Samenvatting Getal en Ruimte VWO Wiskunde B Deel 2 - Hoofdstuk 7

§7.1 Eenheidscirkel en radiaal

Theorie A - Definitie van sinus, cosinus en tangens

De cirkel met middelpunt O(0,0) en met straal 1 heet de
eenheidscirkel. Het punt dat over de cirkel heen beweegt is punt
P. Punt P begint in A(1,0).

De hoek AOP noemen we de draaiingshoek van punt P.
Deze geven we aan met ⍺.

Als P tegen de wijzers van de klok in draait, is ⍺ positief.
Als P met de wijzers van de klok mee draait, is ⍺ negatief

In de eenheidscirkel geldt:
sin(⍺) = yp
cos(⍺) = xp
tan(⍺) = yp/xp

Ezelbruggetje:
De sYnus lees je af op de Y-as.

vb.
sin(0°) = 0 cos(0°) = 1 sin(90°) = 1 cos(90°) = 0
sin(270°) = -1 cos(270°) = 0 sin(360°) = 0 tan(360°) = 0/1 = 0

, Theorie B - Hoek berekenen bij gegeven xp of yp

Bij een gegeven xp of yp kan je de ⍺ berekenen.
Je berekent ⍺ op de GR met cos^-1 (xp) of cos^-1 (yp)

vb.

cos(⍺) = 0,63
cos^-1 (⍺) = 0,63
⍺ = 51°




Ook bij de eenheidscirkel hiernaast is cos(⍺) = 0,63
Maar de hoek ⍺ = -51° krijg je niet met de GR.
Dit moet je zelf bedenken, hierbij moet je symmetrie
gebruiken.

⍺ = 360° - 51° = 309°


Theorie C - De hoekeenheid radiaal

De hoekmaat radiaal is gedefinieerd als:
Bij een booglengte van 1 op de eenheidscirkel een middelpuntshoek van 1 radiaal
Bij een booglengte van 2 op de eenheidscirkel een middelpuntshoek van 2 radialen
Bij een booglengte van 𝛑 op de eenheidscirkel een middelpuntshoek van 𝛑 radiaal

De hoekmaat radiaal wordt afgekort tot rad.

De hele eenheidscirkel heeft booglengte 2𝛑
Bij deze booglengte hoort dus een middelpuntshoek van 2𝛑 rad
2𝛑 = 360°, dus 𝛑 = 180°

Bij het omzetten van graden in 𝛑 kan je gebruik maken van deze verhoudingstabel:


Radialen 𝛑 1 𝛑/180

Graden 180° 180°/𝛑 1°


vb.

Druk ⅔𝛑 uit in graden

⅔𝛑 rad = ⅔ * 180 = 120°