 𝑒𝑛 𝑑 = 𝑐 + 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = −𝑐 ∓ √−𝑑
−𝑏 ± √𝐷
𝟑. 𝑎𝑏𝑐 − 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑥 = 𝐷 = 𝑏 −4∗𝑎∗𝑐
2∗𝑎
Oplossen wortel vergelijking: -
𝑠𝑡𝑎𝑝 1: 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑒𝑒𝑟 𝑠𝑡𝑎𝑝 2: 𝑘𝑤𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑒𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑘𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑝 3: 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒𝑒𝑟 𝑤𝑒𝑙𝑘𝑒 𝑥 𝑘𝑙𝑜𝑝𝑡
,Functies en grafieken
Termen: -
Domein: waarbinnen alle x-waarden vallen Bereik: waarbinnen alle y-waarden vallen
Snijpunt y-as: x=0 invullen snijpunt x-as: y=0 invullen
Extreme waarden: f‘(x) = 0 geldt, voorbeelden: maximum, minimum, top, randpunt
Asymptoot: een lijn die de grafiek nadert perforatie: een gat in de grafiek
Puntsymmetrie:
( ) ( )
1. Ten opzichte van (0;0): bewijs f(x)=f(-x) 2. Ten opzichte van (p;q): bewijs =𝑞
Lijnsymmetrie:
1. Ten opzichte van de y-as: bewijs f(x)=f(-x) 2. Ten opzichte van x=p: bewijs f(p-a)=f(p+a)
Intervalnotaties: - 1. 〈𝒃, 𝒄〉 𝑎𝑙𝑠 𝑏 < 𝑥 < 𝑐 2. [𝒅, 𝒆] 𝑎𝑙𝑠 𝑑 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒 3. 〈𝒂, →〉 𝑎𝑙𝑠 𝑥 > 𝑎
Eerstegraads functies/ lineaire functies: -
𝑥 𝑦
𝟏. 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑎 = 𝑅𝐶 𝟐. 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟 𝟑. + = 1, 𝑔𝑒𝑒𝑓𝑡 𝑠𝑛𝑖𝑗𝑝𝑢𝑛𝑡 𝑥 − 𝑎𝑠 = (𝑎, 0) 𝑦 − 𝑎𝑠 = (0, 𝑏)
𝑎 𝑏
Richtingscoëfficiënt - : RC, helling, hellingscoëfficiënt, hellingsgetal, richtingsgetal
∆𝑦 𝑦 − 𝑦 𝑑−𝑏
𝑟= = = 𝑎𝑙𝑠 𝑃(𝑎, 𝑏)𝑒𝑛 𝑄(𝑐, 𝑑).
∆𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑐−𝑎
𝑟 > 0 → 𝑠𝑡𝑖𝑗𝑔𝑡 𝑟 < 0 → 𝑑𝑎𝑎𝑙𝑡 𝑟 = 0 → ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑎𝑙
Richtingshoek - :
𝑟 = tan(𝑎) 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑏𝑖𝑗 𝑎 = 𝑟𝑖𝑐ℎ𝑡𝑖𝑛𝑔𝑠ℎ𝑜𝑒𝑘 = ℎ𝑜𝑒𝑘 𝑡𝑢𝑠𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑒𝑣𝑒 𝑥 − 𝑎𝑠
𝑎 = 𝑡𝑎𝑛 (𝑟) 𝑒𝑛 𝑟 =
Eigenschappen van lijnen - :
Evenwijdig: RC is gelijk // loodrecht: RC ∗ RC = −1 𝑒𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 ⊥ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑑
Snijpunten lijnen: -
Gelijkstellen: 1. allebei vorm y= … 2. aan elkaar gelijkstellen en x loskrijgen 3. x invullen voor y
| |
Elimineren: 1. Allebei vorm ax+by=d 2 . | | zorgt er voor dat x of y wegvalt
Substitutie: 1. m: in y=… en n: in ax+by=d 2. m invullen in n voor x-en
Tweedegraads functies - : Zie hoe op te lossen op vorige pagina
a > 0 dalparabool en 𝐵 ≥ 𝑦 . a < 0 bergparabool en 𝐵 ≤ 𝑦
Discriminantregels - : D>0 2 snijpunten D=0 1 snijpunt D<0 0 snijpunten
Vormen - :
𝟏. 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑎𝑟𝑑: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝟐. 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝) + 𝑞, 𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑠 𝑡𝑜𝑝 (𝑝, 𝑞)
,𝟑. 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐), 𝑑𝑎𝑛 𝑛𝑢𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛 𝑥 = 𝑏 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑐
Bijzondere situaties - :
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) → 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑜𝑓 𝑓(𝑥) = −𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ ℎ(𝑥) → 𝑓(𝑥) = 0 𝑜𝑓 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥)
Hogeregraads functies - : 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑒𝑛 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑏𝑙𝑧 32 , 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑏𝑖𝑗 𝑛 ℎ𝑒𝑒𝑙 𝑔𝑒𝑡𝑎𝑙
regeltje: oneven = buigpunt
𝑥 = 𝑐 (𝑛 = 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑐 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑒𝑓) 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡: 2 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑥 = 𝑐 𝑜𝑓 𝑥 = −𝑐
𝑥 = 𝑐 (𝑛 = 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑐 = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑒𝑓) 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡: 0 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛
𝑥 = 𝑐 (𝑛 = 𝑜𝑛𝑒𝑣𝑒𝑛) 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡: 1 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑥 = 𝑐
𝑥 = 𝑐 (𝑛 = 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑐 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑒𝑓) 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡: 2 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑥 = 𝑐 𝑜𝑓 𝑥 = −𝑐
𝑥 = 𝑐 (𝑛 = 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑐 = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑒𝑓) 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡: 0 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛
𝑥 = 𝑐 (𝑛 = 𝑜𝑛𝑒𝑣𝑒𝑛) 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡: 1 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑥 = 𝑐
Regeltje: n<0 dan heeft de grafiek de x en y-as als asymptoot
Schetsen - : 1. grootste exponent even = paraboolvorm, oneven = slinger vorm 2. snijpunt y-as 3.
Geef toppen
Oplossen - :
Optie 1 Ontbinden: haal zo groot mogelijke macht buiten haakjes. Optie 2: maak xm= p, zodat
2egraads lijkt
Wortelfuncties - : 𝑦 = 𝑎 + 𝑏√𝑐 ∗ 𝑥 + 𝑑
Randpunt: punt waar deel onder de wortel = 0
Oplossen:
1. Haal wortel los aan 1 kant 2. Kwadrateer links en rechts en los op 3. Controleer welke klopt door in
te vullen
Gebroken functies - :
Limiet: 1. Kwadraten in haakjes zetten 2. Haakjes boven en onder gelijk wegstrepen 3. Limiet invullen
Perforatie: 1. als 2. Kwadraten in haakjes zetten 3. De gelijken =0 zorgt voor x van perforatie 4. Vul
x als limiet in als y-en gelijk = perforatie, anders = sprong.
Verticale asymptoot: 1. Bestaat als 2. Stel noemer gelijk aan 0 3. Check of teller ≠ 0 4. Conclusie
x=
Horizontale asymptoot: 1. Limiet 𝑥 → ∞ (bij gebroken is ∞ = −∞) 2. Haakjes/absoluutstrepen
wegwerken 3. Alles delen door de hoogste x-macht 4. = 0 5. Conclusie y=
, Scheve asymptoot: 1. Onderkant/bovenkant\waarmee je keer hebt gedaan 2. Wil tussen / \
wegkrijgen 3. Onderkant keer … doe je min tussen / \ 4. Totdat tussen / \ x-macht kleiner is dan
onderkant 5. Einde van tussen / \ is nieuwe bovenkant 6. Bij nieuwe breuk 𝑥 → ∞ meestal 0 en dan
waar je keer hebt gedaan is lijn van scheve asymptoot
( ) ( ) ( ) ( )
Oplossen: 𝟏. ( )
= 0 → 𝑓(𝑥) = 0 𝑚𝑖𝑡𝑠 𝑔(𝑥) ≠ 0 𝟐. ( )
= 𝑐 𝑜𝑚𝑠𝑐ℎ𝑟𝑖𝑗𝑣𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑡 ( )
= ( )
𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑛 𝑗𝑒
𝑘𝑟𝑢𝑖𝑠𝑙𝑖𝑛𝑔𝑠𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑛𝑖𝑔𝑣𝑢𝑙𝑑𝑖𝑔𝑒𝑛
𝟑. 𝑏𝑖𝑗𝑧𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟ℎ𝑒𝑑𝑒𝑛: 𝑛𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟𝑠 = → 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 = 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑠 𝑛𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟 ≠ 0, 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟𝑠 =→ 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 = 0 𝑜𝑓 𝑛𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟 = 𝑛𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟
Absolute waarde functies - : |𝑓(𝑥)| = 𝑓(𝑥) 𝑎𝑙𝑠 𝑓(𝑥) > 0 𝑒𝑛 − 𝑓(𝑥)𝑎𝑙𝑠 𝑓(𝑥) < 0
Transformaties van y=f(x) - :
Spiegeling : 1. In de x-as: y=-f(x) 2. In de y-as : y= f(-x) 3. In de oorsprong y=-f(-x)
Verschuiving/translatie: verschuiving met (a,b) -> y= f(x-a) +b. a is horz. b is vert.
Vermenigvuldiging:
1. Met a ten opzichte x-as 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑓(𝑥) 2. Met a ten opzichte y-as 𝑦 = 𝑓( 𝑥)
Inverse functie - : verwisseling van x en y. je weet dat domein en bereik verwisselen bij inverse
Afstand tussen grafieken - : 1. verticaal (d) d=|f(x)-g(x)| 2. Horizontaal (h) f(x)=g(x+h)
Exponentiële en logaritmische functies
exponentieel:
oplossen - : werk naar een van volgende: 1. Schrijf met zelfde grondtallen: 𝑎 = 𝑎
2. Naar 𝐴 = 𝑐 𝑎𝑙𝑠 𝑐 > 0 → 𝑥 = log (𝑐) 𝑎𝑙𝑠 𝑐 < 0 → 𝑔𝑒𝑒𝑛 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔 3. 𝑒 = 𝑐 → ln (𝑐) 4. 𝑚𝑎𝑎𝑘 𝑎 =
𝑝 𝑜𝑚 𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑒𝑒𝑛𝑣𝑜𝑢𝑑𝑖𝑔𝑒𝑛
Eigenschappen - :
Bij standaardfunctie y=𝑔 (met g>0) gelden: 1. Y>0 2. Als g>1 grafiek stijgt 3. Als 0<g<1 grafiek daalt
4. Y=0 is horz. Asymp.
Horizontale asymptoot - :
1. Als g>1 lim 𝑔 = 0 2. Als 0<g<1 lim 𝑔 = 0
→ →
Groeifuncties - :
𝑁 = 𝑏 ∗ 𝑔 b= begin hoeveelheid g= groeifactor t= tijd
g>1 betekent: exponentiele groei g<1 betekent: exponentieel verval
𝑔 = groeifactor per halve tijdseenheid
( ) ( )
Controleren of exponentiële groei met: ( )
= ( )
= 𝑔. Moet wel vaste tijdseenheid
basisvaardigheden
Breukregels: (zie meer samengevat) -
𝐴 𝐶 𝐴∗𝐶 𝐴 𝐶 𝐴 1
𝟏. ∗ = 𝟐. = → 𝐴 ∗ 𝐷 = 𝐵 ∗ 𝐶 𝟑. = ∗𝐴
𝐵 𝐷 𝐵∗𝐷 𝐵 𝐷 𝐵 𝐵
𝟒. 𝐽𝑒 𝑚𝑎𝑔 𝑏𝑟𝑒𝑢𝑘𝑒𝑛 𝑎𝑙𝑡𝑖𝑗𝑑 𝑘𝑒𝑒𝑟 𝑒𝑒𝑛 𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑏𝑟𝑒𝑢𝑘 𝑑𝑜𝑒𝑛 𝑤𝑎𝑎𝑟 1 𝑢𝑖𝑡𝑘𝑜𝑚𝑡
Wortelregels: (zie meer samengevat) -
√
𝟏. √𝐴 ∗ √𝐵 = √𝐴 ∗ 𝐵 𝟐. √𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴 ∗ √𝐵 𝟑. √𝐴 + 𝐵 𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑒𝑡 𝟒. =
√
𝟓. 𝑏 ∗ √𝐴 + 𝑐 ∗ √𝐵 = (𝑏 + 𝑐) ∗ √𝐴 𝟔. √𝐴 = 𝐴
Machtsregels: (zie meer samengevat) -
𝐴 1 ∗
𝟏. 𝐴 = 1 𝟐. 𝐴 = 𝐴 𝟑. 𝐴 ∗ 𝐴 = 𝐴 𝟒. = 𝐴 𝟓. = 𝐴 𝟔. 𝐴 =𝐴 𝟕. (𝐴 ∗ 𝐵) = 𝐴 ∗ 𝐵
𝐴 𝐴
1
𝟖. 𝐴 = √𝐴 𝟗. 𝐴 = 10. 𝐴 = √𝐴
𝐴
Exponentiele en logaritmeregels - :
( ) ( )
𝟏. 𝑎 = 10 𝟐. 𝑎 = 𝑒 𝟑. 𝑎 = 𝑎 → 𝐴 = 𝐵 𝟒. 𝑎 = 𝑐 𝑎𝑙𝑠 𝑐 > 0 → 𝑥 = log (𝑐) 𝟓. 𝑒 = 𝑐 → 𝑥 = ln(𝑐)
𝑙𝑜𝑔(𝑐) log (𝑐) ln(𝑐)
𝟔. log (𝑐) = = = 𝟕. log (𝑐 ) = 𝑛 ∗ log (𝑐) 𝟖. log (𝑎) + log (𝑏) = log (𝑎 ∗ 𝑏)
log(𝑎) log (𝑎) ln(𝑎)
𝑎
𝟗. log (𝑎) − log (𝑏) = log 𝟏𝟎. log (𝑎) = − log (𝑎) 11. log (𝑐) = 𝑏 → 𝑎 = 𝑐
𝑏
Goniometrie regels - :
𝟏. 𝑠𝑖𝑛 (𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) = 1 𝟐. cos(𝑡 + 2𝜋) = cos(𝑡) 𝟑. 𝑠𝑖𝑛(𝑡 + 2𝜋) = sin(𝑡)
1
𝟒. cos(𝑡 + 𝜋) = − cos(𝑡) 𝟓. sin(𝑡 + 𝜋) = − sin(𝑡) 𝟔. cos 𝑡 + 𝜋 = − sin(𝑡)
2
1 sin (𝑡)
𝟕. sin 𝑡 + 𝜋 = cos(𝑡) 𝟖. cos(−𝑡) = cos(𝑡) 𝟗. sin(−𝑡) = − sin(𝑡) 𝟏𝟎. tan(𝑡) =
2 cos (𝑡)
Kwadraat afsplitsen - : 𝑜𝑚: 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑜𝑝𝑠𝑐ℎ𝑟𝑖𝑗𝑣𝑒𝑛 𝑎𝑙𝑠 (𝑥 + 𝑐) + 𝑑
𝑣𝑜𝑜𝑟𝑏𝑒𝑒𝑙𝑑 1: 𝑥 + 6𝑥 = (𝑥 + 3) − 9 𝑣𝑜𝑜𝑟𝑏𝑒𝑒𝑙𝑑 2: 𝑥 − 8𝑥 − 5 = (𝑥 − 4) − 11
Basisvergelijkingen: -
𝟏. 𝐴 ∗ 𝐵 = 0 → 𝐴 = 0 𝑜𝑓 𝐵 = 0 𝟐. 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴 ∗ 𝐶 → 𝐴 = 0 𝑜𝑓 𝐵 = 𝐶 𝟑. 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐴 → 𝐴 = 0 𝑜𝑓 𝐵 = 1
𝐴
𝟒. 𝐴 = 𝐶 → 𝐴 = √𝐶 𝑜𝑓𝐴 = −√𝐶 𝟓. 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵 𝑜𝑓 𝐴 = −𝐵 𝟔. = 0 → 𝐴 = 0 𝑒𝑛 𝐵 ≠ 0
𝐵
𝐴 𝐴 𝐶 𝐴 𝐴
𝟕. = 𝐶 → 𝐴 = 𝐵 ∗ 𝐶 𝑚𝑒𝑡 𝐵 ≠ 0 𝟖. = → 𝐴 = 𝐶 𝟗. = → 𝐴 = 0 𝑜𝑓 𝐵 = 𝐶 𝟏𝟎. √𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 𝐵
𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝐶
Oplossen kwadratische vergelijking: -
𝟏. ℎ𝑎𝑎𝑘𝑗𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑘𝑒𝑛 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 → (𝑥 + 𝑐)(𝑥 + 𝑑), 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑏𝑖𝑗 𝑐 ∗ 𝑑 = 𝑏 𝑒𝑛 𝑐 + 𝑑 = 𝑎, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = −𝑐 𝑒𝑛 𝑥 = −𝑑
,𝟐. 𝑘𝑤𝑎𝑑𝑟𝑎𝑎𝑡 𝑎𝑓𝑠𝑝𝑙𝑖𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 → (𝑥 + 𝑐) + 𝑑, 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑏𝑖𝑗 2𝑐 = 𝑎 𝑒𝑛 𝑑 = 𝑐 + 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = −𝑐 ∓ √−𝑑
−𝑏 ± √𝐷
𝟑. 𝑎𝑏𝑐 − 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑥 = 𝐷 = 𝑏 −4∗𝑎∗𝑐
2∗𝑎
Oplossen wortel vergelijking: -
𝑠𝑡𝑎𝑝 1: 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑒𝑒𝑟 𝑠𝑡𝑎𝑝 2: 𝑘𝑤𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑒𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑏𝑒𝑟𝑒𝑘𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒𝑛 𝑠𝑡𝑎𝑝 3: 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑒𝑒𝑟 𝑤𝑒𝑙𝑘𝑒 𝑥 𝑘𝑙𝑜𝑝𝑡
,Functies en grafieken
Termen: -
Domein: waarbinnen alle x-waarden vallen Bereik: waarbinnen alle y-waarden vallen
Snijpunt y-as: x=0 invullen snijpunt x-as: y=0 invullen
Extreme waarden: f‘(x) = 0 geldt, voorbeelden: maximum, minimum, top, randpunt
Asymptoot: een lijn die de grafiek nadert perforatie: een gat in de grafiek
Puntsymmetrie:
( ) ( )
1. Ten opzichte van (0;0): bewijs f(x)=f(-x) 2. Ten opzichte van (p;q): bewijs =𝑞
Lijnsymmetrie:
1. Ten opzichte van de y-as: bewijs f(x)=f(-x) 2. Ten opzichte van x=p: bewijs f(p-a)=f(p+a)
Intervalnotaties: - 1. 〈𝒃, 𝒄〉 𝑎𝑙𝑠 𝑏 < 𝑥 < 𝑐 2. [𝒅, 𝒆] 𝑎𝑙𝑠 𝑑 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒 3. 〈𝒂, →〉 𝑎𝑙𝑠 𝑥 > 𝑎
Eerstegraads functies/ lineaire functies: -
𝑥 𝑦
𝟏. 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑑𝑎𝑛 𝑎 = 𝑅𝐶 𝟐. 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 = 𝑟 𝟑. + = 1, 𝑔𝑒𝑒𝑓𝑡 𝑠𝑛𝑖𝑗𝑝𝑢𝑛𝑡 𝑥 − 𝑎𝑠 = (𝑎, 0) 𝑦 − 𝑎𝑠 = (0, 𝑏)
𝑎 𝑏
Richtingscoëfficiënt - : RC, helling, hellingscoëfficiënt, hellingsgetal, richtingsgetal
∆𝑦 𝑦 − 𝑦 𝑑−𝑏
𝑟= = = 𝑎𝑙𝑠 𝑃(𝑎, 𝑏)𝑒𝑛 𝑄(𝑐, 𝑑).
∆𝑥 𝑥 − 𝑥 𝑐−𝑎
𝑟 > 0 → 𝑠𝑡𝑖𝑗𝑔𝑡 𝑟 < 0 → 𝑑𝑎𝑎𝑙𝑡 𝑟 = 0 → ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑎𝑙
Richtingshoek - :
𝑟 = tan(𝑎) 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑏𝑖𝑗 𝑎 = 𝑟𝑖𝑐ℎ𝑡𝑖𝑛𝑔𝑠ℎ𝑜𝑒𝑘 = ℎ𝑜𝑒𝑘 𝑡𝑢𝑠𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑒𝑣𝑒 𝑥 − 𝑎𝑠
𝑎 = 𝑡𝑎𝑛 (𝑟) 𝑒𝑛 𝑟 =
Eigenschappen van lijnen - :
Evenwijdig: RC is gelijk // loodrecht: RC ∗ RC = −1 𝑒𝑛 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 ⊥ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑑
Snijpunten lijnen: -
Gelijkstellen: 1. allebei vorm y= … 2. aan elkaar gelijkstellen en x loskrijgen 3. x invullen voor y
| |
Elimineren: 1. Allebei vorm ax+by=d 2 . | | zorgt er voor dat x of y wegvalt
Substitutie: 1. m: in y=… en n: in ax+by=d 2. m invullen in n voor x-en
Tweedegraads functies - : Zie hoe op te lossen op vorige pagina
a > 0 dalparabool en 𝐵 ≥ 𝑦 . a < 0 bergparabool en 𝐵 ≤ 𝑦
Discriminantregels - : D>0 2 snijpunten D=0 1 snijpunt D<0 0 snijpunten
Vormen - :
𝟏. 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑎𝑟𝑑: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝟐. 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑝) + 𝑞, 𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑠 𝑡𝑜𝑝 (𝑝, 𝑞)
,𝟑. 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐), 𝑑𝑎𝑛 𝑛𝑢𝑙𝑝𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛 𝑥 = 𝑏 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑐
Bijzondere situaties - :
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) → 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑜𝑓 𝑓(𝑥) = −𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ ℎ(𝑥) → 𝑓(𝑥) = 0 𝑜𝑓 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥)
Hogeregraads functies - : 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑒𝑛 𝑦 = 𝑎𝑥 𝑠𝑡𝑎𝑎𝑡 𝑏𝑙𝑧 32 , 𝑤𝑎𝑎𝑟𝑏𝑖𝑗 𝑛 ℎ𝑒𝑒𝑙 𝑔𝑒𝑡𝑎𝑙
regeltje: oneven = buigpunt
𝑥 = 𝑐 (𝑛 = 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑐 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑒𝑓) 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡: 2 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑥 = 𝑐 𝑜𝑓 𝑥 = −𝑐
𝑥 = 𝑐 (𝑛 = 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑐 = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑒𝑓) 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡: 0 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛
𝑥 = 𝑐 (𝑛 = 𝑜𝑛𝑒𝑣𝑒𝑛) 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡: 1 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑥 = 𝑐
𝑥 = 𝑐 (𝑛 = 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑐 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑒𝑓) 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡: 2 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑥 = 𝑐 𝑜𝑓 𝑥 = −𝑐
𝑥 = 𝑐 (𝑛 = 𝑒𝑣𝑒𝑛 𝑐 = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑒𝑓) 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡: 0 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛
𝑥 = 𝑐 (𝑛 = 𝑜𝑛𝑒𝑣𝑒𝑛) 𝑔𝑒𝑙𝑑𝑡: 1 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔 𝑥 = 𝑐
Regeltje: n<0 dan heeft de grafiek de x en y-as als asymptoot
Schetsen - : 1. grootste exponent even = paraboolvorm, oneven = slinger vorm 2. snijpunt y-as 3.
Geef toppen
Oplossen - :
Optie 1 Ontbinden: haal zo groot mogelijke macht buiten haakjes. Optie 2: maak xm= p, zodat
2egraads lijkt
Wortelfuncties - : 𝑦 = 𝑎 + 𝑏√𝑐 ∗ 𝑥 + 𝑑
Randpunt: punt waar deel onder de wortel = 0
Oplossen:
1. Haal wortel los aan 1 kant 2. Kwadrateer links en rechts en los op 3. Controleer welke klopt door in
te vullen
Gebroken functies - :
Limiet: 1. Kwadraten in haakjes zetten 2. Haakjes boven en onder gelijk wegstrepen 3. Limiet invullen
Perforatie: 1. als 2. Kwadraten in haakjes zetten 3. De gelijken =0 zorgt voor x van perforatie 4. Vul
x als limiet in als y-en gelijk = perforatie, anders = sprong.
Verticale asymptoot: 1. Bestaat als 2. Stel noemer gelijk aan 0 3. Check of teller ≠ 0 4. Conclusie
x=
Horizontale asymptoot: 1. Limiet 𝑥 → ∞ (bij gebroken is ∞ = −∞) 2. Haakjes/absoluutstrepen
wegwerken 3. Alles delen door de hoogste x-macht 4. = 0 5. Conclusie y=
, Scheve asymptoot: 1. Onderkant/bovenkant\waarmee je keer hebt gedaan 2. Wil tussen / \
wegkrijgen 3. Onderkant keer … doe je min tussen / \ 4. Totdat tussen / \ x-macht kleiner is dan
onderkant 5. Einde van tussen / \ is nieuwe bovenkant 6. Bij nieuwe breuk 𝑥 → ∞ meestal 0 en dan
waar je keer hebt gedaan is lijn van scheve asymptoot
( ) ( ) ( ) ( )
Oplossen: 𝟏. ( )
= 0 → 𝑓(𝑥) = 0 𝑚𝑖𝑡𝑠 𝑔(𝑥) ≠ 0 𝟐. ( )
= 𝑐 𝑜𝑚𝑠𝑐ℎ𝑟𝑖𝑗𝑣𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑡 ( )
= ( )
𝑑𝑎𝑛 𝑘𝑎𝑛 𝑗𝑒
𝑘𝑟𝑢𝑖𝑠𝑙𝑖𝑛𝑔𝑠𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑛𝑖𝑔𝑣𝑢𝑙𝑑𝑖𝑔𝑒𝑛
𝟑. 𝑏𝑖𝑗𝑧𝑜𝑛𝑑𝑒𝑟ℎ𝑒𝑑𝑒𝑛: 𝑛𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟𝑠 = → 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 = 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑠 𝑛𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟 ≠ 0, 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟𝑠 =→ 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 = 0 𝑜𝑓 𝑛𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟 = 𝑛𝑜𝑒𝑚𝑒𝑟
Absolute waarde functies - : |𝑓(𝑥)| = 𝑓(𝑥) 𝑎𝑙𝑠 𝑓(𝑥) > 0 𝑒𝑛 − 𝑓(𝑥)𝑎𝑙𝑠 𝑓(𝑥) < 0
Transformaties van y=f(x) - :
Spiegeling : 1. In de x-as: y=-f(x) 2. In de y-as : y= f(-x) 3. In de oorsprong y=-f(-x)
Verschuiving/translatie: verschuiving met (a,b) -> y= f(x-a) +b. a is horz. b is vert.
Vermenigvuldiging:
1. Met a ten opzichte x-as 𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑓(𝑥) 2. Met a ten opzichte y-as 𝑦 = 𝑓( 𝑥)
Inverse functie - : verwisseling van x en y. je weet dat domein en bereik verwisselen bij inverse
Afstand tussen grafieken - : 1. verticaal (d) d=|f(x)-g(x)| 2. Horizontaal (h) f(x)=g(x+h)
Exponentiële en logaritmische functies
exponentieel:
oplossen - : werk naar een van volgende: 1. Schrijf met zelfde grondtallen: 𝑎 = 𝑎
2. Naar 𝐴 = 𝑐 𝑎𝑙𝑠 𝑐 > 0 → 𝑥 = log (𝑐) 𝑎𝑙𝑠 𝑐 < 0 → 𝑔𝑒𝑒𝑛 𝑜𝑝𝑙𝑜𝑠𝑠𝑖𝑛𝑔 3. 𝑒 = 𝑐 → ln (𝑐) 4. 𝑚𝑎𝑎𝑘 𝑎 =
𝑝 𝑜𝑚 𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑒𝑒𝑛𝑣𝑜𝑢𝑑𝑖𝑔𝑒𝑛
Eigenschappen - :
Bij standaardfunctie y=𝑔 (met g>0) gelden: 1. Y>0 2. Als g>1 grafiek stijgt 3. Als 0<g<1 grafiek daalt
4. Y=0 is horz. Asymp.
Horizontale asymptoot - :
1. Als g>1 lim 𝑔 = 0 2. Als 0<g<1 lim 𝑔 = 0
→ →
Groeifuncties - :
𝑁 = 𝑏 ∗ 𝑔 b= begin hoeveelheid g= groeifactor t= tijd
g>1 betekent: exponentiele groei g<1 betekent: exponentieel verval
𝑔 = groeifactor per halve tijdseenheid
( ) ( )
Controleren of exponentiële groei met: ( )
= ( )
= 𝑔. Moet wel vaste tijdseenheid
