Kennisbasis Reken-Wiskunde
1 Hele getallen
Positiestelsel: de waarde van een cijfer wordt niet alleen bepaald door het cijfer zelf, maar ook door
de plaats waar dat cijfer in het getal staat (3273, eerste 3 is meer waar dan de laatste 3).
10 is het basisgetal. 103 betekent 10 x 10 x 10.
Visualiseren van het positiestelsel:
- Context: het gebruik van geldstukken, maakt de verschillende waarden van het positiestelsel
inzichtelijk.
- MAB-materiaal: tientallig stelsel is weergegeven in losse blokjes, staafjes, plaatjes en
kubussen.
- Model: getallenlijn, belangrijk om inzicht te krijgen in het positiestelsel. Het gaat hierbij ook
om welke plaats een cijfer heeft binnen de verzameling van alle cijfers (waarde).
Modellen voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
Optellen:
- Groepjesmodel
- Strook/staaf
- Honderdvel: rekenen tot honderd
- Getallenlijn: brengt denkstappen in beeld
- Commutatieve eigenschap: (wisseleigenschap) 7 + 8 is net zoveel als 8+7
Vier verschillende betekenissen van aftrekken:
1. Splitsen: als we een hoeveelheid hebben, waarbij we willen zien hoeveel er overblijft als we
alvast een groepje benoemen. Bijv. in een doos zitten 18 knikkers, hoeveel blijven er over als
we er 6 uithalen?
2. Vermindering: terugtellen. Bijv. een dvd-speler kost €135,-. Hij wordt 19 euro goedkoper.
Wat is de nieuwe prijs?
3. Vergelijking: verschil tussen twee hoeveelheden. Wat is meer, wat is minder.
4. Het omgekeerde (inverse) van optellen: hoeveel moet er nog bij om een bepaalde
hoeveelheid te krijgen. Een fiets kost €530 euro. Ik heb al €375 euro. Hoeveel geld moet ik
nog sparen? De context gaat over erbij.
Vermenigvuldigen:
1. Herhaald optellen: bijv. 6 rijtjes van 4 flesjes (een krat bier). Modellen: rechthoekmodel en
groepjesmodel.
2. Vermenigvuldigen met een factor: bijv. een foto een aantal keer vergroten, iets verdubbelen.
Delen:
1. Eerlijk verdelen en uitdelen: gelijk verdelen van een hoeveelheid. Bijv. 24 knikkers verdelen
over 6 kinderen.
2. Het omgekeerde van vermenigvuldigen: bijv. maak bakjes van 6 appels uit een zak van 24
appels. Dit is herhaald aftrekken, er wordt steeds 6 van het totaal weggehaald.
3. Ratio (verhouding): twee hoeveelheden worden met elkaar vergeleken. Bijv. Sophie verdient
drie keer zo veel als Gijs. De verhouding is 3 staat tot 1, 3:1.
,Handig rekenen: eigenschappen van de bewerkingen en strategieën:
1. de commutatieve of wisseleigenschap: 3 + 4 = 4 + 3 ; 3 x 4 = 4 x 3, geldt alleen voor optellen
en vermenigvuldigen.
2. de distributieve of verdeeleigenschap: 8 x ( 5 + 7) = (8 x 5) + (8 x 7)
3. de associatieve of schakeleigenschap: (3 + 4) + 5 + = = 3 + (4 + 5); (3 x 4) x 4 = 3 x (4 x 4).
Volgorde waarin je het uitrekent.
4. de inverse eigenschap: 24 : 3 = 8 dus 8 x 3 = 24; 28 + 4 = 32 dus 32 – 24 = 4. Aftrekken het
omgekeerde van optellen, delen het omgekeerde van vermenigvuldigen.
5. compenseren of termen veranderen: 124 + 189 = 113 + 200; 2876 – 387 = 2889 – 400
Direct compenseren: de aanpassingen die worden gemaakt worden direct verwerkt.
Indirect compenseren: de aanpassing gebeurt achteraf.
6. groter en kleiner maken bij vermenigvuldigen: 48 x 75 = 12 x 300. Halveren/verdubbelen.
Omvormen/transformeren naar een gemakkelijkere opgave.
7. groter of kleiner maken bij delen: 336 : 12 = 112 : 4. Verhouding die intact blijft als de
verhoudingsgetallen met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd of door hetzelfde getal
worden gedeeld.
Kenmerken van deelbaarheid
Een getal is als … Bewijs
deelbaar
door …
2 Het eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8 Alle tienvouden zijn deelbaar door 2,
dus er hoeft alleen naar het laatste
getal gekeken te worden.
3 De som van de cijfers van het getal Het bewijs is te omvangrijk om te
deelbaar is door 3. Bijv: 34567 is niet beschrijven. Zie repertoire.
deelbaar door 3, want 3 + 4 + 5 + 6 + 7=
25, en 25 kan niet gedeeld worden door
3.
4 Het getal gevormd door de laatste cijfers Alle honderdvouden zijn deelbaar door
deelbaar is door 4. 2356 is deelbaar door 4, dus er hoeft alleen maar naar de
4 want 56 is deelbaar door 4. laatste twee cijfers gekeken te worden.
5 Het eindigt op 0 of 5. Alle tienvouden zijn deelbaar door 5,
dus er hoeft alleen naar het laatste
getal gekeken te worden.
6 Het getal deelbaar is door 2 en door 3, Als A deelbaar is door 6 dan geldt: A= 6
want dan is het ook deelbaar door 6. x B = 2 x 3 x B. het rechterdeel kan
1368 is deelbaar door 6, want het is worden gedeeld door 2, 3 en 6. Dat
deelbaar door 2 en door 3 (1 + 3 + 6 + 8= moet dus ook voor het midden- en
18). linkerdeel gelden.
7 Het getal, dat gevonden wordt door het Bewijs is uitvoerig.
laatste cijfer weg te laten en tweemaal af
te trekken van het getal gevormd door de
overblijvende cijfers, deelbaar is door 7.
364 is deelbaar door 7, want 36 – 2 x 4=
28 is deelbaar door 7.
8 Het getal gevormd door de laatste drie Alle duizendvouden zijn deelbaar door
cijfers deelbaar is door 8. 8, dus er hoeft alleen naar de laatste
drie cijfers gekeken te worden.
, 9 De som van de cijfers deelbaar is door 9. Zie repertoire.
10 Het eindigt op 0. Alle tienvouden zijn deelbaar door 10.
Volgorde van de bewerkingen:
- bewerkingen tussen haakjes worden altijd het eerst uitgerekend.
- Daarna volgen machtsverheffen en worteltrekken.
- Vermenigvuldigen en delen gaan vóór optellen en aftrekken.
- Vermenigvuldigen en delen gebeurt in de volgorde waarin het staat.
- Optellen en aftrekken gebeurt in de volgorde waarin het staat.
Cijferen: volgens vaste richtlijnen (algoritmen) uitrekenen van opgaven. Onder elkaar rekenen.
Cijferen gebeurt met grote getallen en als handig rekenen geen uitkomst biedt.
- Kolomsgewijs rekenen: gebaseerd op het splitsen van de getallen in, bijv. honderdtallen,
tientallen en eenheden, deze bij elkaar optellen en dan het geheel weer samenvoegen
(verdeeleigenschap/distributieve eigenschap).
Kolomsgewijs A is de meest uitvoerige aanpak van kolomsgewijs optellen.
Kolomsgewijs B is een directe verkorting van A
Kolomsgewijs C werkt alvast van rechts naar links, om beter aan te sluiten bij het latere
cijferen.
Standaardalgoritme: tussenuitkomsten worden cijferen opgeteld.
(positieschema verduidelijkt het inzicht met waardes)
Drie niveaus van staartdelingen:
1 Hele getallen
Positiestelsel: de waarde van een cijfer wordt niet alleen bepaald door het cijfer zelf, maar ook door
de plaats waar dat cijfer in het getal staat (3273, eerste 3 is meer waar dan de laatste 3).
10 is het basisgetal. 103 betekent 10 x 10 x 10.
Visualiseren van het positiestelsel:
- Context: het gebruik van geldstukken, maakt de verschillende waarden van het positiestelsel
inzichtelijk.
- MAB-materiaal: tientallig stelsel is weergegeven in losse blokjes, staafjes, plaatjes en
kubussen.
- Model: getallenlijn, belangrijk om inzicht te krijgen in het positiestelsel. Het gaat hierbij ook
om welke plaats een cijfer heeft binnen de verzameling van alle cijfers (waarde).
Modellen voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen
Optellen:
- Groepjesmodel
- Strook/staaf
- Honderdvel: rekenen tot honderd
- Getallenlijn: brengt denkstappen in beeld
- Commutatieve eigenschap: (wisseleigenschap) 7 + 8 is net zoveel als 8+7
Vier verschillende betekenissen van aftrekken:
1. Splitsen: als we een hoeveelheid hebben, waarbij we willen zien hoeveel er overblijft als we
alvast een groepje benoemen. Bijv. in een doos zitten 18 knikkers, hoeveel blijven er over als
we er 6 uithalen?
2. Vermindering: terugtellen. Bijv. een dvd-speler kost €135,-. Hij wordt 19 euro goedkoper.
Wat is de nieuwe prijs?
3. Vergelijking: verschil tussen twee hoeveelheden. Wat is meer, wat is minder.
4. Het omgekeerde (inverse) van optellen: hoeveel moet er nog bij om een bepaalde
hoeveelheid te krijgen. Een fiets kost €530 euro. Ik heb al €375 euro. Hoeveel geld moet ik
nog sparen? De context gaat over erbij.
Vermenigvuldigen:
1. Herhaald optellen: bijv. 6 rijtjes van 4 flesjes (een krat bier). Modellen: rechthoekmodel en
groepjesmodel.
2. Vermenigvuldigen met een factor: bijv. een foto een aantal keer vergroten, iets verdubbelen.
Delen:
1. Eerlijk verdelen en uitdelen: gelijk verdelen van een hoeveelheid. Bijv. 24 knikkers verdelen
over 6 kinderen.
2. Het omgekeerde van vermenigvuldigen: bijv. maak bakjes van 6 appels uit een zak van 24
appels. Dit is herhaald aftrekken, er wordt steeds 6 van het totaal weggehaald.
3. Ratio (verhouding): twee hoeveelheden worden met elkaar vergeleken. Bijv. Sophie verdient
drie keer zo veel als Gijs. De verhouding is 3 staat tot 1, 3:1.
,Handig rekenen: eigenschappen van de bewerkingen en strategieën:
1. de commutatieve of wisseleigenschap: 3 + 4 = 4 + 3 ; 3 x 4 = 4 x 3, geldt alleen voor optellen
en vermenigvuldigen.
2. de distributieve of verdeeleigenschap: 8 x ( 5 + 7) = (8 x 5) + (8 x 7)
3. de associatieve of schakeleigenschap: (3 + 4) + 5 + = = 3 + (4 + 5); (3 x 4) x 4 = 3 x (4 x 4).
Volgorde waarin je het uitrekent.
4. de inverse eigenschap: 24 : 3 = 8 dus 8 x 3 = 24; 28 + 4 = 32 dus 32 – 24 = 4. Aftrekken het
omgekeerde van optellen, delen het omgekeerde van vermenigvuldigen.
5. compenseren of termen veranderen: 124 + 189 = 113 + 200; 2876 – 387 = 2889 – 400
Direct compenseren: de aanpassingen die worden gemaakt worden direct verwerkt.
Indirect compenseren: de aanpassing gebeurt achteraf.
6. groter en kleiner maken bij vermenigvuldigen: 48 x 75 = 12 x 300. Halveren/verdubbelen.
Omvormen/transformeren naar een gemakkelijkere opgave.
7. groter of kleiner maken bij delen: 336 : 12 = 112 : 4. Verhouding die intact blijft als de
verhoudingsgetallen met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd of door hetzelfde getal
worden gedeeld.
Kenmerken van deelbaarheid
Een getal is als … Bewijs
deelbaar
door …
2 Het eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8 Alle tienvouden zijn deelbaar door 2,
dus er hoeft alleen naar het laatste
getal gekeken te worden.
3 De som van de cijfers van het getal Het bewijs is te omvangrijk om te
deelbaar is door 3. Bijv: 34567 is niet beschrijven. Zie repertoire.
deelbaar door 3, want 3 + 4 + 5 + 6 + 7=
25, en 25 kan niet gedeeld worden door
3.
4 Het getal gevormd door de laatste cijfers Alle honderdvouden zijn deelbaar door
deelbaar is door 4. 2356 is deelbaar door 4, dus er hoeft alleen maar naar de
4 want 56 is deelbaar door 4. laatste twee cijfers gekeken te worden.
5 Het eindigt op 0 of 5. Alle tienvouden zijn deelbaar door 5,
dus er hoeft alleen naar het laatste
getal gekeken te worden.
6 Het getal deelbaar is door 2 en door 3, Als A deelbaar is door 6 dan geldt: A= 6
want dan is het ook deelbaar door 6. x B = 2 x 3 x B. het rechterdeel kan
1368 is deelbaar door 6, want het is worden gedeeld door 2, 3 en 6. Dat
deelbaar door 2 en door 3 (1 + 3 + 6 + 8= moet dus ook voor het midden- en
18). linkerdeel gelden.
7 Het getal, dat gevonden wordt door het Bewijs is uitvoerig.
laatste cijfer weg te laten en tweemaal af
te trekken van het getal gevormd door de
overblijvende cijfers, deelbaar is door 7.
364 is deelbaar door 7, want 36 – 2 x 4=
28 is deelbaar door 7.
8 Het getal gevormd door de laatste drie Alle duizendvouden zijn deelbaar door
cijfers deelbaar is door 8. 8, dus er hoeft alleen naar de laatste
drie cijfers gekeken te worden.
, 9 De som van de cijfers deelbaar is door 9. Zie repertoire.
10 Het eindigt op 0. Alle tienvouden zijn deelbaar door 10.
Volgorde van de bewerkingen:
- bewerkingen tussen haakjes worden altijd het eerst uitgerekend.
- Daarna volgen machtsverheffen en worteltrekken.
- Vermenigvuldigen en delen gaan vóór optellen en aftrekken.
- Vermenigvuldigen en delen gebeurt in de volgorde waarin het staat.
- Optellen en aftrekken gebeurt in de volgorde waarin het staat.
Cijferen: volgens vaste richtlijnen (algoritmen) uitrekenen van opgaven. Onder elkaar rekenen.
Cijferen gebeurt met grote getallen en als handig rekenen geen uitkomst biedt.
- Kolomsgewijs rekenen: gebaseerd op het splitsen van de getallen in, bijv. honderdtallen,
tientallen en eenheden, deze bij elkaar optellen en dan het geheel weer samenvoegen
(verdeeleigenschap/distributieve eigenschap).
Kolomsgewijs A is de meest uitvoerige aanpak van kolomsgewijs optellen.
Kolomsgewijs B is een directe verkorting van A
Kolomsgewijs C werkt alvast van rechts naar links, om beter aan te sluiten bij het latere
cijferen.
Standaardalgoritme: tussenuitkomsten worden cijferen opgeteld.
(positieschema verduidelijkt het inzicht met waardes)
Drie niveaus van staartdelingen:
