Wiskunde B VWO5 hoofdstuk 10: Meetkunde met vectoren
Een vector is een lijnstuk met een richting.
De lengte van de vector ( qp )=|( qp )|= √ p +q )
2 2
Gelijke vectoren: dezelfde richting en lengte.
Manieren voor het tekenen van een somvector:
De parellellogramconstructie
De kop-staartconstructie
( qp) en−( qp ) heten tegengestelde vectoren .
Tegengestelde vectoren hebben dezelfde lengte en tegengestelde richting
Een vectorvoorstelling van de lijn door de punten A en B is: ( xy )=⃗a + λ ¿
De lijn l gaat door de punten P(3,4) en Q(5,6)
a) Stel een vectorvoorstelling op van de lijn l
L : x =⃗p + λ ( ⃗q−⃗p )
() L: x = 3 +λ 2
() () () Lijn L is ook te
y y 4 2
schrijven als:
⃗p= 3 en ( q⃗ −⃗p )= 5 = 3 = 2
() () () ()
4 6 4 2 x=3+2 λ y=4+ 2 λ
b) Onderzoek of het punt A(27,28) op l ligt
x=27 → 3+2 λ=27
2 λ=24
λ=12 λ=12→ y=4+ 2∙ 12=28 dus punt A ligt op l
−10 en 2 zijn evenwijdig . Notatie : −10 ¿
(
De vectoren 15 ) (−3) ( )
15 −¿ 2 ¿
(−3 )
, De afstand van het punt P(Xp, Yp) tot de lijn k: ax+ by= c
Gegeven is punt A(5 ½ , 3 ).
½ Stel vergelijkingen op van lijnen k door het punt (6,0) en op afstand
√ 10 van A liggen.
Stel: k : y=ax+ b
( 6.0 ) op k geeft 6 a+b=0 b=−6 a
k =ax−6 a ofwel k : ax− y−6 a=0
1 1
d ( A , k )= √10 geeft
[
5 a−3 −6 a
2 2
=√ 10
]
√ a2 +1
−1 1
[ 2 ] 2
a−3 =√ 10 a +10 kwadrateren geeft 39 a2−14 a−9=0
2
[ aXp+bYp−c ]
d ( P , k )=
√ a2 +b 2
Gegeven is de cirkel c : x2 + y 2−4 x−6 y −12=0 en het punt A(9,2). Stel de vergelijkingen op van
de lijnen:
a) K1 en k2 met rc ¾ die c raken
(x−2)2+( y −3)2 =25 M(2,3) en r= 5
3
stel k : y= x +b 3 x−4 y+ 4 b=0
4
[ 3∙ 2−4 ∙ 3+4 b ]
d ( M , k )=r geeft =5
√ 9+16
[ 4 b−6 ] =25
4 b−6=25 v 4 b−6=−25
4 b=31 v 4 b=−19
k 1 :3 x −4 y +31=0 en k 2:3 x−4 y−19=0
b) L1 en l2 die door A gaan en c raken
stel l: y =ax +b A ( 9,2 ) op l geeft b=2−9 a
l : y=ax +2−9 a l :ax − y+ 2−9 a=0
[ 2 a−3+2=9 a ]
d ( M , l )=r geeft =5
√ a2 + 1
2
12 a +7 a−12=0 ABC-formule geeft a= -1 1/3 v a=3/4
Het inproduct van de vectoren a⃗ = ( ayax ) en b⃗ =( bxby ) is a ∙ b⃗ = ax bx + ay by
⃗
a⃗ ⃗b
Voor de hoek tussen de vectoren a⃗ en b⃗ geldt dat cos (∠( ⃗a , ⃗b)¿=
[ ⃗a ] [ b⃗ ]
[⃗
rk ⃗rl ]
Voor hoek tussen twee snijdende lijnen k en l: cos (∠(k ,l)¿=[ cos(∠ ( rk ⃗ )) ]
⃗ , rl
[⃗
rk ] [ ⃗
rl ]
Een vector is een lijnstuk met een richting.
De lengte van de vector ( qp )=|( qp )|= √ p +q )
2 2
Gelijke vectoren: dezelfde richting en lengte.
Manieren voor het tekenen van een somvector:
De parellellogramconstructie
De kop-staartconstructie
( qp) en−( qp ) heten tegengestelde vectoren .
Tegengestelde vectoren hebben dezelfde lengte en tegengestelde richting
Een vectorvoorstelling van de lijn door de punten A en B is: ( xy )=⃗a + λ ¿
De lijn l gaat door de punten P(3,4) en Q(5,6)
a) Stel een vectorvoorstelling op van de lijn l
L : x =⃗p + λ ( ⃗q−⃗p )
() L: x = 3 +λ 2
() () () Lijn L is ook te
y y 4 2
schrijven als:
⃗p= 3 en ( q⃗ −⃗p )= 5 = 3 = 2
() () () ()
4 6 4 2 x=3+2 λ y=4+ 2 λ
b) Onderzoek of het punt A(27,28) op l ligt
x=27 → 3+2 λ=27
2 λ=24
λ=12 λ=12→ y=4+ 2∙ 12=28 dus punt A ligt op l
−10 en 2 zijn evenwijdig . Notatie : −10 ¿
(
De vectoren 15 ) (−3) ( )
15 −¿ 2 ¿
(−3 )
, De afstand van het punt P(Xp, Yp) tot de lijn k: ax+ by= c
Gegeven is punt A(5 ½ , 3 ).
½ Stel vergelijkingen op van lijnen k door het punt (6,0) en op afstand
√ 10 van A liggen.
Stel: k : y=ax+ b
( 6.0 ) op k geeft 6 a+b=0 b=−6 a
k =ax−6 a ofwel k : ax− y−6 a=0
1 1
d ( A , k )= √10 geeft
[
5 a−3 −6 a
2 2
=√ 10
]
√ a2 +1
−1 1
[ 2 ] 2
a−3 =√ 10 a +10 kwadrateren geeft 39 a2−14 a−9=0
2
[ aXp+bYp−c ]
d ( P , k )=
√ a2 +b 2
Gegeven is de cirkel c : x2 + y 2−4 x−6 y −12=0 en het punt A(9,2). Stel de vergelijkingen op van
de lijnen:
a) K1 en k2 met rc ¾ die c raken
(x−2)2+( y −3)2 =25 M(2,3) en r= 5
3
stel k : y= x +b 3 x−4 y+ 4 b=0
4
[ 3∙ 2−4 ∙ 3+4 b ]
d ( M , k )=r geeft =5
√ 9+16
[ 4 b−6 ] =25
4 b−6=25 v 4 b−6=−25
4 b=31 v 4 b=−19
k 1 :3 x −4 y +31=0 en k 2:3 x−4 y−19=0
b) L1 en l2 die door A gaan en c raken
stel l: y =ax +b A ( 9,2 ) op l geeft b=2−9 a
l : y=ax +2−9 a l :ax − y+ 2−9 a=0
[ 2 a−3+2=9 a ]
d ( M , l )=r geeft =5
√ a2 + 1
2
12 a +7 a−12=0 ABC-formule geeft a= -1 1/3 v a=3/4
Het inproduct van de vectoren a⃗ = ( ayax ) en b⃗ =( bxby ) is a ∙ b⃗ = ax bx + ay by
⃗
a⃗ ⃗b
Voor de hoek tussen de vectoren a⃗ en b⃗ geldt dat cos (∠( ⃗a , ⃗b)¿=
[ ⃗a ] [ b⃗ ]
[⃗
rk ⃗rl ]
Voor hoek tussen twee snijdende lijnen k en l: cos (∠(k ,l)¿=[ cos(∠ ( rk ⃗ )) ]
⃗ , rl
[⃗
rk ] [ ⃗
rl ]
