Samenvatting wiswijs
H1 Natuurlijke getallen, breuken
• Algemene regels
Verzameling van natuurlijke getallen {0,1,2,3..} heet ℕ
Getallen optellen: + termen = som & getallen aftrekken: - termen = verschil
Getallen vermenigvuldigen: x factoren = product & delen: deeltal:deler = quotiënt (delen
door 0 kan niet)
Optellen/vermenigvuldigen: wisseleigenschap vb. a+b=b+a of axb=bxa
En schakeleigenschap vb. (a+b)+c=a+(b+c) of (axb)xc=ax(bxc)
Voor vermenigvuldigen/delen ten opzichte van optellen/aftrekken: verdeeleigenschap
Vb. ax(b+c)=axb+axc of (b+c):a=b:a+c:a
12
12 = de teller, 5 = de noemer. Als de breuk dezelfde noemer heeft noem je het
5
gelijkwaardig. Gelijkwaardige breuken kun je optellen/aftrekken.
Breuken kan je altijd met elkaar vermenigvuldigen.
2 1 2 4 8 2
Delen: 3 : 4 = 3 X 1 = 3 = 23
17
17% = (0, procent)
100
17
17%o = 1000 (17 promille)
H2 Gehele getallen, rationale getallen
• Eigenschappen voor machten:
𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 𝑎𝑚 : 𝑏 𝑚 = (𝑎 ∶ 𝑏)𝑚
𝑎𝑚 . 𝑏 𝑚 = (𝑎 . 𝑏)𝑚
• Worteltrekken heeft te maken met machtsverheffen:
6
Vb. √64 = 2, want 26 = 64
𝒙
*Op je rekenmachine doe je 6 shift ^ (√ ) 64
Verzameling van alle gehele getallen {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…} heet ℤ
Rationale getallen (alle gehele en gebroken getallen) heet ℚ (getallen achter de komma
herhalen zich)
Aftrekken is hetzelfde als het tegengestelde optellen
a-b=a+-b a- -b= a+b
-5+-2= -7 -5+2= -3
Regels vermenigvuldigen en delen:
+x-=- -x-=+
+x+=+
+:-=- -:-=+
+:+=+
Verdeeleigenschap geldt ook bij ℤ en ℚ:
Specialel gevallen: -(a+b)=-a+-b=-a-b en -(a-b)=-a- -b=-a+b
Bij (-a-b) gewoon de -1 erbij bedenken = -1(-a-b)
• Machtsverheffen
(−𝑎)𝑛 =𝑎𝑛 als n even is
(−𝑎)𝑛 =−𝑎𝑛 als n oneven is
*Machten tussen haakjes in de rekenmachine!
1
, • Volgorde bewerkingen:
1 Wat tussen haakjes staat, boven/onder deelstreep of onder de wortelteken
2 Machtsverheffen
3 Vermenigvuldigen zonder . of x
4 Worteltrekken en het tegengestelde nemen
5 Vermenigvuldigen met . of x en delen
6 Optellen en aftrekken
Miljoen = 106
Miljard = 109
Biljoen = 1012
Een kwadraat is nooit negatief.
H3 Reële getallen
Rationale en niet-rationale getallen (zoals wortels) heten samen reële getallen. De
verzameling daarvan heet ℝ
Irrationale getallen kan je niet schrijven als een gewone breuk, de getallen achter de komma
herhalen zich niet. Vb. √2 = 1,41421356232… en Π
• Interval
Verzameling van alle getallen met een bepaalde eigenschap kun je noteren als {x|…}
Vb. {x | x > 7}
≥ betekent ‘is groter dan of gelijk aan’
≤ betekent ‘is kleiner dan of gelijk aan’
7 < x < 11 betekent x > 7 én x < 11 (dus x zit tussen 7 en 11)
Intervallen zijn aaneengesloten stukken van ℝ
<7, 11> = {x|7< x <11}
[7,11] = {x|7≤ x ≤11}
[7,11> = {x|7≤ x <11}
<7, →> = {x| x > 7}
<,11] = {x| x ≤ 11}
• Wortels
Alleen gelijksoortige wortelvormen (met hetzelfde onder het wortelteken) kun je bij elkaar
optellen of van elkaar aftrekken: 3√7- 5√7 = -2√7
Ongelijksoortige wortelvormen kun je soms gelijksoortig maken.
Wortels kun je met elkaar vermenigvuldigen en op elkaar delen.
Vb. √7 x √11 = √77 en √50 : √2 = √25 (=5)
Wortels vereenvoudig je indien mogelijk.
Vb. √98 = √49 𝑥 2 = √49 x √2 = 7√2
Wortels met een even macht uit een negatief getal bestaat niet.
Wortels met een even macht uit een positief getal zijn positief.
Wortels met een oneven macht bestaan altijd.
𝑥 2 uit de kwardraat halen, dan doe je √𝑥
𝑥 3 uit de macht halen, dan doe je 3√𝑥
𝑛 𝑛 𝑛 2 2
Regel: ( √𝑎)𝑛 = √𝑎 = a Vb. ( √5)2 = √5 x √5 = √55 = √5 = 5
2
, √𝑎 𝑎 √28 28
= √𝑏 Vb. = √ 7 = √4 = 2
√𝑏 √7
Aantal voorbeelden:
1
1. Schrijf √7 9 als een gebroken getal:
2. Schrijf zonder wortel in de noemer en zonder breuk onder het wortelteken
3. Schrijf in de kortst mogelijke vorm.
Dus
4. Schrijf zonder wortel in de noemer.
5. Schrijf zonder wortel:
2 2𝑥√5 2𝑥√5 2
= = = 5 √5
√5 √5𝑥√5 5
6. Stel je hebt €200,- en je hebt €216,32 in 2 jaar, hoeveel rente heb je per jaar?
216,32:200=108,16 dus 8,16% per jaar = factor 1,0816= 𝑡 2 , dus √1,0816 = 1,04 dus 4% per
jaar.
H4 Eerstegraads vergelijkingen en ongelijkheden
Als er niks staat vermeld bij een grondverzameling waarbij een oplossing kan gekozen
worden, is de grondverzameling ℝ
𝑦1
Stelsel = {
𝑦2
Wanneer je bij een vergelijking het linker- en rechterlid eenzelfde getal
optelt/aftrekt/vermenigvuldigt (alleen niet keer 0) krijg je een gelijkwaardige
vergelijking/ongelijkheid. Bij positieve vermenigvuldiging heb je een ongelijkheid, maar bij
negatieve vermenigvuldiging moet het ongelijkheidsteken omgeklapt worden.
Delen/vermenigvuldigen met negatieve getal draait het < of > teken om.
Bij een vergelijking met haakjes moet je het eerst uit de haakjes halen, voordat je kan kijken
welke graad de vergelijking heeft!
2 methodes om op te lossen:
3
H1 Natuurlijke getallen, breuken
• Algemene regels
Verzameling van natuurlijke getallen {0,1,2,3..} heet ℕ
Getallen optellen: + termen = som & getallen aftrekken: - termen = verschil
Getallen vermenigvuldigen: x factoren = product & delen: deeltal:deler = quotiënt (delen
door 0 kan niet)
Optellen/vermenigvuldigen: wisseleigenschap vb. a+b=b+a of axb=bxa
En schakeleigenschap vb. (a+b)+c=a+(b+c) of (axb)xc=ax(bxc)
Voor vermenigvuldigen/delen ten opzichte van optellen/aftrekken: verdeeleigenschap
Vb. ax(b+c)=axb+axc of (b+c):a=b:a+c:a
12
12 = de teller, 5 = de noemer. Als de breuk dezelfde noemer heeft noem je het
5
gelijkwaardig. Gelijkwaardige breuken kun je optellen/aftrekken.
Breuken kan je altijd met elkaar vermenigvuldigen.
2 1 2 4 8 2
Delen: 3 : 4 = 3 X 1 = 3 = 23
17
17% = (0, procent)
100
17
17%o = 1000 (17 promille)
H2 Gehele getallen, rationale getallen
• Eigenschappen voor machten:
𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 𝑎𝑚 : 𝑏 𝑚 = (𝑎 ∶ 𝑏)𝑚
𝑎𝑚 . 𝑏 𝑚 = (𝑎 . 𝑏)𝑚
• Worteltrekken heeft te maken met machtsverheffen:
6
Vb. √64 = 2, want 26 = 64
𝒙
*Op je rekenmachine doe je 6 shift ^ (√ ) 64
Verzameling van alle gehele getallen {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…} heet ℤ
Rationale getallen (alle gehele en gebroken getallen) heet ℚ (getallen achter de komma
herhalen zich)
Aftrekken is hetzelfde als het tegengestelde optellen
a-b=a+-b a- -b= a+b
-5+-2= -7 -5+2= -3
Regels vermenigvuldigen en delen:
+x-=- -x-=+
+x+=+
+:-=- -:-=+
+:+=+
Verdeeleigenschap geldt ook bij ℤ en ℚ:
Specialel gevallen: -(a+b)=-a+-b=-a-b en -(a-b)=-a- -b=-a+b
Bij (-a-b) gewoon de -1 erbij bedenken = -1(-a-b)
• Machtsverheffen
(−𝑎)𝑛 =𝑎𝑛 als n even is
(−𝑎)𝑛 =−𝑎𝑛 als n oneven is
*Machten tussen haakjes in de rekenmachine!
1
, • Volgorde bewerkingen:
1 Wat tussen haakjes staat, boven/onder deelstreep of onder de wortelteken
2 Machtsverheffen
3 Vermenigvuldigen zonder . of x
4 Worteltrekken en het tegengestelde nemen
5 Vermenigvuldigen met . of x en delen
6 Optellen en aftrekken
Miljoen = 106
Miljard = 109
Biljoen = 1012
Een kwadraat is nooit negatief.
H3 Reële getallen
Rationale en niet-rationale getallen (zoals wortels) heten samen reële getallen. De
verzameling daarvan heet ℝ
Irrationale getallen kan je niet schrijven als een gewone breuk, de getallen achter de komma
herhalen zich niet. Vb. √2 = 1,41421356232… en Π
• Interval
Verzameling van alle getallen met een bepaalde eigenschap kun je noteren als {x|…}
Vb. {x | x > 7}
≥ betekent ‘is groter dan of gelijk aan’
≤ betekent ‘is kleiner dan of gelijk aan’
7 < x < 11 betekent x > 7 én x < 11 (dus x zit tussen 7 en 11)
Intervallen zijn aaneengesloten stukken van ℝ
<7, 11> = {x|7< x <11}
[7,11] = {x|7≤ x ≤11}
[7,11> = {x|7≤ x <11}
<7, →> = {x| x > 7}
<,11] = {x| x ≤ 11}
• Wortels
Alleen gelijksoortige wortelvormen (met hetzelfde onder het wortelteken) kun je bij elkaar
optellen of van elkaar aftrekken: 3√7- 5√7 = -2√7
Ongelijksoortige wortelvormen kun je soms gelijksoortig maken.
Wortels kun je met elkaar vermenigvuldigen en op elkaar delen.
Vb. √7 x √11 = √77 en √50 : √2 = √25 (=5)
Wortels vereenvoudig je indien mogelijk.
Vb. √98 = √49 𝑥 2 = √49 x √2 = 7√2
Wortels met een even macht uit een negatief getal bestaat niet.
Wortels met een even macht uit een positief getal zijn positief.
Wortels met een oneven macht bestaan altijd.
𝑥 2 uit de kwardraat halen, dan doe je √𝑥
𝑥 3 uit de macht halen, dan doe je 3√𝑥
𝑛 𝑛 𝑛 2 2
Regel: ( √𝑎)𝑛 = √𝑎 = a Vb. ( √5)2 = √5 x √5 = √55 = √5 = 5
2
, √𝑎 𝑎 √28 28
= √𝑏 Vb. = √ 7 = √4 = 2
√𝑏 √7
Aantal voorbeelden:
1
1. Schrijf √7 9 als een gebroken getal:
2. Schrijf zonder wortel in de noemer en zonder breuk onder het wortelteken
3. Schrijf in de kortst mogelijke vorm.
Dus
4. Schrijf zonder wortel in de noemer.
5. Schrijf zonder wortel:
2 2𝑥√5 2𝑥√5 2
= = = 5 √5
√5 √5𝑥√5 5
6. Stel je hebt €200,- en je hebt €216,32 in 2 jaar, hoeveel rente heb je per jaar?
216,32:200=108,16 dus 8,16% per jaar = factor 1,0816= 𝑡 2 , dus √1,0816 = 1,04 dus 4% per
jaar.
H4 Eerstegraads vergelijkingen en ongelijkheden
Als er niks staat vermeld bij een grondverzameling waarbij een oplossing kan gekozen
worden, is de grondverzameling ℝ
𝑦1
Stelsel = {
𝑦2
Wanneer je bij een vergelijking het linker- en rechterlid eenzelfde getal
optelt/aftrekt/vermenigvuldigt (alleen niet keer 0) krijg je een gelijkwaardige
vergelijking/ongelijkheid. Bij positieve vermenigvuldiging heb je een ongelijkheid, maar bij
negatieve vermenigvuldiging moet het ongelijkheidsteken omgeklapt worden.
Delen/vermenigvuldigen met negatieve getal draait het < of > teken om.
Bij een vergelijking met haakjes moet je het eerst uit de haakjes halen, voordat je kan kijken
welke graad de vergelijking heeft!
2 methodes om op te lossen:
3
