Mathematics M
Werkcollege 1
3^0 = 1
E = 2,718….
Log(x)^p = p log(x)
Log(x) = 10 log(x) -> log(10^x) = x + 10^log(x) = x. MACHT VAN 10 HEFT LOG OP
Ln(x) = e log(x) -> ln(e^x) = x + e^ln(x) = x. LN HEFT E MACHT OP
F(x) = 5^x -> F’(x)= 5^x ln(5)
Afgeleide e^x is e^x
F(x) = ln(x) -> f’(x)= 1/x
(f/g)’ -> ( f’g – fg’) / g^2
Werkcollege 2
Eerst elimineren alpha met behulp van eerste vergelijking, daarna beta elimineren, zo kan je
stelstel oplossen
Vergelijking waar je mee elimineert neem je altijd over
Eerste vergelijking overnemen en ook de vergelijking waar je mee gaat vegen
Als vergelijking 0 is, kan die vergelijking weg en dan oplossing bepalen
Werkcollege 3
Exponentiele groei -> t > 0 stijgend & t < 0 dalend
Groeisnelheid: afgeleide van de functie
Relatieve groeisnelheid: groeisnelheid (afgeleide) / normale functie
Begrensde exponentiele groei: functie gaat naar een waarde (limietwaarde) -> horizontale
asymptoot
Lim y(x) x-> oneindig
E^-oneindig = 0
E^oneindig = oneindig
Signoide / logistische groei: langzaam stijgen, dan sneller, dan weer langzaam -> HA
Buigpunt ligt bij half a
Werkcollege 4
Vector a = plaatsvector van punt A
Twee vectoren -> parallellogram maken -> diagonaal is vector a + b
Plaatsvector = vectorvoorstelling (bepalen of punt op lijn ligt). Lapda vinden
X = b + lapda a (evenwijdige lijn berekenen)
B = steunvector a = richtingsvector
Eindpunt van steunvector ligt op lijn
Richtingsvector is evenwijdig aan lijn
Lijn door A en B, een van die twee is steunvector. Richtingsvector is vector a-b of b-a
R^3 alle vectoren met 3 coördinaten. X1 richting X2 richting en X3 richting
Werkcollege 5
d/dx = afgeleide
, Integreren: integraal en dx achter de formule –> uitkomst is integraal of primitieve
(antiderivative)
Constante (C) komt er altijd achter
X^a -> 1/a+1 * x^a+1 + C (a mag niet gelijk zijn aan -1)
(1/x) -> ln(x) + C
E^x -> e^x
Bepaalde integraal [F(x)] x= b en x=a = F(b) – F(a) = oppervlakte
Werkcollege 6
Als vector x diagonaal is vectorvoorstelling mu a + lapda b = x. Dit is een lineaire combinatie
& a en b brengen het vlak voort (span)
A & b zijn nu richtingsvectoren, vlakken hebben 2 richtingsvectoren
Vlak heeft dimensie 2
Onafhankelijk als vectoren niet een veelvoud zijn van elkaar
Afhankelijk als vectoren als minstens 1 vector lineaire combi is van andere 2
Deelruimte: verzameling van lineaire combinaties
Om te kijken (on)afhankelijk kijken of alpa a + beta b + gamma d = 0 -> oplossing alpha beta
gamma 0 dan onafhankelijk, meerdere oplossingen dan afhankelijk
0=0 betekent niet automatisch dat er een vrije variabele is
Alpha beta gamma 0 kan altijd, maar als er meer oplossingen zijn (dus een is vrij) dan
afhankelijk
Basis van deelruimte V moet V voortbrengen (span) en onafhankelijk zijn. Dus de vectoren
moeten onafhankelijk zijn
Dimensie is aantal vectoren in een basis
Werkcollege 7
Integraal van a tot b van f + g = integraal van a tot b van f + integraal van a tot b van g
Integraal van a tot b van f + integraal b tot c van f = integraal a tot c van f
Integraal van a tot b van f = - integraal van b tot a van f
Primitieve van een breuk is de ln
Primitieve van 1/(x^2) -> eerst schrijven als x^-2
Je mag alleen compenseren met constant getal
Oppervlakte onder de diagonaal en boven de curve bepaalt de ongelijkheid in een land
Ginicoëfficiënt is fractie die oppervlakte A uitmaakt van oppervlakte onder de diagonaal ->
opp. A / opp onder diagonaal
Werkcollege 8
Elke basis van R^3 bestaat uit 3 onafhankelijke vectoren
4 vectoren in R^3 zijn altijd afhankelijk
2 vectoren zijn te weinig om een basis te vormen voor R^3 (altijd 3)
Matrices bij elkaar optellen als ze evenveel rijen/kolommen hebben
Breedte van ene matrices moet gelijk zijn aan hoogte van andere matrices, dan kan je ze
vermenigvuldigen -> nieuwe matrix wordt breedte van de ene en hoogte van de ander
Hoogte van linker matrix en breedte van rechtermatrix
Matrix vermenigvuldiging = rij * kolom
Meestal is AB niet gelijk aan BA
Werkcollege 1
3^0 = 1
E = 2,718….
Log(x)^p = p log(x)
Log(x) = 10 log(x) -> log(10^x) = x + 10^log(x) = x. MACHT VAN 10 HEFT LOG OP
Ln(x) = e log(x) -> ln(e^x) = x + e^ln(x) = x. LN HEFT E MACHT OP
F(x) = 5^x -> F’(x)= 5^x ln(5)
Afgeleide e^x is e^x
F(x) = ln(x) -> f’(x)= 1/x
(f/g)’ -> ( f’g – fg’) / g^2
Werkcollege 2
Eerst elimineren alpha met behulp van eerste vergelijking, daarna beta elimineren, zo kan je
stelstel oplossen
Vergelijking waar je mee elimineert neem je altijd over
Eerste vergelijking overnemen en ook de vergelijking waar je mee gaat vegen
Als vergelijking 0 is, kan die vergelijking weg en dan oplossing bepalen
Werkcollege 3
Exponentiele groei -> t > 0 stijgend & t < 0 dalend
Groeisnelheid: afgeleide van de functie
Relatieve groeisnelheid: groeisnelheid (afgeleide) / normale functie
Begrensde exponentiele groei: functie gaat naar een waarde (limietwaarde) -> horizontale
asymptoot
Lim y(x) x-> oneindig
E^-oneindig = 0
E^oneindig = oneindig
Signoide / logistische groei: langzaam stijgen, dan sneller, dan weer langzaam -> HA
Buigpunt ligt bij half a
Werkcollege 4
Vector a = plaatsvector van punt A
Twee vectoren -> parallellogram maken -> diagonaal is vector a + b
Plaatsvector = vectorvoorstelling (bepalen of punt op lijn ligt). Lapda vinden
X = b + lapda a (evenwijdige lijn berekenen)
B = steunvector a = richtingsvector
Eindpunt van steunvector ligt op lijn
Richtingsvector is evenwijdig aan lijn
Lijn door A en B, een van die twee is steunvector. Richtingsvector is vector a-b of b-a
R^3 alle vectoren met 3 coördinaten. X1 richting X2 richting en X3 richting
Werkcollege 5
d/dx = afgeleide
, Integreren: integraal en dx achter de formule –> uitkomst is integraal of primitieve
(antiderivative)
Constante (C) komt er altijd achter
X^a -> 1/a+1 * x^a+1 + C (a mag niet gelijk zijn aan -1)
(1/x) -> ln(x) + C
E^x -> e^x
Bepaalde integraal [F(x)] x= b en x=a = F(b) – F(a) = oppervlakte
Werkcollege 6
Als vector x diagonaal is vectorvoorstelling mu a + lapda b = x. Dit is een lineaire combinatie
& a en b brengen het vlak voort (span)
A & b zijn nu richtingsvectoren, vlakken hebben 2 richtingsvectoren
Vlak heeft dimensie 2
Onafhankelijk als vectoren niet een veelvoud zijn van elkaar
Afhankelijk als vectoren als minstens 1 vector lineaire combi is van andere 2
Deelruimte: verzameling van lineaire combinaties
Om te kijken (on)afhankelijk kijken of alpa a + beta b + gamma d = 0 -> oplossing alpha beta
gamma 0 dan onafhankelijk, meerdere oplossingen dan afhankelijk
0=0 betekent niet automatisch dat er een vrije variabele is
Alpha beta gamma 0 kan altijd, maar als er meer oplossingen zijn (dus een is vrij) dan
afhankelijk
Basis van deelruimte V moet V voortbrengen (span) en onafhankelijk zijn. Dus de vectoren
moeten onafhankelijk zijn
Dimensie is aantal vectoren in een basis
Werkcollege 7
Integraal van a tot b van f + g = integraal van a tot b van f + integraal van a tot b van g
Integraal van a tot b van f + integraal b tot c van f = integraal a tot c van f
Integraal van a tot b van f = - integraal van b tot a van f
Primitieve van een breuk is de ln
Primitieve van 1/(x^2) -> eerst schrijven als x^-2
Je mag alleen compenseren met constant getal
Oppervlakte onder de diagonaal en boven de curve bepaalt de ongelijkheid in een land
Ginicoëfficiënt is fractie die oppervlakte A uitmaakt van oppervlakte onder de diagonaal ->
opp. A / opp onder diagonaal
Werkcollege 8
Elke basis van R^3 bestaat uit 3 onafhankelijke vectoren
4 vectoren in R^3 zijn altijd afhankelijk
2 vectoren zijn te weinig om een basis te vormen voor R^3 (altijd 3)
Matrices bij elkaar optellen als ze evenveel rijen/kolommen hebben
Breedte van ene matrices moet gelijk zijn aan hoogte van andere matrices, dan kan je ze
vermenigvuldigen -> nieuwe matrix wordt breedte van de ene en hoogte van de ander
Hoogte van linker matrix en breedte van rechtermatrix
Matrix vermenigvuldiging = rij * kolom
Meestal is AB niet gelijk aan BA
