Kennisbasis rekenen
Hele getallen
Eigenschappen van bewerkingen
Vermenigvuldigen kan betekenissen hebben als herhaald optellen, combineren,
gelijke sprongen maken en op schaal vergroten. Onderliggende wiskundige
structuren zijn bijvoorbeeld de lijnstructuur, groepjesstructuur en
rechthoekstructuur.
- Commutatieve eigenschap (bij vermenigvuldigen): de uitkomst is
onafhankelijk van de volgorde van de erbij betrokken getallen. De getallen
kun je verwisselen.
- Associatieve eigenschap (bij vermenigvuldigen): je mag zelf de volgorde
bepalen wanneer je deze bewerking in een serie bewerkingen een aantal
maal achter elkaar moet uitvoeren.
- Distributieve eigenschap (voor vermenigvuldigen): je kunt de getallen
waarop je de bewerking uitvoert omwisselen, zonder dat de uitkomst
veranderd.
- Inverse-relatie (tussen vermenigvuldigen en delen): een aantal verwante
begrippen.
Wiskundetaal bij (hele) getallen
Telwoorden uit de telrij
Decimaal positioneel getalsysteem: een systeem om getallen weer te geven
met behulp van de tien cijfers 0 tot en met 9.
Symbolen: de relaties tussen getallen en hoeveelheden worden aangegeven,
bijvoorbeeld +, -, x, =, <, >, (, ), H, T, E, 2, 3, %.
Positioneel systeem: De waarde van een cijfer in een getal is afhankelijk van
de positie die het inneemt.
Positiewaarde: De waarde van cijfers in hun positie bepalen.
Positieschema:
Ordinaal getal: geeft de positie van een getal in een rij van getallen aan
(rangorde).
Kardinaal getal: is het getal dat wordt gebruikt om de grootte van een getal te
meten (hoeveelheidsgetal).
Functies van getallen
- Aantal (hoeveelheidsgetal): het resultaat van een telling, bv. 8 bomen, 15
mensen in de bus.
- Telgetal: het getal heeft een plaats in een rij, bv. 5 e verdieping, groep 6,
huisnummer 6.
, - Meetgetal: het getal drukt een maat uit, bv. schoenmaat 39, 7 jaar, 45
km.
- Naamgetal: een getal zonder betekenis, bv. siergetal op je trui, C1000,
lijn 51.
- Rekengetal: getal waar je mee rekent, bv. 5x5, 50%x 36:6
Elementair getalbegrip
Elementair getalbegrip en ontluikend gecijferdheid: het tellen speelt een
belangrijke rol en omvat het grip krijgen op allerlei betekenissen, functies,
structuren en eigenschappen van getallen. Er wordt ook gebruik gemaakt van
allerlei verschijningsvormen en functies van getallen die kinderen tegenkomen in
het dagelijks leven.
Context gebonden tellen-en-rekenen: het gaat om het stellen van
vergelijkingsvragen en hoeveelvragen. In eerste instantie gaat het om het
vergelijken en ordenen van concrete hoeveelheden op meer, minder, meeste,
minste en evenveel. Bij het ordenen van hoeveelheden is het van belang om de
plaats in de telrij te kennen. Meer is verderop in de telrij. Het gaat ook telkens om
een vergelijking van twee hoeveelheden.
Object gebonden tellen-en-rekenen: doet zich in probleemsituaties voor die
rechtstreeks op het kwantitatieve aspect zijn gericht. Direct gestelde
hoeveelheidsvragen worden op dit niveau wel begrepen. Echter, alleen voor
zover ze betrekking hebben op concrete objecten. Het gaat hier ook om het
ordenen, koppelen, vergelijken en een redelijke schatting maken van aantallen
objecten zijn kernactiviteiten.
- Tellen via herkenning: kleine hoeveelheden gelijk kunnen herkennen.
- Synchroon tellen: het een-voor-een tellen van voorwerpen.
o Asynchroon tellen: het opzeggen van de telwoorden verloopt niet
gelijktijdig met het aanwijzen van voorwerpen.
- Koppeling ordinaal en kardinaal getal: het besef dat het tellen van
een hoeveelheid het laatst gebruikte getal de hoeveelheid aangeeft.
- Resultatief tellen: kinderen zijn vaardig in het een-voor-een tellen van
hoeveelheden en kunnen ze aan het eind van de telhandeling het
telresultaat aangeven, met het laatstgenoemde telwoord. Ook het ineens
herkennen van een hoeveelheid hoort hier bij.
- Tellen met sprongen
- Verkort tellen: Kinderen hebben ontdekt dat je niet alle voorwerpen hoeft
te tellen en dat door middel van structuren je wordt geholpen bij het
bepalen van het aantal.
Pure tellen-en-rekenen: ‘hoeveel is twee erbij drie?’ wordt begrepen en correct
uitgerekend door bijvoorbeeld de vingers te gebruiken.
Hoofdrekenen
Vier basisbewerkingen met hele getallen
- Optellen
- Aftrekken
, - Vermenigvuldigen
- Delen
Kinderen leren hoe ze deze bewerkingen kunnen uitvoeren op:
- Informeel niveau: aanvankelijk contextgebonden.
- Modellen en schema’s: overgang van contextgebonden naar formeel.
- Lijnmodel (kralenketting, - Groepjesmodel (blokjes, geld)
getallenlijn)
- Oppervlaktemodel/ - Combinatiemodel (rekenrek,
rechthoekmodel eierdoos, honderdveld)
- Formeel niveau: de getallen en de bewerkeningen houden geen vebrand
of zijn niet meer direct zichtbaar in concrete situaties, ‘kale sommen’.
Hoofdrekenen: inzichtelijk rekenen met getallen, waarbij de waarde van de
getallen bij de berekening in beeld blijft en handig gebruikt wordt gemaakt van
parate kennis, eigenschappen van getallen en bewerkingen en de onderlinge
relaties.
Drie grondvormen van hoofdrekenen
- Rijgend: het eerste getal in een opgave wordt als geheel opgevat en het
tweede getal wordt in gedeeltes toegevoegd of er afgehaald.
o Bv. 56+38= (+10 +10 +10 +4 +4)
- Splitsen: de getallen worden uit elkaar gehaald en in gedeeltes bij elkaar
gevoegd of van elkaar afgehaald.
o Bv. 54-27= (54 gesplitst in 50 en 4, 27 gesplitst in 20 en 7/ 50 eraf
20 en 4 eraf 7)
- Gevarieerd of handig hoofdrekenen: de getallen worden opgevat als
objecten die op allerlei manieren gestructureerd kunnen worden. er wordt
gebruik gemaakt van allerlei handige getalrelaties en rekeneigenschappen
die passen bij de betreffende opgave.
o Compenseren: bij de hulpsom iets optellen en dat er later weer
afhalen (optellen: 145+98 = 143+100, aftrekken: 145-98 = 147-
100).
o Transformeren: de tribunesom. Het verschil bij een aftrekken blijft
gelijk als je bij beide getallen hetzelfde optelt. Je doet bij het ene
getal er iets bij en bij de andere iets eraf.
o Aanvullen (bij aftrekken): hoeveel moet er bij komen om bij het
antwoord te komen.
o Inverse relatie: inzien dat je de hoeveelheid ook van het begin
kunt afhalen in plaats van het einde. En dat je kunt bepalen wat het
verschil is, door te kijken naar wat er nog moet worden aangevuld.
Hele getallen
Eigenschappen van bewerkingen
Vermenigvuldigen kan betekenissen hebben als herhaald optellen, combineren,
gelijke sprongen maken en op schaal vergroten. Onderliggende wiskundige
structuren zijn bijvoorbeeld de lijnstructuur, groepjesstructuur en
rechthoekstructuur.
- Commutatieve eigenschap (bij vermenigvuldigen): de uitkomst is
onafhankelijk van de volgorde van de erbij betrokken getallen. De getallen
kun je verwisselen.
- Associatieve eigenschap (bij vermenigvuldigen): je mag zelf de volgorde
bepalen wanneer je deze bewerking in een serie bewerkingen een aantal
maal achter elkaar moet uitvoeren.
- Distributieve eigenschap (voor vermenigvuldigen): je kunt de getallen
waarop je de bewerking uitvoert omwisselen, zonder dat de uitkomst
veranderd.
- Inverse-relatie (tussen vermenigvuldigen en delen): een aantal verwante
begrippen.
Wiskundetaal bij (hele) getallen
Telwoorden uit de telrij
Decimaal positioneel getalsysteem: een systeem om getallen weer te geven
met behulp van de tien cijfers 0 tot en met 9.
Symbolen: de relaties tussen getallen en hoeveelheden worden aangegeven,
bijvoorbeeld +, -, x, =, <, >, (, ), H, T, E, 2, 3, %.
Positioneel systeem: De waarde van een cijfer in een getal is afhankelijk van
de positie die het inneemt.
Positiewaarde: De waarde van cijfers in hun positie bepalen.
Positieschema:
Ordinaal getal: geeft de positie van een getal in een rij van getallen aan
(rangorde).
Kardinaal getal: is het getal dat wordt gebruikt om de grootte van een getal te
meten (hoeveelheidsgetal).
Functies van getallen
- Aantal (hoeveelheidsgetal): het resultaat van een telling, bv. 8 bomen, 15
mensen in de bus.
- Telgetal: het getal heeft een plaats in een rij, bv. 5 e verdieping, groep 6,
huisnummer 6.
, - Meetgetal: het getal drukt een maat uit, bv. schoenmaat 39, 7 jaar, 45
km.
- Naamgetal: een getal zonder betekenis, bv. siergetal op je trui, C1000,
lijn 51.
- Rekengetal: getal waar je mee rekent, bv. 5x5, 50%x 36:6
Elementair getalbegrip
Elementair getalbegrip en ontluikend gecijferdheid: het tellen speelt een
belangrijke rol en omvat het grip krijgen op allerlei betekenissen, functies,
structuren en eigenschappen van getallen. Er wordt ook gebruik gemaakt van
allerlei verschijningsvormen en functies van getallen die kinderen tegenkomen in
het dagelijks leven.
Context gebonden tellen-en-rekenen: het gaat om het stellen van
vergelijkingsvragen en hoeveelvragen. In eerste instantie gaat het om het
vergelijken en ordenen van concrete hoeveelheden op meer, minder, meeste,
minste en evenveel. Bij het ordenen van hoeveelheden is het van belang om de
plaats in de telrij te kennen. Meer is verderop in de telrij. Het gaat ook telkens om
een vergelijking van twee hoeveelheden.
Object gebonden tellen-en-rekenen: doet zich in probleemsituaties voor die
rechtstreeks op het kwantitatieve aspect zijn gericht. Direct gestelde
hoeveelheidsvragen worden op dit niveau wel begrepen. Echter, alleen voor
zover ze betrekking hebben op concrete objecten. Het gaat hier ook om het
ordenen, koppelen, vergelijken en een redelijke schatting maken van aantallen
objecten zijn kernactiviteiten.
- Tellen via herkenning: kleine hoeveelheden gelijk kunnen herkennen.
- Synchroon tellen: het een-voor-een tellen van voorwerpen.
o Asynchroon tellen: het opzeggen van de telwoorden verloopt niet
gelijktijdig met het aanwijzen van voorwerpen.
- Koppeling ordinaal en kardinaal getal: het besef dat het tellen van
een hoeveelheid het laatst gebruikte getal de hoeveelheid aangeeft.
- Resultatief tellen: kinderen zijn vaardig in het een-voor-een tellen van
hoeveelheden en kunnen ze aan het eind van de telhandeling het
telresultaat aangeven, met het laatstgenoemde telwoord. Ook het ineens
herkennen van een hoeveelheid hoort hier bij.
- Tellen met sprongen
- Verkort tellen: Kinderen hebben ontdekt dat je niet alle voorwerpen hoeft
te tellen en dat door middel van structuren je wordt geholpen bij het
bepalen van het aantal.
Pure tellen-en-rekenen: ‘hoeveel is twee erbij drie?’ wordt begrepen en correct
uitgerekend door bijvoorbeeld de vingers te gebruiken.
Hoofdrekenen
Vier basisbewerkingen met hele getallen
- Optellen
- Aftrekken
, - Vermenigvuldigen
- Delen
Kinderen leren hoe ze deze bewerkingen kunnen uitvoeren op:
- Informeel niveau: aanvankelijk contextgebonden.
- Modellen en schema’s: overgang van contextgebonden naar formeel.
- Lijnmodel (kralenketting, - Groepjesmodel (blokjes, geld)
getallenlijn)
- Oppervlaktemodel/ - Combinatiemodel (rekenrek,
rechthoekmodel eierdoos, honderdveld)
- Formeel niveau: de getallen en de bewerkeningen houden geen vebrand
of zijn niet meer direct zichtbaar in concrete situaties, ‘kale sommen’.
Hoofdrekenen: inzichtelijk rekenen met getallen, waarbij de waarde van de
getallen bij de berekening in beeld blijft en handig gebruikt wordt gemaakt van
parate kennis, eigenschappen van getallen en bewerkingen en de onderlinge
relaties.
Drie grondvormen van hoofdrekenen
- Rijgend: het eerste getal in een opgave wordt als geheel opgevat en het
tweede getal wordt in gedeeltes toegevoegd of er afgehaald.
o Bv. 56+38= (+10 +10 +10 +4 +4)
- Splitsen: de getallen worden uit elkaar gehaald en in gedeeltes bij elkaar
gevoegd of van elkaar afgehaald.
o Bv. 54-27= (54 gesplitst in 50 en 4, 27 gesplitst in 20 en 7/ 50 eraf
20 en 4 eraf 7)
- Gevarieerd of handig hoofdrekenen: de getallen worden opgevat als
objecten die op allerlei manieren gestructureerd kunnen worden. er wordt
gebruik gemaakt van allerlei handige getalrelaties en rekeneigenschappen
die passen bij de betreffende opgave.
o Compenseren: bij de hulpsom iets optellen en dat er later weer
afhalen (optellen: 145+98 = 143+100, aftrekken: 145-98 = 147-
100).
o Transformeren: de tribunesom. Het verschil bij een aftrekken blijft
gelijk als je bij beide getallen hetzelfde optelt. Je doet bij het ene
getal er iets bij en bij de andere iets eraf.
o Aanvullen (bij aftrekken): hoeveel moet er bij komen om bij het
antwoord te komen.
o Inverse relatie: inzien dat je de hoeveelheid ook van het begin
kunt afhalen in plaats van het einde. En dat je kunt bepalen wat het
verschil is, door te kijken naar wat er nog moet worden aangevuld.
