Apuntes Calculo II (Técnicas de Integración)

Pontificada Universidad Católica


MAT1126


Cálculo II


Autor:
Sebastián Lepe V.




23 de julio de 2021

, Cálculo II Sebastián Lepe V.




1. Técnicas de integración
En esta sección estudiaremos distintas técnicas para encontrar primitiva y valores de integrales,
estas técnicas giran en torno a la integración por parte y el cambio de variable, incluyendo susti-
tuciones trigonométricas y el uso de fracciones parciales.

1.1. Integración por parte y Cambio de variable
Teorema 3.1.1 (Integración por partes). Sean f, g : [a, b] → R funciones acotadas con deriva-
das integrables, entonces
Z b b
Z b
0
f (x)g (x) = f (x)g(x) − f 0 (x)g(x)
a a a



Dem. basta demostrar que que f (x)g(x) es una primitiva de f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x). En efecto
Z b b
(f (x)g 0 (x) + f 0 (x)g(x))dx = f (x)g(x)
a a


luego despejando obtenemos el resultado 


Ejemplo 3.1.1. Determine
Z
x sin(x)dx


Sol. Sea f (x) = x y g 0 (x) = sin(x), luego

Z Z
x sin(x)dx = − cos(x)x + cos(x)dx = − cos(x)x + sin(x) + C


Ejemplo 3.1.2. Determine

Z
log(x)dx


Sol. Sean f (x) = ln(x) y g 0 (x) = 1 entonces

Z Z
log(x)dx = log(x)x − dx = log(x)x − x + C


Ejemplo 3.1.3. Determine




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