D IFFERENTIAL C ALCULUS N OTES
F OR MATHEMATICS 100 AND 180
Joel F ELDMAN Andrew R ECHNITZER
T HIS DOCUMENT WAS TYPESET ON M ONDAY 21 ST M ARCH , 2016.
,§§ Legal stuff
• Copyright c 2015 Joel Feldman and Andrew Rechnitzer
• In the near future this will be licensed under the Creative Commons Attribution-
NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License. You can view a copy of the
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http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/.
2
, C ONTENTS
0 The basics 1
0.1 Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.3 Other important sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.4 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.5 Parsing formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.6 Inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1 Limits 27
1.1 Drawing tangents and a first limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Another limit and computing velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3 The limit of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Calculating limits with limit laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5 Limits at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.6 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.7 (optional) — Making the informal a little more formal . . . . . . . . . . . . . 87
1.8 (optional) — Making infinite limits a little more formal . . . . . . . . . . . . 92
1.9 (optional) — Proving the arithmetic of limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2 Derivatives 99
2.1 Revisiting tangent lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2 Definition of the derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.3 Interpretations of the derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.4 Arithmetic of derivatives - a differentiation toolbox . . . . . . . . . . . . . . 121
2.5 Proofs of the arithmetic of derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.6 Using the arithmetic of derivatives – examples . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.7 Derivatives of Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.8 Derivatives of trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.9 One more tool – the chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.10 The natural logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.11 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
i
, CONTENTS CONTENTS
2.12 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2.13 The Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2.14 Higher order derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3 Applications of derivatives 201
3.1 Velocity and acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.2 Related rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.3 Exponential growth and decay — a first look at differential equations . . . . 217
3.3.1 Carbon dating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.3.2 Newton’s law of cooling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.3.3 Population growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
3.4 Approximating functions near a specified point — Taylor polynomials . . . 232
3.4.1 Zeroth approximation — the constant approximation . . . . . . . . . 233
3.4.2 First approximation — the linear approximation . . . . . . . . . . . . 234
3.4.3 Second approximation — the quadratic approximation . . . . . . . . 236
3.4.4 Still better approximations — Taylor polynomials . . . . . . . . . . . 240
3.4.5 Some examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.4.6 Estimating change and ∆x, ∆y notation . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3.4.7 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3.4.8 The error in the Taylor polynomial approximations . . . . . . . . . . 255
3.4.9 (optional) — Derivation of the error formulae . . . . . . . . . . . . . 263
3.5 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
3.5.1 Local and global maxima and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3.5.2 Finding global maxima and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.5.3 Max/min examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
3.6 Sketching graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
3.6.1 Domain, intercepts and asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
3.6.2 First derivative — increasing or decreasing . . . . . . . . . . . . . . . 300
3.6.3 Second derivative — concavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
3.6.4 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
3.6.5 A checklist for sketching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
3.6.6 Sketching examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
3.7 L’Hôpital’s Rule and indeterminate forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
3.7.1 Standard examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
3.7.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
4 Towards mathematics 101 347
4.1 Introduction to antiderivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
A High school material 357
A.1 Similar triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
A.2 Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
A.3 Trigonometry — definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
A.4 Radians, arcs and sectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
A.5 Trigonometry — graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
A.6 Trigonometry — special triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
A.7 Trigonometry — simple identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
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F OR MATHEMATICS 100 AND 180
Joel F ELDMAN Andrew R ECHNITZER
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, C ONTENTS
0 The basics 1
0.1 Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.3 Other important sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.4 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.5 Parsing formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.6 Inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1 Limits 27
1.1 Drawing tangents and a first limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Another limit and computing velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3 The limit of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Calculating limits with limit laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5 Limits at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.6 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.7 (optional) — Making the informal a little more formal . . . . . . . . . . . . . 87
1.8 (optional) — Making infinite limits a little more formal . . . . . . . . . . . . 92
1.9 (optional) — Proving the arithmetic of limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2 Derivatives 99
2.1 Revisiting tangent lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2 Definition of the derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.3 Interpretations of the derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.4 Arithmetic of derivatives - a differentiation toolbox . . . . . . . . . . . . . . 121
2.5 Proofs of the arithmetic of derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.6 Using the arithmetic of derivatives – examples . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.7 Derivatives of Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.8 Derivatives of trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.9 One more tool – the chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.10 The natural logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.11 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
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, CONTENTS CONTENTS
2.12 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
2.13 The Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2.14 Higher order derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3 Applications of derivatives 201
3.1 Velocity and acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.2 Related rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.3 Exponential growth and decay — a first look at differential equations . . . . 217
3.3.1 Carbon dating . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
3.3.2 Newton’s law of cooling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
3.3.3 Population growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
3.4 Approximating functions near a specified point — Taylor polynomials . . . 232
3.4.1 Zeroth approximation — the constant approximation . . . . . . . . . 233
3.4.2 First approximation — the linear approximation . . . . . . . . . . . . 234
3.4.3 Second approximation — the quadratic approximation . . . . . . . . 236
3.4.4 Still better approximations — Taylor polynomials . . . . . . . . . . . 240
3.4.5 Some examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3.4.6 Estimating change and ∆x, ∆y notation . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3.4.7 Further examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
3.4.8 The error in the Taylor polynomial approximations . . . . . . . . . . 255
3.4.9 (optional) — Derivation of the error formulae . . . . . . . . . . . . . 263
3.5 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
3.5.1 Local and global maxima and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3.5.2 Finding global maxima and minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
3.5.3 Max/min examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
3.6 Sketching graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
3.6.1 Domain, intercepts and asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
3.6.2 First derivative — increasing or decreasing . . . . . . . . . . . . . . . 300
3.6.3 Second derivative — concavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
3.6.4 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
3.6.5 A checklist for sketching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
3.6.6 Sketching examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
3.7 L’Hôpital’s Rule and indeterminate forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
3.7.1 Standard examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
3.7.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
4 Towards mathematics 101 347
4.1 Introduction to antiderivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
A High school material 357
A.1 Similar triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
A.2 Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
A.3 Trigonometry — definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
A.4 Radians, arcs and sectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
A.5 Trigonometry — graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
A.6 Trigonometry — special triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
A.7 Trigonometry — simple identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
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