Apuntes Calculo II (Integral de Riemman)

Pontificada Universidad Católica


MAT1126


Cálculo II


Autor:
Sebastián Lepe V.




23 de julio de 2021

,Cálculo II Sebastián Lepe V.




1. La integral de Riemman
Vamos a ver el concepto de integral, la cual empieza por querer calcular áreas, por ejemplo, si
tenemos una función f : [a.b] → R no negativa, queremos estudiar el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 :
a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}.




Figura 1: La integral representada geometricamente


Una forma es considerar rectangulos e ir precisando, luegoR sumar estos rectangulo, de aquı́ se
presenta la forma de denotar una integral con el sı́mbolo que se asemeja a una S de suma.
Entonces la integral indefinida de f (x) se denota como

Z
f (x)dx



En este apunte se estudiara una forma presentada por Gastón Darboux.

1.1. Sumas de Darboux
Definición 2.1.1.(Partición) Una partición del intervalo [a, b] es un subconjunto finito P ⊂ [a, b]
talque a, b ∈ P. Escribiremos P = {t0 , t1 , . . . , tn } donde a = t0 y b = tn . Los intervalos [ti−1 , ti ],
i ∈ {1, 2, . . . , n} son llamados intervalos de la partición.


Es importante saber que nos interesa trabaja con funciones acotadas, puesto que si no fueran
actodas en un punto x0 ocurre que tendriamos una suma infinita de pequeños rectanguales que
pueden o no diverger. Por ello es más sencillo trabajar con funciones acotadas.


Recordemos que una función f : [a, b] → R es acotada si existe m, M ∈ R talque para todo x ∈ [a, b]
se satisface



m ≤ f (x) ≤ M



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Definición 2.1.2. Sea f : [a.b] → R unma función acotada y P una partición de [a, b], definimos


mi := ı́nf{f (x) : x ∈ [ti−1 , ti ]} y Mi := sup{f (x) : x ∈ [ti−1 , ti ]}


Sabemos que esta bien definido dado que f es acotada y por tanto las imagenes de x tiene supremo
e ı́nfimo.


Definición 2.1.3.(Suma Superiores e Inferiores) Sea f : [a, b] → R una función acotada y P
una partición de [a, b]. La suma superior de f con respecto a P, se define por


n
X
S(f, P) := M1 (t1 − t0 ) + M2 (t2 − t1 ) + · · · + Mn (tn − tn−1 ) + Mi (ti − ti−1 )
i=1


del mismo modo, al suma inferior con respecto a P, se define por


n
X
s(f, P) := m1 (t1 − t0 ) + m2 (t2 − t1 ) + · · · + mn (tn − tn−1 ) + mi (ti − ti−1 )
i=1


Con estas definiciones construimos rectangulos bajo o sobre la curva con la cual podemos trabajar
al infinito. Podemos intuir que se puede mejorar las sumas superiores e inferiores y que en efecto,
es posible, más adelante se mostrará un resultado que lo prueba.


Ejemplo 2.1.1. Sea f : [0, 1] → R, la función definida por f (x) := x2 . Sea P = {0, 1/3, 2/3, 1}
una partición del intervalo [0, 1]. Entonces


S(f, P) = 1/9(1/3) + 4/9(1/3) + 1(1/3)

y


s(f, P) = 0(1/3) + 1/9(1/3) + 4/9(1/3)


Definición 2.1.4. Sean P, L dos particiones de [a, b]. Diremos que la partición L es más fina
que P si P ⊂ L .


Teorema 2.1.1. Sean f : [a, b] → R una función acotada y P, L dos particiones de [a, b] tales
que L es más fina que P. Entonces
s(f, P) ≤ s(f, L ) y S(f, L ) ≤ S(f, P)



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