Hoofdstuk 5: Verhoudingen (blz. 129-152)
Een goed inzicht in verhoudingen vormt namelijk de basis voor het verwerven van kennis, inzicht en
vaardigheid op talrijke andere gebieden van rekenen-wiskunde, zoals breuken, kommagetallen,
procenten, meten, meetkunde en grafieken.
Met betrekking tot het domein verhoudingen verwerven kinderen het inzicht dat:
- Een verhouding een vergelijking aangeeft van aantallen, die naar voren komt in getalsmatige,
meet- of meetkundige aspecten van een situatie (kerninzicht vergelijking tussen grootheden)
- En verhouding een relatief begrip is en een eindeloze reeks van gelijkwaardige getallenparen
vertegenwoordigt (kerninzicht gelijkwaardige getallenparen)
Kerninzicht vergelijking tussen grootheden:
- Kinderen verwerven het inzicht dat een verhouding een vergelijking aangeeft van aantallen die
naar voren komen in getalsmatige, meet- of meetkundige aspecten van een situatie.
Kerninzicht gelijkwaardige getallenparen:
- Kinderen verwerven het inzicht dat een verhouding een relatief begrip is en een eindeloze reeks
van gelijkwaardige getallenparen vertegenwoordigt.
Dit inzicht gebruik je bij het redeneren en rekenen met verhoudingen.
- In een verhoudingstabel gebruik je de getallenparen die nodig zijn om handig naar de uitkomst
toe te werken.
Externe verhoudingen= verschillende grootheden die in het geding zijn bij de meeste
verhoudingsproblemen
Interne verhoudingen= een verhouding binnen dezelfde grootheid
Waardoor verhoudingen zo belangrijk?
1. Door de rol die het denken in verhoudingen speelt in het alledaagse leven
2. Het redeneren en rekenen met evenredige verbanden legt de basis voor het inzicht in
breuken, procenten en kommagetallen en de samenhang daartussen.
Meetkundige en getalsmatige voorbereidende ervaringen
- Basis ligt bij de onderbouw voor het denken en redeneren over verhoudingen
- Voor de leraar is het belangrijk om alert te zijn op alledaagse ervaringen waarover kinderen zich
verwonderen.
Het betekenisvol organiseren van verhoudingssituaties in eenvoudige schema’s en modellen
- Bij het redeneren en rekenen met verhoudingsgetallen ontdekken kinderen het nut van ‘netjes
opschrijven’ en gaan dan ‘lijstjes van getallenparen’ maken (evenredigheden).
- De leerkracht kan op een bepaald moment in interactie met de leerlingen de overstap naar de
verhoudingstabel of de dubbele getallenlijn maken.
- Gebruik van juiste wiskundetaal tijdens de les is belangrijk voor de ontwikkeling van het denken
in verhoudingen.
Het model ondersteunend redeneren en rekenen met verhoudingen
- De verhoudingstabel wordt in alle reken- en wiskundemethoden ingezet als ondersteunend
model.
Hier kan flexibel gerekend worden, je kan namelijk alle bewerkingen uitvoeren
- In groep 5 en 6 wordt vooral gerekend met evenredige verbanden, weergegeven met gehele
getallen.
- In groep 7 en 8 wordt ook gerekend met kommagetallen, breuken en procenten.
, Formeel rekenen en toepassen
- Voor veel leerlingen is het formeel rekenen nog een moeilijke stap
- Veel hebben de verhoudingstabel of een concrete situatie nodig om de som te begrijpen om te
voorkomen dat het formele rekenwerk leidt tot onbegrepen toepassing van regels en het
daardoor maken van fouten.
Toepassingen
- Voor het inzichtelijk oefenen van het rekenen met verhoudingen wordt door reken-
wiskundemethoden gebruikgemaakt van alle mogelijke toepassingen.
- De praktijkvoorbeelden laten zien dat het rekenen met verhoudingen, breuken, kommagetallen
en procenten, sterke samenhang vertoont.
Hoofdstuk 6: Breuken (blz. 155-183)
Breuken
- Begrip van breuken is vooral nodig om te kunnen redeneren met verhoudingen, kommagetallen
en procenten en ook om de samenhang daartussen te kunnen begrijpen.
- Met betrekking tot het domein breuken verwerven kinderen het inzicht dat:
Breuken ontstaan uit verdeelsituaties en meetsituaties (kerninzicht breuken in verdeel- en
meetsituaties)
Breuken een verhouding van twee getallen weergeven (kerninzicht breuk als verhouding)
Kerninzicht breuken in verdeel - en meetsituaties
- Verdeel- en meetsituaties leiden tot het beschrijven en benoemen van breuken.
- Bij het meten met stroken bijvoorbeeld, merken kinderen hoe breuken ontstaan.
Als de hele strook niet precies past, moet de strook in stukjes verdeeld worden.
- Het zoeken naar handige verdelingen met stroken kan leiden tot het ontdekken van
gelijkwaardigheid van breuken.
- Het is de bedoeling dat het accent verschuift van het handelen (vouwen) naar het denken en
redeneren over breuken.
- Niet alleen het meten met stroken, ook situaties die aanleiding geven tot eerlijk verdelen lenen
zich goed voor het ontwikkelen van het inzicht in het ontstaan van breuken.
- Vooral het verdelen van meer dan één object geeft veel mogelijkheden
Drie verschijningsvormen van breuken
1. Een meetgetal. Het tafeltje heeft een lengte van vier stroken en nog zes stukjes van de
‘achtstrook’ ( 6 8 ).
2. De uitkomst van een ‘eerlijke’ verdeling. Drie repen verdelen met z’n vijven, is ieder 3 5 deel.
3. Deel-geheelverhouding. Het deel van de reep dat ieder krijgt is een deel van dezelfde hele.
Kerninzicht breuk als verhouding
- Het herkennen van breuken als verhoudingsgetallen vraagt van kinderen een tamelijk hoog
niveau van denken en redeneren, omdat de breuk hier als formeel, ‘kaal’ getal voorkomt en niet
direct betekenis heeft vanuit een meet- of verdeelsituatie.
- Het strookmodel kan de gelijkheid van verhoudingen, evenredigheid genoemd, goed weergeven.
- Het cirkelmodel is van oudsher één van de meest bekende modellen om breuken weer te geven.
De cirkel voldoet uitstekend als grafisch model, omdat het in één oogopslag de
gegevensverdeling weergeeft.
De cirkel voldoet niet als denkmodel I en verliest zijn bruikbaarheid bij samengestelde
breuken.
- De weergave van de kansgrootte, getal tussen 0-1, is een vb van de breuk als verhoudingsgetal.
Een goed inzicht in verhoudingen vormt namelijk de basis voor het verwerven van kennis, inzicht en
vaardigheid op talrijke andere gebieden van rekenen-wiskunde, zoals breuken, kommagetallen,
procenten, meten, meetkunde en grafieken.
Met betrekking tot het domein verhoudingen verwerven kinderen het inzicht dat:
- Een verhouding een vergelijking aangeeft van aantallen, die naar voren komt in getalsmatige,
meet- of meetkundige aspecten van een situatie (kerninzicht vergelijking tussen grootheden)
- En verhouding een relatief begrip is en een eindeloze reeks van gelijkwaardige getallenparen
vertegenwoordigt (kerninzicht gelijkwaardige getallenparen)
Kerninzicht vergelijking tussen grootheden:
- Kinderen verwerven het inzicht dat een verhouding een vergelijking aangeeft van aantallen die
naar voren komen in getalsmatige, meet- of meetkundige aspecten van een situatie.
Kerninzicht gelijkwaardige getallenparen:
- Kinderen verwerven het inzicht dat een verhouding een relatief begrip is en een eindeloze reeks
van gelijkwaardige getallenparen vertegenwoordigt.
Dit inzicht gebruik je bij het redeneren en rekenen met verhoudingen.
- In een verhoudingstabel gebruik je de getallenparen die nodig zijn om handig naar de uitkomst
toe te werken.
Externe verhoudingen= verschillende grootheden die in het geding zijn bij de meeste
verhoudingsproblemen
Interne verhoudingen= een verhouding binnen dezelfde grootheid
Waardoor verhoudingen zo belangrijk?
1. Door de rol die het denken in verhoudingen speelt in het alledaagse leven
2. Het redeneren en rekenen met evenredige verbanden legt de basis voor het inzicht in
breuken, procenten en kommagetallen en de samenhang daartussen.
Meetkundige en getalsmatige voorbereidende ervaringen
- Basis ligt bij de onderbouw voor het denken en redeneren over verhoudingen
- Voor de leraar is het belangrijk om alert te zijn op alledaagse ervaringen waarover kinderen zich
verwonderen.
Het betekenisvol organiseren van verhoudingssituaties in eenvoudige schema’s en modellen
- Bij het redeneren en rekenen met verhoudingsgetallen ontdekken kinderen het nut van ‘netjes
opschrijven’ en gaan dan ‘lijstjes van getallenparen’ maken (evenredigheden).
- De leerkracht kan op een bepaald moment in interactie met de leerlingen de overstap naar de
verhoudingstabel of de dubbele getallenlijn maken.
- Gebruik van juiste wiskundetaal tijdens de les is belangrijk voor de ontwikkeling van het denken
in verhoudingen.
Het model ondersteunend redeneren en rekenen met verhoudingen
- De verhoudingstabel wordt in alle reken- en wiskundemethoden ingezet als ondersteunend
model.
Hier kan flexibel gerekend worden, je kan namelijk alle bewerkingen uitvoeren
- In groep 5 en 6 wordt vooral gerekend met evenredige verbanden, weergegeven met gehele
getallen.
- In groep 7 en 8 wordt ook gerekend met kommagetallen, breuken en procenten.
, Formeel rekenen en toepassen
- Voor veel leerlingen is het formeel rekenen nog een moeilijke stap
- Veel hebben de verhoudingstabel of een concrete situatie nodig om de som te begrijpen om te
voorkomen dat het formele rekenwerk leidt tot onbegrepen toepassing van regels en het
daardoor maken van fouten.
Toepassingen
- Voor het inzichtelijk oefenen van het rekenen met verhoudingen wordt door reken-
wiskundemethoden gebruikgemaakt van alle mogelijke toepassingen.
- De praktijkvoorbeelden laten zien dat het rekenen met verhoudingen, breuken, kommagetallen
en procenten, sterke samenhang vertoont.
Hoofdstuk 6: Breuken (blz. 155-183)
Breuken
- Begrip van breuken is vooral nodig om te kunnen redeneren met verhoudingen, kommagetallen
en procenten en ook om de samenhang daartussen te kunnen begrijpen.
- Met betrekking tot het domein breuken verwerven kinderen het inzicht dat:
Breuken ontstaan uit verdeelsituaties en meetsituaties (kerninzicht breuken in verdeel- en
meetsituaties)
Breuken een verhouding van twee getallen weergeven (kerninzicht breuk als verhouding)
Kerninzicht breuken in verdeel - en meetsituaties
- Verdeel- en meetsituaties leiden tot het beschrijven en benoemen van breuken.
- Bij het meten met stroken bijvoorbeeld, merken kinderen hoe breuken ontstaan.
Als de hele strook niet precies past, moet de strook in stukjes verdeeld worden.
- Het zoeken naar handige verdelingen met stroken kan leiden tot het ontdekken van
gelijkwaardigheid van breuken.
- Het is de bedoeling dat het accent verschuift van het handelen (vouwen) naar het denken en
redeneren over breuken.
- Niet alleen het meten met stroken, ook situaties die aanleiding geven tot eerlijk verdelen lenen
zich goed voor het ontwikkelen van het inzicht in het ontstaan van breuken.
- Vooral het verdelen van meer dan één object geeft veel mogelijkheden
Drie verschijningsvormen van breuken
1. Een meetgetal. Het tafeltje heeft een lengte van vier stroken en nog zes stukjes van de
‘achtstrook’ ( 6 8 ).
2. De uitkomst van een ‘eerlijke’ verdeling. Drie repen verdelen met z’n vijven, is ieder 3 5 deel.
3. Deel-geheelverhouding. Het deel van de reep dat ieder krijgt is een deel van dezelfde hele.
Kerninzicht breuk als verhouding
- Het herkennen van breuken als verhoudingsgetallen vraagt van kinderen een tamelijk hoog
niveau van denken en redeneren, omdat de breuk hier als formeel, ‘kaal’ getal voorkomt en niet
direct betekenis heeft vanuit een meet- of verdeelsituatie.
- Het strookmodel kan de gelijkheid van verhoudingen, evenredigheid genoemd, goed weergeven.
- Het cirkelmodel is van oudsher één van de meest bekende modellen om breuken weer te geven.
De cirkel voldoet uitstekend als grafisch model, omdat het in één oogopslag de
gegevensverdeling weergeeft.
De cirkel voldoet niet als denkmodel I en verliest zijn bruikbaarheid bij samengestelde
breuken.
- De weergave van de kansgrootte, getal tussen 0-1, is een vb van de breuk als verhoudingsgetal.
