Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
PEP N◦ 1 (REC) (PAUTA) de Inferencia Estadı́stica
Miartes 29 de septiembre de 2020, 10:00-11:30
Plazo de envı́o: 13:15 hrs.
Profesor(a): Vı́ctor H. Salinas, Estefanı́a P. Cerda
Ayudante: Sebastián Rı́os
Suponga que el tiempo de duración X de un cierto componente electrónico posee función de densidad
de probabilidad dada por
1 −x2 /2θ
f (x|θ) = xe , x > 0, donde θ > 0.
θ
Para realizar inferencia acerca de θ, se considera una muestra aleatoria X = (X1 , ..., Xn ) que representa
los tiempos de duración de n de esos componentes.
(a) Calcule la función de verosimilitud.
Indique el espacio de parámetros y el espacio muestral.
Determine una estadı́stica T , que sea suficiente para θ.
f (X|θ) = ( θ1 )n ΠXi exp{− Xi2 /2θ} × I(0,∞)n (X), θ > 0.
P
Espacio de parámetros: (0, ∞); espacio muestral X = (0, ∞)n .
Definiendo, g(T = Xi2 ; θ) = ( θ1 )n exp{− Xi2 /2θ} y h(X)
P P
P =2 ΠXi × I(0,∞)n (X)
y aplicando el Teorema de factorización se tiene que T = Xi es una estadı́stica suficiente para
θ.
(b) Determine la distribución de probabilidad de T. Justifique.
Se calcula la distribución de Y = X 2 , fY (y) = fX (x(y)) × | dx
dy |; y > 0.
√
Luego, fY (y) = θ1 ye−y/2θ 2√
1 1 −y/2θ
y = 2θ e ; y > 0, i.e., Y sigue una distribución exponencial
de media 2θ. P 2
Por lo tanto, T = Xi ∼ Gamma(n, 1/2θ).
(c) A partir del estimador máximo verosı́mil de θ, construya un estimador insesgado de θ
(Denótelo por θ).
b
P 2 P 2
X ∂ X
log f (X|θ) = −n log θ − 2θ i + cte. → ∂θ log f (X|θ) = − nθ + 2θ2 i = 0.
P 2
X 2
Luego θM V = 2n i . Ahora, IE[θbM V ] = n IE[X
b
2n
] 2θ
= n 2n = θ. P 2
Xi
Ası́ un estimador insesgado de θ es el mismo estimador máximo verosı́mil de θ, i.e., θb = . 2n
(d) Verifique si el estimador insesgado de θ es eficiente.
P 2
∂2 n Xi
∂θ 2 log f (X|θ) = θ2 − θ3 → In (θ) = − θn2 + 2nθ
θ3 =
n
θ2 .
nV ar(X 2 ) 4nθ 2 θ2
Por otra parte, V ar(θ)
b =
4n2 = 4n2 = n. Luego el estimador, θ,
b es eficiente.
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Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
PEP N◦ 1 (REC) (PAUTA) de Inferencia Estadı́stica
Miartes 29 de septiembre de 2020, 10:00-11:30
Plazo de envı́o: 13:15 hrs.
Profesor(a): Vı́ctor H. Salinas, Estefanı́a P. Cerda
Ayudante: Sebastián Rı́os
Suponga que el tiempo de duración X de un cierto componente electrónico posee función de densidad
de probabilidad dada por
1 −x2 /2θ
f (x|θ) = xe , x > 0, donde θ > 0.
θ
Para realizar inferencia acerca de θ, se considera una muestra aleatoria X = (X1 , ..., Xn ) que representa
los tiempos de duración de n de esos componentes.
(a) Calcule la función de verosimilitud.
Indique el espacio de parámetros y el espacio muestral.
Determine una estadı́stica T , que sea suficiente para θ.
f (X|θ) = ( θ1 )n ΠXi exp{− Xi2 /2θ} × I(0,∞)n (X), θ > 0.
P
Espacio de parámetros: (0, ∞); espacio muestral X = (0, ∞)n .
Definiendo, g(T = Xi2 ; θ) = ( θ1 )n exp{− Xi2 /2θ} y h(X)
P P
P =2 ΠXi × I(0,∞)n (X)
y aplicando el Teorema de factorización se tiene que T = Xi es una estadı́stica suficiente para
θ.
(b) Determine la distribución de probabilidad de T. Justifique.
Se calcula la distribución de Y = X 2 , fY (y) = fX (x(y)) × | dx
dy |; y > 0.
√
Luego, fY (y) = θ1 ye−y/2θ 2√
1 1 −y/2θ
y = 2θ e ; y > 0, i.e., Y sigue una distribución exponencial
de media 2θ. P 2
Por lo tanto, T = Xi ∼ Gamma(n, 1/2θ).
(c) A partir del estimador máximo verosı́mil de θ, construya un estimador insesgado de θ
(Denótelo por θ).
b
P 2 P 2
X ∂ X
log f (X|θ) = −n log θ − 2θ i + cte. → ∂θ log f (X|θ) = − nθ + 2θ2 i = 0.
P 2
X 2
Luego θM V = 2n i . Ahora, IE[θbM V ] = n IE[X
b
2n
] 2θ
= n 2n = θ. P 2
Xi
Ası́ un estimador insesgado de θ es el mismo estimador máximo verosı́mil de θ, i.e., θb = . 2n
(d) Verifique si el estimador insesgado de θ es eficiente.
P 2
∂2 n Xi
∂θ 2 log f (X|θ) = θ2 − θ3 → In (θ) = − θn2 + 2nθ
θ3 =
n
θ2 .
nV ar(X 2 ) 4nθ 2 θ2
Por otra parte, V ar(θ)
b =
4n2 = 4n2 = n. Luego el estimador, θ,
b es eficiente.
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